توزيع كوشي المغلف

في نظرية الاحتمالات والإحصاء الاتجاهي ، يُعرف توزيع كوشي الملتف بأنه توزيع احتمالي ملتف ينتج عن التفاف توزيع كوشي حول دائرة الوحدة . يُعرف توزيع كوشي أحيانًا بتوزيع لورنتزي، وقد يُشار إلى توزيع كوشي الملتف أحيانًا بتوزيع لورنتزي ملتف.

غالبًا ما يتم العثور على توزيع كوشي الملفوف في مجال التحليل الطيفي حيث يتم استخدامه لتحليل أنماط الحيود (على سبيل المثال، انظر مقياس التداخل فابري-بيرو ).

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع كوشي الملفوف هي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infty}^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta -\mu +2\pi n)^{2})}}\qquad -\pi <\theta <\pi }

أين${\displaystyle \gamma }$هو عامل المقياس و${\displaystyle \mu }$يمثل موضع الذروة للتوزيع "غير الملفوف". ويؤدي التعبير عن دالة كثافة الاحتمال المذكورة أعلاه بدلالة الدالة المميزة لتوزيع كوشي إلى ما يلي:

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty}^{\infty }e^{in(\theta -\mu ) -|n|\gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}}

يمكن أيضًا التعبير عن دالة كثافة الاحتمال بدلالة المتغير الدائري z = e ^{i θ} والمعامل المركب ζ = e ^{i ( μ + i γ )}

${\displaystyle f_{\text{WC}}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|z-\zeta |^{2}}}}$

حيث، كما هو موضح أدناه، ζ = ⟨ z ⟩.

فيما يتعلق بالمتغير الدائري${\displaystyle z=e^{i\theta }}$اللحظات الدائرية لتوزيع كوشي الملفوف هي الدالة المميزة لتوزيع كوشي عند قيم عددية صحيحة:

${\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma}e^{in\theta }\,f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma )\,d\theta =e^{in\mu -|n|\gamma }.}

أين${\displaystyle \Gamma \,}$هي فترة زمنية ما طولها${\displaystyle 2\pi }$. اللحظة الأولى هي القيمة المتوسطة لـ z ، والمعروفة أيضًا باسم المحصلة المتوسطة، أو متجه المحصلة المتوسطة:

${\displaystyle \langle z\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

الزاوية المتوسطة هي

${\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\mu }$

وطول المحصلة المتوسطة هو

${\displaystyle R=|\langle z\rangle |=e^{-\gamma }}$

مما ينتج عنه تباين دائري مقداره 1 − R.

سلسلة من N قياسات${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$يمكن استخدام البيانات المستمدة من توزيع كوشي الملتف لتقدير بعض معلمات التوزيع. متوسط ​​السلسلة${\displaystyle {\overline {z}}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

وستكون قيمتها المتوقعة هي اللحظة الأولى فقط:

${\displaystyle \langle {\overline {z}}\rangle =e^{i\mu -\gamma }}$

بعبارة أخرى،${\displaystyle {\overline {z}}}$هو مُقدِّر غير متحيز للعزم الأول. إذا افترضنا أن موضع الذروة${\displaystyle \mu }$يقع في الفترة${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$ثم أرج${\displaystyle ({\overline {z}})}$سيكون تقديرًا (متحيزًا) لموقع الذروة${\displaystyle \mu }$.

مشاهدة${\displaystyle z_{n}}$باعتبارها مجموعة من المتجهات في المستوى المركب،${\displaystyle {\overline {R}}^{2}}$الإحصائية هي طول المتجه المتوسط:

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

وقيمتها المتوقعة هي

${\displaystyle \langle {\overline {R}}^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}+{\frac {N-1}{N}}e^{-2\gamma }.}$

بمعنى آخر، الإحصائية

${\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{N-1}}\left({\overline {R}}^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

سيكون مقدراً غير متحيز لـ${\displaystyle e^{-2\gamma }}$، و${\displaystyle \ln(1/R_{e}^{2})/2}$سيكون مقدراً (متحيزاً) لـ${\displaystyle \gamma }$.

يتم تعريف إنتروبيا المعلومات لتوزيع كوشي الملتف على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{\text{WC}}(\theta  ;\mu ,\gamma ))\,d\theta }

أين${\displaystyle \Gamma }$أي فاصل زمني بطول${\displaystyle 2\pi }$يمكن كتابة لوغاريتم كثافة توزيع كوشي الملتف على شكل متسلسلة فورييه في${\displaystyle \theta \,}$:

${\displaystyle \ln(f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma ))=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\cos(m\theta )}

أين

${\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\ln \left({\frac {\sinh \gamma }{2\pi (\cosh \gamma -\cos \theta )}}\right)\cos(m\theta )\,d\theta }$

مما ينتج عنه:

${\displaystyle c_{0}=\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)}$

(راجع Gradshteyn و Ryzhik ^{[ 2 ]} 4.224.15) و

${\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\gamma }}{m}}\qquad \mathrm {for} \,m>0}$

