خطأ الاقتطاع (التكامل العددي)

أخطاء الاقتطاع في التكامل العددي نوعان:

• أخطاء الاقتطاع المحلية – الخطأ الناتج عن تكرار واحد، و
• أخطاء الاقتطاع العالمية - الخطأ التراكمي الناتج عن العديد من التكرارات.

لنفترض أن لدينا معادلة تفاضلية متصلة

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}$

ونرغب في حساب قيمة تقريبية.${\displaystyle y_{n}}$الحل الحقيقي${\displaystyle y(t_{n})}$على خطوات زمنية منفصلة${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}}$لتبسيط الأمر، افترض أن الفترات الزمنية متساوية التباعد:

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.}$

لنفترض أننا نحسب المتتالية${\displaystyle y_{n}}$باستخدام طريقة من خطوة واحدة على النحو التالي

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}$

الوظيفة${\displaystyle A}$تُسمى هذه الدالة دالة الزيادة ، ويمكن تفسيرها على أنها تقدير للميل${\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$.

في بعض الأحيان، يمكن حساب حد أعلى لخطأ الاقتطاع الكلي، إذا كنا نعرف مسبقًا خطأ الاقتطاع المحلي. ويتطلب ذلك أن تكون دالة الزيادة لدينا ذات سلوك جيد بما فيه الكفاية.

يُحقق خطأ الاقتطاع العالمي علاقة التكرار التالية :

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}$

ويترتب على ذلك مباشرةً من التعريفات. لنفترض الآن أن دالة الزيادة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز في المتغير الثاني، أي أنه يوجد ثابت${\displaystyle L}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle t}$و${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle y_{2}}$لدينا:

${\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}$

عندئذٍ، يفي الخطأ الكلي بالحد.

${\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}$^{[ 7 ]}

ويترتب على الحد المذكور أعلاه للخطأ العام أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$تكون الدالة في المعادلة التفاضلية متصلة في المتغير الأول ومتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز في المتغير الثاني (وهو الشرط المستمد من نظرية بيكارد-ليندلوف )، ودالة الزيادة${\displaystyle A}$إذا كانت الدالة متصلة في جميع الوسائط ومتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز في الوسيط الثاني، فإن الخطأ الكلي يميل إلى الصفر مع زيادة حجم الخطوة.${\displaystyle h}$يقترب من الصفر (بمعنى آخر، تتقارب الطريقة العددية إلى الحل الدقيق). ^{[ 8 ]}

والآن، لنفترض طريقة خطية متعددة الخطوات ، معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

وبالتالي، يتم حساب القيمة التالية للحل العددي وفقًا لـ

${\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}$

تعتمد التكرارة التالية لطريقة الخطوات المتعددة الخطية على التكرارات السابقة . لذا، في تعريف خطأ الاقتطاع المحلي، يُفترض الآن أن جميع التكرارات السابقة تتوافق مع الحل الدقيق.

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}$^{[ 9 ]}

مرة أخرى، تكون الطريقة متسقة إذا${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$ويكون ترتيبها p إذا${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$كما أن تعريف خطأ الاقتطاع العالمي لم يتغير.

تختلف العلاقة بين أخطاء القطع المحلية والعالمية اختلافًا طفيفًا عما هي عليه في حالة الطرق أحادية الخطوة الأبسط. ففي الطرق الخطية متعددة الخطوات، يلزم مفهوم إضافي يُسمى الاستقرار الصفري لشرح هذه العلاقة. تتمتع الطرق الخطية متعددة الخطوات التي تحقق شرط الاستقرار الصفري بنفس العلاقة بين الأخطاء المحلية والعالمية كما في الطرق أحادية الخطوة. بعبارة أخرى، إذا كانت الطريقة الخطية متعددة الخطوات مستقرة صفريًا ومتسقة، فإنها تتقارب. أما إذا كانت الطريقة الخطية متعددة الخطوات مستقرة صفريًا ولديها خطأ محلي، فإنها تتقارب.${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$ثم يحقق خطأها العام ما يلي:${\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}$[ ^{10 ]​}

• ترتيب الدقة
• التكامل العددي
• المعادلات التفاضلية العادية العددية
• خطأ في الاقتطاع

• إيزرليس، أرييه (1996)، مدخل إلى التحليل العددي للمعادلات التفاضلية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رمز Bibcode : 1996fcna.book.....I ، رقم ISBN 978-0-521-55655-2.
• سولي، إندري؛ مايرز، ديفيد (2003)، مقدمة في التحليل العددي ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0521007941.

• ملاحظات حول أخطاء الاقتطاع وطرق رونج-كوتا
• خطأ الاقتطاع في طريقة أويلر