التحسين الأمثل

في الجبر ، المثالي المعزز هو مثالي يمكن تعريفه في أي حلقة زمرة .

إذا كانت G زمرة و R حلقة تبديلية ، فهناك تشاكل حلقي${\displaystyle \varepsilon }$، والتي تسمى خريطة التوسيع ، من حلقة المجموعة${\displaystyle R[G]}$ل${\displaystyle R}$، مُعرَّفة بأخذ مجموع (محدود ^{[ ملاحظة 1 ]} )${\displaystyle \sum r_{i}g_{i}}$ل${\displaystyle \sum r_{i}.}$ (هنا${\displaystyle r_{i}\in R}$و${\displaystyle g_{i}\in G}$.) بعبارات أقل رسمية،${\displaystyle \varepsilon (g)=1_{R}}$لأي عنصر${\displaystyle g\in G}$،${\displaystyle \varepsilon (rg)=r}$لأي عناصر${\displaystyle r\in R}$و${\displaystyle g\in G}$، و${\displaystyle \varepsilon }$ثم يتم توسيعها إلى تماثل وحدات R بالطريقة الواضحة.

المثالي المعزز A هو نواة${\displaystyle \varepsilon }$وبالتالي فهو مثالي ذو جانبين في R [ G ].

يتم توليد A من خلال الفروق${\displaystyle gg'}$من عناصر المجموعة. وبالمثل، يتم توليدها أيضًا بواسطة${\displaystyle \{g-1:g\in G\}}$، وهو أساس لـ A كوحدة R حرة .

بالنسبة لـ R و G كما سبق، فإن حلقة المجموعة R [ G ] هي مثال على جبر R المعزز . يأتي هذا الجبر مزودًا بتشاكل حلقي إلى R. نواة هذا التشاكل هي المثالي المعزز للجبر.

يلعب مفهوم التضخيم دورًا أساسيًا في علم التماثل الجماعي ، من بين تطبيقات أخرى.

• ليكن G زمرة و${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$حلقة المجموعة فوق الأعداد الصحيحة. لنرمز بـ I إلى المثالي الموسع لـ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$. ثم يكون خارج القسمة I / I ² متماثلاً مع التبديل لـ G ، المعرف بأنه خارج قسمة G بواسطة مجموعة التبديل الخاصة به.
• التمثيل المركب V للمجموعة G هو${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$- وحدة. يمكن وصف المتغيرات المشتركة لـ V بأنها خارج قسمة V على IV ، حيث I هو المثالي المعزز في${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$.
• يمكن أن يكون نوع آخر من الأمثلة على التضخيم المثالي هو نواة الوحدة الفرعية .${\displaystyle \varepsilon }$من أي جبر هوبف .

• د. ل. جونسون (1990). عروض المجموعات . نصوص طلابية من الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  15. مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 149-150 . ISBN  0-521-37203-8.
• دوميت وفوت، الجبر المجرد