طريقة أويلر العكسية

في التحليل العددي والحوسبة العلمية ، تُعدّ طريقة أويلر العكسية (أو طريقة أويلر الضمنية ) من أبسط الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العادية . وهي تُشبه طريقة أويلر (القياسية) ، لكنها تختلف عنها في كونها طريقة ضمنية . وتتميز طريقة أويلر العكسية بخطأ من رتبة واحد في الزمن.

لنفترض المعادلة التفاضلية العادية$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$$ بالقيمة الأولية${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$هنا الوظيفة${\displaystyle f}$والبيانات الأولية${\displaystyle t_{0}}$و${\displaystyle y_{0}}$معروفة؛ الوظيفة${\displaystyle y}$يعتمد على المتغير الحقيقي${\displaystyle t}$وهو غير معروف. تنتج الطريقة العددية متتالية${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$بحيث${\displaystyle y_{k}}$تقريبي${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$، أين${\displaystyle h}$يُطلق عليه حجم الخطوة.

تقوم طريقة أويلر العكسية بحساب التقريبات باستخدام ^{[ 1 ]}$${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$$ يختلف هذا عن طريقة أويلر (الأمامية) في أن الطريقة الأمامية تستخدم${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$بدلاً من${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$.

طريقة أويلر العكسية هي طريقة ضمنية: التقريب الجديد${\displaystyle y_{k+1}}$يظهر على جانبي المعادلة، وبالتالي تحتاج الطريقة إلى حل معادلة جبرية لإيجاد المجهول.${\displaystyle y_{k+1}}$بالنسبة للمسائل غير الصلبة ، يمكن القيام بذلك باستخدام تكرار النقطة الثابتة : $${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$$ إذا تقاربت هذه المتتالية (ضمن هامش خطأ محدد)، فإن الطريقة تأخذ نهايتها كتقريب جديد.${\displaystyle y_{k+1}}$[ ^{2 ]​}

بدلاً من ذلك، يمكن للمرء استخدام (بعض التعديلات على) طريقة نيوتن-رافسون لحل المعادلة الجبرية.

بالنسبة للمعادلة التفاضلية الخطية،${\displaystyle f(y,t)=p(t)y(t)+q(t)}$يمكن كتابة خطوة التحديث بشكل صريح على النحو التالي :$${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}+hq(t_{k+1})}{1-hp(t_{k+1})}}.}$$

تكامل المعادلة التفاضلية${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$من${\displaystyle t_{n}}$ل${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$العائد $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$$الآن، قم بتقريب التكامل على اليمين باستخدام طريقة المستطيل الأيمن (باستخدام مستطيل واحد): $${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$$ وأخيراً، استخدم ذلك${\displaystyle y_{n}}$من المفترض أن يكون تقريبيًا${\displaystyle y(t_{n})}$ويلي ذلك صيغة طريقة أويلر العكسية. ^{[ 3 ]}

ويؤدي نفس المنطق إلى طريقة أويلر (القياسية) إذا تم استخدام قاعدة المستطيل الأيسر بدلاً من قاعدة المستطيل الأيمن.

خطأ القطع المحلي (المعرّف بأنه الخطأ الذي يحدث في خطوة واحدة) لطريقة أويلر العكسية هو${\displaystyle O(h^{2})}$باستخدام ترميز Big O. الخطأ في وقت محدد${\displaystyle t}$يكون${\displaystyle O(h^{2})}$هذا يعني أن هذه الطريقة من الرتبة الأولى . بشكل عام، الطريقة التي${\displaystyle O(h^{k+1})}$يقال إن خطأ الاقتطاع المحلي (LTE) من الرتبة k .

تُعدّ منطقة الاستقرار المطلق لطريقة أويلر العكسية هي المتمم في المستوى المركب للقرص ذي نصف القطر 1 والمتمركز عند النقطة 1، كما هو موضح في الشكل. ^{[ 4 ]} وتشمل هذه المنطقة النصف الأيسر بأكمله من المستوى المركب، مما يجعلها مناسبة لحل المعادلات الصلبة . ^{[ 5 ]} في الواقع، تُعتبر طريقة أويلر العكسية مستقرة من النوع L.

المنطقة التي يمكن أن يكون فيها النظام المستقر المنفصل باستخدام طريقة أويلر العكسية هي دائرة نصف قطرها 0.5 وتقع عند (0.5، 0) في المستوى z. ^{[ 6 ]}

تُعدّ طريقة أويلر العكسية أحد أشكال طريقة أويلر (الأمامية) . ومن الأشكال الأخرى طريقة أويلر شبه الضمنية وطريقة أويلر الأسية .

يمكن اعتبار طريقة أويلر العكسية بمثابة طريقة رونج-كوتا ذات مرحلة واحدة، موصوفة بجدول بوتشر: $${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$$

يمكن اعتبار هذه الطريقة أيضًا طريقة خطية متعددة الخطوات بخطوة واحدة. وهي أول طريقة من عائلة طرق آدمز-مولتون ، وكذلك من عائلة صيغ التفاضل العكسي .

• طريقة كرانك-نيكلسون