(انظر Gradshteyn و Ryzhik ^{[ 2 ]} 4.397.6). تمثيل الدالة المميزة لتوزيع كوشي الملتف في الجانب الأيسر من التكامل هو:

${\displaystyle f_{\text{WC}}(\theta$ ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}

أين${\displaystyle \phi _{n}=e^{-|n|\gamma }}$بإدخال هذه التعبيرات في تكامل الإنتروبيا، وتبديل ترتيب التكامل والجمع، واستخدام تعامد جيوب التمام، يمكن كتابة الإنتروبيا على النحو التالي:

${\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}}$

المتسلسلة هي ببساطة توسيع تايلور للوغاريتم${\displaystyle (1-e^{-2\gamma })}$لذا يمكن كتابة الإنتروبيا بصيغة مغلقة على النحو التالي:

${\displaystyle H=\ln(2\pi (1-e^{-2\gamma }))\,}$

إذا كان المتغير X يتبع توزيع كوشي بمتوسط ​​وسيط μ ومعامل مقياس γ ، فإن المتغير المركب

${\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}}$

له معامل وحدة ويتم توزيعه على دائرة الوحدة بكثافة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-|\zeta |^{2}}{|e^{i\theta }-\zeta |^{2}}}}$

أين

${\displaystyle \zeta ={\frac {\psi -i}{\psi +i}}}$

و ψ تعبر عن المعلمتين لتوزيع كوشي الخطي المرتبط بـ x كعدد مركب :

${\displaystyle \psi =\mu +i\gamma \,}$

يتضح أن توزيع كوشي الدائري له نفس الشكل الوظيفي لتوزيع كوشي الملتف في z و ζ (أي f _WC ( z , ζ )). توزيع كوشي الدائري هو توزيع كوشي ملتف معاد تحديد معالمه.

${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta ,m,\gamma )=f_{\text{WC}}\left(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}}\right)}$

التوزيع${\displaystyle f_{\text{CC}}(\theta$ يُطلق على التوزيع ;\mu ,\gamma )} اسم توزيع كوشي الدائري ^{[ 3 ] [ 4 ]} (وأيضًا توزيع كوشي المركب ^{[ 3 ]} ) بمعاملات μ و γ . (انظر أيضًا إلى معلمات ماكولاغ لتوزيعات كوشي ونواة بواسون للمفاهيم ذات الصلة.)

يتميز توزيع كوشي الدائري، المعبر عنه بالصيغة المركبة، بعزوم محدودة من جميع الرتب.

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ≥ 1. أما بالنسبة لـ | φ | < 1، فإن التحويل

${\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar {\phi }}z}}}$

يكون هولومورفي على قرص الوحدة، ويتم توزيع المتغير المحول U ( Z , φ ) كدالة كوشي معقدة مع المعلمة U ( ζ , φ ).

بفرض وجود عينة z ₁ ، ... ، z _n بحجم n > 2، فإن معادلة الاحتمال الأقصى

${\displaystyle n^{-1}U\left(z,{\hat {\zeta }}\right)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\right)=0}$

يمكن حلها من خلال تكرار بسيط للنقطة الثابتة:

${\displaystyle \zeta ^{(r+1)}=U\left(n^{-1}U(z,\zeta ^{(r)}),\,-\zeta ^{(r)}\right)\,}$

بدءًا من ζ ⁽⁰⁾ = 0. سلسلة قيم الاحتمالية غير متناقصة، والحل فريد للعينات التي تحتوي على ثلاث قيم مميزة على الأقل. ^{[ 5 ]}

تقدير الاحتمال الأقصى للوسيط (${\displaystyle {\hat {\mu }}}$) ومعامل المقياس (${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$يتم الحصول على ) لعينة كوشي حقيقية عن طريق التحويل العكسي:

${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm i{\hat {\gamma }}=i{\frac {1+{\hat {\zeta }}}{1-{\hat {\zeta }}}}.}$

بالنسبة لـ n ≤ 4، توجد صيغ مغلقة معروفة لـ${\displaystyle {\hat {\zeta }}}$[ ^{6 ]} كثافة مقدر الاحتمال الأقصى عند t في ^القرص الواحد تكون بالضرورة على الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {p_{n}(\chi (t,\zeta ))}{(1-|t|^{2})^{2}}},}$

أين

${\displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac {|t-\zeta |^{2}}{4(1-|t|^{2})(1-|\zeta |^{2})}}}$.

تتوفر صيغ p ₃ و p _4. ^{[ 7 ]}

• توزيع مغلف
• مشط ديراك
• التوزيع الطبيعي الملتف
• توزيع دائري منتظم
• تحديد معلمات توزيعات كوشي بواسطة ماكولاغ

• بورادايلي ، جراهام (2003). إحصائيات بيانات علوم الأرض . سبرينغر . رقم ISBN 978-3-540-43603-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 ديسمبر 2009 .
• فيشر، ن. إ. (1996). التحليل الإحصائي للبيانات الدائرية . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-56890-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2010-02-09 .