توزيع دائري منتظم

دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الدائري المنتظم، على سبيل المثال مع${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$، يكون:

${\displaystyle f_{UC}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$

نعتبر المتغير الدائري${\displaystyle z=e^{i\theta }}$مع${\displaystyle z=1}$عند زاوية القاعدة${\displaystyle \theta =0}$وبهذا المعنى، فإن العزوم الدائرية للتوزيع المنتظم الدائري كلها تساوي صفرًا، باستثناء${\displaystyle m_{0}}$:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\delta _{n}}$

أين${\displaystyle \delta _{n}}$هو رمز دلتا كرونيكر .

المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من N قياسات${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$يتم تعريف العينة المسحوبة من توزيع دائري منتظم على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

حيث يكون متوسط ​​الجيب وجيب التمام كما يلي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

ويبلغ متوسط ​​الطول الناتج ما يلي:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}$

والزاوية المتوسطة هي:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

سيكون متوسط ​​العينة للتوزيع المنتظم الدائري مُركّزًا حول الصفر، ويزداد تركيزه مع ازدياد حجم العينة (N) . يُعطى توزيع متوسط ​​العينة للتوزيع المنتظم بالصيغة التالية: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

أين${\displaystyle \Gamma \,}$يتكون من فترات من${\displaystyle 2\pi }$في المتغيرات، مع مراعاة القيد الذي${\displaystyle {\overline {R}}}$و${\displaystyle {\overline {\theta }}}$ثابتة، أو بدلاً من ذلك، أن${\displaystyle {\overline {C}}}$و${\displaystyle {\overline {S}}}$ثابتة. توزيع الزاوية${\displaystyle P({\overline {\theta }})}$موحد

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

وتوزيع${\displaystyle {\overline {R}}}$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

أين${\displaystyle J_{0}}$هي دالة بيسل من الرتبة الصفرية. لا يوجد حل تحليلي عام معروف للتكامل المذكور أعلاه، ويصعب حسابه نظرًا لكثرة التذبذبات في الدالة المراد تكاملها. يوضح الشكل محاكاة مونت كارلو لتوزيع المتوسط ​​عند N=3 باستخدام 10000 نقطة.

في بعض الحالات الخاصة، يمكن حساب التكامل المذكور أعلاه:

${\displaystyle P_{2}({\overline {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\overline {R}}^{2}}}}}.}$

بالنسبة لقيم N الكبيرة ، يمكن تحديد توزيع المتوسط ​​باستخدام نظرية النهاية المركزية للإحصاءات الاتجاهية . وبما أن الزوايا موزعة توزيعًا منتظمًا، فإن جيوب وجيوب تمام الزوايا الفردية ستتوزع على النحو التالي:

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}}$

أين${\displaystyle u=\cos \theta _{n}\,}$أو${\displaystyle \sin \theta _{n}\,}$وبالتالي، سيكون متوسطها صفرًا وتباينها 1/2. وبحسب نظرية النهاية المركزية، في حالة N الكبيرة ،${\displaystyle {\overline {C}}\,}$و${\displaystyle {\overline {S}}\,}$بما أن المتغير التابع هو مجموع عدد كبير من المتغيرات المستقلة والمتطابقة التوزيع ، فسيكون توزيعه طبيعيًا بمتوسط ​​صفر وتباين${\displaystyle 1/2N}$. متوسط ​​الطول الناتج${\displaystyle {\overline {R}}\,}$بما أن هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات متغيرين مستقلين موزعين توزيعًا طبيعيًا، فسيكون توزيعه وفقًا لتوزيع كاي ذي درجتي حرية (أي توزيع رايلي ) وتباينه${\displaystyle 1/2N}$:

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }P_{N}({\overline {R}})=2N{\overline {R}}\,e^{-N{\overline {R}}^{2}}.}$