توزيع مغلف

في نظرية الاحتمالات والإحصاء الاتجاهي ، يُعرف التوزيع الاحتمالي الملتف بأنه توزيع احتمالي مستمر يصف نقاط البيانات التي تقع على كرة الوحدة ذات البعد n . في بُعد واحد، يتكون التوزيع الملتف من نقاط على دائرة الوحدة .${\displaystyle \phi }$هو متغير عشوائي في الفترة${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$باستخدام دالة كثافة الاحتمال (PDF)${\displaystyle p(\phi )}$، ثم${\displaystyle z=e^{i\phi }}$هو متغير دائري موزع وفقًا للتوزيع الملتف${\displaystyle p_{wz}(\theta )}$و${\displaystyle \theta =\arg(z)}$هو متغير زاوي في الفترة${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$يتم التوزيع وفقًا للتوزيع المغلف${\displaystyle p_{w}(\theta )}$.

أي دالة كثافة احتمالية${\displaystyle p(\phi )}$يمكن "لف" الخط حول محيط دائرة نصف قطرها وحدة واحدة. ^{[ 1 ]} أي أن دالة كثافة الاحتمال للمتغير الملفوف

${\displaystyle \theta =\phi \mod 2\pi }$في فترة زمنية ما من الطول${\displaystyle 2\pi }$

يكون

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}}$

وهو مجموع دوري ذو فترة${\displaystyle 2\pi }$الفترة الزمنية المفضلة عموماً هي${\displaystyle (-\pi <\theta \leq \pi )}$والتي${\displaystyle \ln(e^{i\theta })=\arg(e^{i\theta })=\theta }$.

في معظم الحالات، تنتج عملية تتضمن إحصاءات دائرية زوايا (${\displaystyle \phi }$) التي تقع في الفترة${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ويتم وصفها بواسطة دالة كثافة احتمالية "غير ملفوفة".${\displaystyle p(\phi )}$ومع ذلك، فإن القياس سيعطي زاوية${\displaystyle \theta }$والتي تقع في فترة طول معينة${\displaystyle 2\pi }$(على سبيل المثال، من 0 إلى${\displaystyle 2\pi }$بمعنى آخر، لا يمكن للقياس أن يحدد ما إذا كانت الزاوية الحقيقية${\displaystyle \phi }$أو زاوية ملفوفة${\displaystyle \theta =\phi +2\pi a}$، أين${\displaystyle a}$هو عدد صحيح غير معروف، وقد تم قياسه.

إذا أردنا حساب القيمة المتوقعة لدالة ما تعتمد على الزاوية المقاسة، فستكون كالتالي:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$.

يمكننا التعبير عن التكامل كمجموع تكاملات على فترات زمنية محددة.${\displaystyle 2\pi }$:

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{2\pi k}^{2\pi (k+1)}p(\phi )f(\phi +2\pi a)d\phi }$.

تغيير متغير التكامل إلى${\displaystyle \theta '=\phi -2\pi k}$وبتبادل ترتيب التكامل والجمع، نحصل على

${\displaystyle \langle f(\theta )\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(\theta '+2\pi a')d\theta '}$

أين${\displaystyle p_{w}(\theta ')}$ملف PDF الخاص بالتوزيع المغلف و${\displaystyle a'}$هو عدد صحيح مجهول آخر${\displaystyle (a'=a+k)}$العدد الصحيح المجهول${\displaystyle a'}$يُدخل ذلك غموضًا في القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle f(\theta )}$يشبه هذا مشكلة حساب المتوسط ​​الزاوي . ويمكن حل هذه المشكلة عن طريق إدخال المعامل${\displaystyle z=e^{i\theta }}$، منذ${\displaystyle z}$لها علاقة لا لبس فيها بالزاوية الحقيقية${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle z=e^{i\theta }=e^{i\phi }}$.

حساب القيمة المتوقعة لدالة من${\displaystyle z}$سيؤدي ذلك إلى إجابات لا لبس فيها:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\int _{0}^{2\pi }p_{w}(\theta ')f(e^{i\theta '})d\theta '}$.

ولهذا السبب، فإن${\displaystyle z}$يُفضل استخدام المعلمة على الزوايا المقاسة${\displaystyle \theta }$في التحليل الإحصائي الدائري. يشير هذا إلى أن دالة التوزيع الملتف يمكن التعبير عنها كدالة لـ${\displaystyle z}$بحيث:

${\displaystyle \langle f(z)\rangle =\oint p_{wz}(z)f(z)\,dz}$

أين${\displaystyle p_{w}(z)}$يتم تعريفها بحيث${\displaystyle p_{w}(\theta )\,|d\theta |=p_{wz}(z)\,|dz|}$يمكن توسيع هذا المفهوم ليشمل السياق متعدد المتغيرات من خلال توسيع المجموع البسيط إلى عدد من${\displaystyle F}$المجاميع التي تغطي جميع الأبعاد في مساحة الميزات:

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1},...,k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

أين${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$هو${\displaystyle k}$متجه الأساس الإقليدي رقم 1.

التوزيع الملتف الأساسي هو مشط ديراك ، وهو دالة دلتا ديراك الملتفة :

${\displaystyle \Delta _{2\pi }(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\delta (\theta +2\pi k)}}$.

باستخدام دالة دلتا، يمكن كتابة توزيع ملتف عام

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\delta (\theta -\theta '+2\pi k)\,d\theta '}$.

