نواة بيرغمان

في الدراسة الرياضية لعدة متغيرات معقدة ، فإن نواة بيرغمان ، التي سميت على اسم ستيفان بيرغمان ، هي النواة المُستنسخة لفضاء هيلبرت ( RKHS ) لجميع الدوال الهولومورفية القابلة للتكامل التربيعي على مجال D في C ⁿ . 

بتفصيل أكثر، ليكن L ² ( D ) فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على D ، وليكن L ^{2, h} ( D ) الفضاء الجزئي المكون من الدوال التحليلية في L ² ( D ): أي،

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

حيث H ( D ) هو فضاء الدوال التحليلية في D. عندئذٍ ^{، يكون} L² ^{, h} ( D ) فضاء هيلبرت: فهو فضاء خطي مغلق جزئي من L² ( D )، وبالتالي فهو كامل في حد ذاته. وينتج هذا من التقدير الأساسي، وهو أنه بالنسبة لدالة تحليلية قابلة للتكامل التربيعي ƒ في D

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$

1

لكل مجموعة جزئية مضغوطة K من D. وبالتالي فإن تقارب متتالية من الدوال التحليلية في L ² ( D ) يستلزم أيضًا التقارب المضغوط ، وبالتالي فإن دالة النهاية تحليلية أيضًا.

ومن النتائج الأخرى للمعادلة ( 1 ) أنه لكل z ∈ D ، يكون التقييم  

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

هي دالة خطية متصلة على L² ^{، h} ( D ). وبحسب نظرية تمثيل ريز ، يمكن تمثيل هذه الدالة كحاصل ضرب داخلي مع عنصر من L² ^{، h} ( D )، أي أن

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

تُعرَّف نواة بيرغمان K بواسطة

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

النواة K ( z , ζ ) هي دالة تامة الشكل في z ودالة مضادة تامة الشكل في ζ ، وتحقق ما يلي:

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

إحدى الملاحظات الرئيسية حول هذه الصورة هي أنه يمكن تحديد L ^{2, h} ( D ) مع فضاء ${\displaystyle L^{2}}$الأشكال الهولومورفية (n,0) على D، عن طريق الضرب بواسطة ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$منذ${\displaystyle L^{2}}$إن الضرب الداخلي على هذا الفضاء ثابت بشكل واضح تحت التشاكلات الثنائية لـ D، وبالتالي فإن نواة بيرغمان ومقياس بيرغمان المرتبط بها ثابتان تلقائيًا تحت مجموعة التشاكل الذاتي للمجال.

نواة بيرغمان للقرص الواحد D هي الدالة $${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}$$

• مقياس بيرغمان
• فضاء بيرغمان
• نواة سيجو

• كرانز، ستيفن ج. (2002)، نظرية الدوال لعدة متغيرات مركبة ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-2724-6.
• تشيركا، إي إم (2001) [1994]، "دالة نواة بيرغمان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس.