مصفوفة الكاميرا

في مجال رؤية الحاسوب، تُعرف مصفوفة الكاميرا أو مصفوفة إسقاط الكاميرا بأنها${\displaystyle 3\times 4}$مصفوفة تصف عملية تحويل كاميرا ذات ثقب صغير من نقاط ثلاثية الأبعاد في العالم إلى نقاط ثنائية الأبعاد في الصورة.

يترك${\displaystyle \mathbf {x} }$ليكن تمثيلاً لنقطة ثلاثية الأبعاد في إحداثيات متجانسة (متجه رباعي الأبعاد)، وليكن${\displaystyle \mathbf {y} }$ليكن تمثيلاً لصورة هذه النقطة في كاميرا الثقب (متجه ثلاثي الأبعاد). عندئذٍ تتحقق العلاقة التالية

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هي مصفوفة الكاميرا و${\displaystyle \,\sim }$تشير الإشارة إلى أن الجانبين الأيسر والأيمن متساويان باستثناء عملية الضرب في عدد قياسي غير صفري${\displaystyle k\neq 0}$:

${\displaystyle \mathbf {y} =k\,\mathbf {C} \,\mathbf {x} .}$

منذ مصفوفة الكاميرا ${\displaystyle \mathbf {C} }$ بما أن هذه المصفوفة تشارك في عملية الربط بين عناصر فضاءين إسقاطيين ، فيمكن اعتبارها أيضاً عنصراً إسقاطياً. وهذا يعني أن لها 11 درجة حرية فقط، لأن أي ضرب في عدد قياسي غير صفري ينتج عنه مصفوفة كاميرا مكافئة.

وفقًا لنموذج الكاميرا ذات الثقب ، يتم تحديد العلاقة بين إحداثيات نقطة ثلاثية الأبعاد P وإحداثيات الصورة ثنائية الأبعاد لإسقاط تلك النقطة على مستوى الصورة، وذلك من خلال

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\frac {f}{x_{3}}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$تمثل هذه الإحداثيات ثلاثية الأبعاد للنقطة P بالنسبة لنظام إحداثيات مركزي للكاميرا،${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$تمثل إحداثيات الصورة الناتجة، و f هو البعد البؤري للكاميرا الذي نفترض أن f > 0. علاوة على ذلك، نفترض أيضًا أن x ₃ > 0 .

لاستنتاج مصفوفة الكاميرا، يُعاد كتابة التعبير أعلاه بدلالة الإحداثيات المتجانسة. بدلاً من المتجه ثنائي الأبعاد${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$نحن نعتبر العنصر الإسقاطي (متجه ثلاثي الأبعاد)${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},1)}$وبدلاً من المساواة، نعتبر المساواة حتى مع مراعاة عامل غير صفري، يُشار إليه بـ${\displaystyle \,\sim }$أولاً، نكتب إحداثيات الصورة المتجانسة كتعبيرات في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد المعتادة.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {f}{x_{3}}}x_{1}\\{\frac {f}{x_{3}}}x_{2}\\1\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\{\frac {x_{3}}{f}}\end{pmatrix}}}$

وأخيرًا، يتم التعبير عن الإحداثيات ثلاثية الأبعاد أيضًا في تمثيل متجانس${\displaystyle \mathbf {x} }$وهكذا تظهر مصفوفة الكاميرا:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\1\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{\frac {1}{f}}&0\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\1\end{pmatrix}}}$ أو ${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$

أين${\displaystyle \mathbf {C} }$هي مصفوفة الكاميرا، والتي تُعطى هنا بواسطة

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{\frac {1}{f}}&0\end{pmatrix}}}$،

وتصبح مصفوفة الكاميرا المقابلة الآن

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&{\frac {1}{f}}&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

الخطوة الأخيرة هي نتيجة لـ${\displaystyle \mathbf {C} }$كونه عنصرًا إسقاطيًا بحد ذاته.

قد تبدو مصفوفة الكاميرا المُستنتجة هنا بسيطةً من حيث احتوائها على عدد قليل جدًا من العناصر غير الصفرية. ويعتمد هذا إلى حد كبير على أنظمة الإحداثيات المُختارة للنقاط ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد. مع ذلك، تُستخدم في الواقع أشكال أخرى من مصفوفات الكاميرا، كما سيتبين لاحقًا.

مصفوفة الكاميرا${\displaystyle \mathbf {C} }$الفضاء المشتق في القسم السابق له فضاء صفري يمتد بواسطة المتجه

${\displaystyle \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$

هذا أيضًا هو التمثيل المتجانس للنقطة ثلاثية الأبعاد التي إحداثياتها (0,0,0)، أي أن "مركز الكاميرا" (المعروف أيضًا باسم بؤبؤ الدخول ؛ موضع ثقب الكاميرا ذي الثقب ) يقع عند النقطة O. وهذا يعني أن مركز الكاميرا (وهذه النقطة فقط) لا يمكن إسقاطه على نقطة في مستوى الصورة بواسطة الكاميرا (أو بعبارة أخرى، يتم إسقاطه على جميع النقاط في الصورة لأن كل شعاع على الصورة يمر عبر هذه النقطة).

لأي نقطة ثلاثية الأبعاد أخرى مع${\displaystyle x_{3}=0}$والنتيجة${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} }$محدد جيدًا وله الشكل${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}\,y_{2}\,0)^{\top }}$وهذا يتوافق مع نقطة عند اللانهاية في مستوى الصورة الإسقاطية (على الرغم من أنه إذا تم اعتبار مستوى الصورة مستوى إقليدي ، فلا توجد نقطة تقاطع مقابلة).