بتغيير ترتيب الجمع والتكامل، يمكن كتابة أي توزيع ملفوف على أنه التفاف التوزيع غير الملفوف مع مشط ديراك:

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\Delta _{2\pi }(\theta -\theta ')\,d\theta '}$.

يمكن أيضًا التعبير عن مشط ديراك كمجموع دوال أسية، لذلك يمكننا كتابة ما يلي:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$.

مع تبديل ترتيب الجمع والتكامل مرة أخرى:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(\theta ')e^{in(\theta -\theta ')}\,d\theta '}$.

باستخدام تعريف${\displaystyle \phi (s)}$، الوظيفة المميزة لـ${\displaystyle p(\theta )}$ينتج عنه متسلسلة لوران حول الصفر للتوزيع الملفوف بدلالة الدالة المميزة للتوزيع غير الملفوف:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,e^{-in\theta }}$

أو

${\displaystyle p_{wz}(z)={\frac {1}{2\pi }}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\,z^{-n}}$

على غرار التوزيعات الخطية،${\displaystyle \phi (m)}$يُشار إليها باسم الدالة المميزة للتوزيع الملتف (أو بدقة أكبر، المتتالية المميزة ). ^{[ 2 ]} هذه حالة من حالات صيغة جمع بواسون ، ويمكن ملاحظة أن معاملات متسلسلة فورييه للتوزيع الملتف هي ببساطة معاملات تحويل فورييه للتوزيع غير الملتف عند القيم الصحيحة.

لحظات التوزيع المغلف${\displaystyle p_{w}(z)}$تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\oint p_{wz}(z)z^{m}\,dz}$.

التعبير${\displaystyle p_{w}(z)}$من حيث الدالة المميزة وتبديل ترتيب التكامل والجمع ينتج ما يلي:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi (n)\oint z^{m-n}\,dz}$.

من نظرية الباقي لدينا

${\displaystyle \oint z^{m-n}\,dz=2\pi \delta _{m-n}}$

أين${\displaystyle \delta _{k}}$هي دالة دلتا كرونكر . ويترتب على ذلك أن العزوم تساوي ببساطة الدالة المميزة للتوزيع غير المغلف بالنسبة للوسائط الصحيحة:

${\displaystyle \langle z^{m}\rangle =\phi (m)}$.

لو${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي يتم سحبه من توزيع احتمالي خطي${\displaystyle P}$، ثم${\displaystyle Z=e^{iX}}$هو متغير دائري موزع وفقًا للتغليف${\displaystyle P}$التوزيع، و${\displaystyle \theta =\arg(Z)}$هل يتم توزيع المتغير الزاوي وفقًا للالتفاف؟${\displaystyle P}$التوزيع، مع${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$.

إنتروبيا المعلومات لتوزيع دائري ذي كثافة احتمالية${\displaystyle p_{w}(\theta )}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }p_{w}(\theta )\,\ln(p_{w}(\theta ))\,d\theta }$

أين${\displaystyle \Gamma }$أي فاصل زمني بطول${\displaystyle 2\pi }$[ ^{1 ] إذا كان} من الممكن التعبير عن كل من كثافة الاحتمال ولوغاريتمها كمتسلسلة فورييه (أو بشكل عام، أي تحويل تكاملي على الدائرة)، فيمكن استخدام الأساس المتعامد للمتسلسلة للحصول على تعبير مغلق للإنتروبيا.

لحظات التوزيع${\displaystyle \phi (n)}$هي معاملات فورييه لتوسيع متسلسلة فورييه لكثافة الاحتمال:

${\displaystyle p_{w}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\phi _{n}e^{-in\theta }}$.

إذا كان من الممكن أيضًا التعبير عن لوغاريتم كثافة الاحتمال كمتسلسلة فورييه:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=\sum _{m=-\infty }^{\infty }c_{m}e^{im\theta }}$

أين

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))e^{-im\theta }\,d\theta }$.

ثم، بتغيير ترتيب التكامل والجمع، يمكن كتابة الإنتروبيا على النحو التالي:

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2\pi }}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{m}\phi _{n}\int _{\Gamma }e^{i(m-n)\theta }\,d\theta }$.

باستخدام خاصية التعامد في أساس فورييه، يمكن اختزال التكامل إلى:

${\displaystyle H=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها توزيع الاحتمال متناظرًا حول المتوسط،${\displaystyle c_{-m}=c_{m}}$ويمكن كتابة اللوغاريتم على النحو التالي:

${\displaystyle \ln(p_{w}(\theta ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}$

و

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln(p_{w}(\theta ))\cos(m\theta )\,d\theta }$

وبما أن التطبيع يتطلب ذلك${\displaystyle \phi _{0}=1}$ويمكن كتابة الإنتروبيا على النحو التالي:

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\phi _{n}}$.

• التوزيع الطبيعي الملتف
• توزيع كوشي المغلف
• التوزيع الأسي المغلف

• بورادايلي ، جراهام (2003). إحصائيات بيانات علوم الأرض . سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-43603-4.
• فيشر، ن. إ. (1996). التحليل الإحصائي للبيانات الدائرية . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-56890-6.

• الرياضيات والإحصاء للقيم الدائرية باستخدام C++11 ، بنية تحتية بلغة C++11 للرياضيات والإحصاء للقيم الدائرية (الزوايا، وقت اليوم، إلخ).