تكامل بارنز

في الرياضيات، يُعرف تكامل بارنز أو تكامل ميلين - بارنز بأنه تكامل كفافي يتضمن حاصل ضرب دوال غاما . وقد طوّره إرنست ويليام بارنز ( 1908 ، 1910 ) . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمتسلسلات الهندسية الفائقة المعممة . 

عادة ما يتم حساب التكامل على طول محيط يمثل تشوهًا للمحور التخيلي الذي يمر إلى يمين جميع أقطاب العوامل من الشكل Γ( a  + s ) وإلى يسار جميع أقطاب العوامل من الشكل Γ( a − s ).   

تُعطى الدالة فوق الهندسية كتكامل بارنز ( بارنز 1908 ) بواسطة

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds,}$

انظر أيضًا ( أندروز، أسكي وروي 1999 ، النظرية 2.4.1) . يمكن الحصول على هذه المساواة بتحريك المحيط إلى اليمين مع أخذ البواقي عند s = 0، 1، 2، ... لـ${\displaystyle z\ll 1}$وبواسطة الاستمرار التحليلي في مكان آخر. في ظل شروط التقارب المناسبة، يمكن ربط تكاملات بارنز الأكثر عمومية ودوال فرط هندسية المعممة _p F _q بطريقة مماثلة ( سلاتر 1966 ) .

تنصّ أولى مقولات بارنز ( بارنز 1908 ) على

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (cs)\Gamma (ds)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.}$

هذا نظير لصيغة جمع جاوس _{2F1 ،} وهو أيضاً امتداد لتكامل بيتا لأويلر . ويُطلق على التكامل فيه أحياناً اسم تكامل بيتا لبارنز .

تنصّ المعضلة الثانية لبارنز ( بارنز 1910 ) على

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-ds)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (ea)\Gamma (eb)\Gamma (ec)}}}$

حيث e = a  + b + c − d + 1. وهذا نظير لصيغة جمع Saalschütz .       

توجد نظائر لتكاملات بارنز للمتسلسلات الهندسية الفائقة الأساسية ، ويمكن أيضًا توسيع العديد من النتائج الأخرى لتشمل هذه الحالة ( Gasper & Rahman 2004 ، الفصل 4) .

• أندروز، جي إي ؛ أسكي، آر ؛ روي، آر (1999). الدوال الخاصة . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  71. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-62321-9. MR 1688958 . 
• بارنز، إي دبليو (1908). "تطور جديد لنظرية الدوال فوق الهندسية" . وقائع جمعية لندن الرياضية ، المجلد 2-6 : 141-177 . doi : 10.1112/plms/s2-6.1.141 . JFM 39.0506.01 . 
• بارنز، إي دبليو (1910). "تحويل المتسلسلات الهندسية الفائقة المعممة". المجلة الفصلية للرياضيات . 41 : 136-140 . JFM 41.0503.01 . 
• جاسبر، جورج؛ رحمن، ميزان (2004). المتسلسلات الهندسية الفائقة الأساسية . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  96 (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719 .​ 
• سلاتر، لوسي جوان (1966). الدوال الهندسية الفائقة المعممة . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-06483-X. السيد 0201688 . زبل 0135.28101 .  (يوجد إصدار ورقي لعام 2008 برقم ISBN) 978-0-521-09061-2)