يمكن تبسيط مصفوفة الكاميرا المشتقة أعلاه بشكل أكبر إذا افترضنا أن f = 1 :

${\displaystyle \mathbf {C} _{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{array}}\right)}$

أين${\displaystyle \mathbf {I} }$يشير هنا إلى أ${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة الوحدة . لاحظ أن${\displaystyle 3\times 4}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {C} }$هنا مقسمة إلى سلسلة من${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة ومتجه ثلاثي الأبعاد. مصفوفة الكاميرا${\displaystyle \mathbf {C} _{0}}$يُشار إليه أحيانًا باسم الشكل المتعارف عليه .

حتى الآن، تم تمثيل جميع النقاط في العالم ثلاثي الأبعاد بنظام إحداثيات مركزي للكاميرا ، أي نظام إحداثيات يقع مركزه عند مركز الكاميرا (موقع ثقب الكاميرا ). عمليًا، يمكن تمثيل النقاط ثلاثية الأبعاد بإحداثيات نسبية إلى نظام إحداثيات اختياري (X1'، X2'، X3'). بافتراض أن محاور إحداثيات الكاميرا (X1، X2، X3) والمحاور (X1'، X2'، X3') من النوع الإقليدي (متعامدة ومتساوية الخواص)، يوجد تحويل إقليدي ثلاثي الأبعاد فريد (دوران وانتقال) بين نظامي الإحداثيات. بعبارة أخرى، لا تكون الكاميرا بالضرورة عند نقطة الأصل عند النظر على طول المحور z .

يمكن تمثيل عمليتي الدوران والانتقال للإحداثيات ثلاثية الأبعاد على النحو التالي:${\displaystyle 4\times 4}$المصفوفات

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {0} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)}$و${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}\mathbf {I} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)}$

أين${\displaystyle \mathbf {R} }$هو${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة الدوران و${\displaystyle \mathbf {t} }$هو متجه إزاحة ثلاثي الأبعاد. عند ضرب المصفوفة الأولى في التمثيل المتجانس لنقطة ثلاثية الأبعاد، تكون النتيجة هي التمثيل المتجانس للنقطة بعد تدويرها، بينما تقوم المصفوفة الثانية بعملية إزاحة. يؤدي تنفيذ العمليتين بالتتابع، أي التدوير أولًا ثم الإزاحة (مع تحديد متجه الإزاحة في نظام الإحداثيات المُدوَّر مسبقًا)، إلى الحصول على مصفوفة مُدمجة للتدوير والإزاحة.

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)}$

بافتراض أن${\displaystyle \mathbf {R} }$و${\displaystyle \mathbf {t} }$إن الدوران والانتقال هما تحديداً ما يربط بين نظامي الإحداثيات (X1، X2، X3) و(X1'، X2'، X3') المذكورين أعلاه، وهذا يعني أن

${\displaystyle \mathbf {x} =\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)\mathbf {x} '}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} '}$هو التمثيل المتجانس للنقطة P في نظام الإحداثيات (X1',X2',X3').

بافتراض أن مصفوفة الكاميرا معطاة بواسطة${\displaystyle \mathbf {C} _{0}}$، يصبح التحويل من الإحداثيات في نظام (X1، X2، X3) إلى إحداثيات الصورة المتجانسة

${\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} _{0}\,\mathbf {x} =\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{array}}\right)\,\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \\\hline \mathbf {0} &1\end{array}}\right)\mathbf {x} '=\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)\,\mathbf {x} '}$

وبالتالي، فإن مصفوفة الكاميرا التي تربط النقاط في نظام الإحداثيات (X1'، X2'، X3') بإحداثيات الصورة هي

${\displaystyle \mathbf {C} _{N}=\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)}$

سلسلة من مصفوفة دوران ثلاثية الأبعاد ومتجه إزاحة ثلاثي الأبعاد.

يُشار إلى هذا النوع من مصفوفات الكاميرا باسم مصفوفة الكاميرا المعيارية ، حيث تفترض أن البعد البؤري يساوي 1 وأن ​​إحداثيات الصورة تُقاس في نظام إحداثيات تقع نقطة أصله عند تقاطع المحور X3 مع مستوى الصورة، وله نفس وحدات نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد. وتُسمى إحداثيات الصورة الناتجة بإحداثيات الصورة المعيارية .

بالنظر إلى عملية الإسقاط الناتجة عن مصفوفة الكاميرا المعيارية، يمكن تحويل إحداثيات الصورة المعيارية الناتجة باستخدام أي تحويل تجانسي ثنائي الأبعاد . يشمل ذلك عمليات الإزاحة والدوران ثنائية الأبعاد، بالإضافة إلى تغيير الحجم (متساوي الخواص وغير متساوي الخواص)، وكذلك تحويلات المنظور ثنائية الأبعاد العامة . يمكن تمثيل هذا التحويل على النحو التالي:${\displaystyle 3\times 3}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {H} }$والتي تحدد إحداثيات الصورة المتجانسة المعيارية${\displaystyle \mathbf {y} }$إلى إحداثيات الصورة المحولة المتجانسة${\displaystyle \mathbf {y} '}$:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {H} \,\mathbf {y} }$

بإدخال التعبير أعلاه لإحداثيات الصورة المعيارية بدلالة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد، نحصل على

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {H} \,\mathbf {C} _{N}\,\mathbf {x} '}$

ينتج عن ذلك الشكل الأكثر عمومية لمصفوفة الكاميرا

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {H} \,\mathbf {C} _{N}=\mathbf {H} \,\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)}$

• عرض ثلاثي الأبعاد
• إعادة تقسيم الكاميرا

• ريتشارد هارتلي وأندرو زيسرمان (2003). هندسة الرؤية المتعددة في رؤية الحاسوب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-54051-8.