مجموعة ثنائية الترتيب

إذا كانت X و Y مجموعتين و ρ ⊆ X × Y ، فليكن ρ ( y ) = { x ∈ X  : x ρ y }.

لتكن E مجموعةً تُعرَّف فيها عملية ثنائية جزئية ، يُشار إليها بالتجاور. إذا كان D_{_E} هو مجال العملية الثنائية الجزئية على E، فإن D_{_E} علاقة على E ، ويكون ( e , f ) في D_{_E} إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب e, f موجودًا في E. يمكن تعريف العلاقات التالية في E :

${\displaystyle \أوميغا ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}}$

${\displaystyle \أوميغا ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}}$

${\displaystyle R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}}$

${\displaystyle L=\أوميغا ^{l}\,\cap \,(\أوميغا ^{l})^{-1}}$

${\displaystyle \omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}}$

إذا كانت T عبارة عن أي بيان حول E يتضمن العملية الثنائية الجزئية والعلاقات المذكورة أعلاه في E ، فيمكن تعريف الثنائية اليسرى-اليمنى لـ T ويرمز لها بـ T *. إذا كانت D _E متناظرة ، فإن T * يكون ذا معنى كلما كانت T متناظرة.

تُسمى المجموعة E مجموعة ثنائية الترتيب إذا كانت البديهيات التالية وثنائياتها صحيحة بالنسبة للعناصر العشوائية e و f و g وما إلى ذلك في E.

(B1) ω ^r و ω ^l علاقات انعكاسية ومتعدية على E و D _E = ( ω ^r ∪ ω ^l ) ∪ ( ω ^r ∪ ω ^l ) ⁻¹ .

(B21) إذا كانت f في ω ^r ( e ) فإن f R fe ω e .

(B22) إذا كان g ω ^l f وإذا كان f و g في ω ^r ( e ) فإن ge ω ^l fe .

(B31) إذا كان g ω ^r f و f ω ^r e فإن gf = ( ge ) f .

(B32) إذا كان g ω ^l f وإذا كان f و g في ω ^r ( e ) فإن ( fg ) e = ( fe )( ge ).

في M ( e , f ) = ω ^l ( e ) ∩ ω ^r ( f ) ( مجموعة M لـ e و f بهذا الترتيب)، عرّف علاقة${\displaystyle \prec }$بواسطة

${\displaystyle g\prec h\quad \Longleftrightarrow \quad eg\,\,\omega ^{r}\,\,eh\,,\,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf}$.

ثم المجموعة

${\displaystyle S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{ لكل }}g\in M(e,f)\}}$

يُطلق عليها اسم مجموعة الساندويتش المكونة من e و f بهذا الترتيب.

(B4) إذا كان f و g في ω ^r ( e ) فإن S ( f , g ) e = S ( fe , ge ).

نقول إن المجموعة المرتبة ثنائياً E هي مجموعة مرتبة ثنائياً من النوع M إذا كان M ( e , f ) ≠ ∅ لكل e و f في E. كما تُسمى E مجموعة مرتبة ثنائياً منتظمة إذا كان S ( e , f ) ≠ ∅ لكل e و f في E.

في عام 2012 قدم رومان إس. جيجون برهانًا بسيطًا على أن المجموعات ^ذات الترتيب الثنائي M تنشأ من أنصاف المجموعات العكسية E. [ ^{8 ]}

تُعتبر المجموعة الجزئية F من مجموعة ثنائية الترتيب E مجموعة جزئية ثنائية الترتيب (subboset) من E إذا كانت F مجموعة ثنائية الترتيب تحت العملية الثنائية الجزئية الموروثة من E.

بالنسبة لأي عنصر e في E، ^فإن المجموعات ω ^r ( e )، ω ^l ( e ) و ω ( e ) هي مجموعات فرعية مرتبة ثنائياً من E. ^{[ 1} ]

التطبيق φ  : E → F بين مجموعتين مرتبتين ثنائياً E و F هو تماثل مجموعة مرتبة ثنائياً (يسمى أيضاً تماثل ثنائي) إذا كان لكل ( e , f ) في D _E لدينا ( eφ ) ( fφ ) = ( ef ) φ .

ليكن V فضاءً متجهيًا و

E = {( A , B ) | V = A ⊕ B }

حيث V = A ⊕ B تعني أن A و B فضاءان جزئيان من V، وأن V هو المجموع المباشر الداخلي لـ A و B. وتُعرَّف العملية الثنائية الجزئية ⋆ على E كما يلي:

( أ ، ب ) ⋆ ( ج ، د ) = ( أ + ( ب ∩ ج )، ( ب + ج ) ∩ د )

يجعل E مجموعة ثنائية الترتيب. وتتميز شبه الترتيبات في E بما يلي:

( أ ، ب ) ω ^r ( ج ، د ) ⇔ أ ⊇ ج

( أ ، ب ) ω ^l ( ج ، د ) ⇔ ب ⊆ د

تصبح المجموعة E من العناصر المتطابقة في شبه زمرة S مجموعة ثنائية الترتيب إذا عُرّفت عملية ثنائية جزئية في E على النحو التالي: تُعرّف ef في E إذا وفقط إذا كان ef = e أو ef = f أو fe = e أو fe = f محققًا في S. إذا كانت S شبه زمرة منتظمة، فإن E تكون مجموعة ثنائية الترتيب منتظمة.

كمثال عملي، لنفترض أن S هي شبه المجموعة التي تضم جميع التطبيقات من X = {1, 2, 3} إلى نفسها. ولنرمز بالرمز ( abc ) إلى التطبيق الذي يحقق الشرط 1 → a ، 2 → b ، و 3 → c . تحتوي المجموعة E ، التي تضم العناصر المتطابقة في S، على العناصر التالية:

(111)، (222)، (333) (خرائط ثابتة)

(122)، (133)، (121)، (323)، (113)، (223)

(123) (خريطة الهوية)

يصف الجدول التالي (مع مراعاة تركيب التعيينات بترتيب الرسم التخطيطي) العملية الثنائية الجزئية في E. يشير X في الخلية إلى أن عملية الضرب المقابلة غير معرفة.

*	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)
(111)	(111)	(222)	(333)	(111)	(111)	(111)	(333)	(111)	(222)	(111)
(222)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(222)	(222)	(111)	(222)	(222)
(333)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(111)	(333)	(333)	(333)	(333)
(122)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(122)				(122)
(133)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)			(133)		(133)
(121)	(111)	(222)	(333)	(121)		(121)	(323)			(121)
(323)	(111)	(222)	(333)			(121)	(323)		(323)	(323)
(113)	(111)	(222)	(333)		(113)			(113)	(223)	(113)
(223)	(111)	(222)	(333)				(223)	(113)	(223)	(223)
(123)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)