معاملات الجهد

في علم الكهرباء الساكنة ، تحدد معاملات الجهد العلاقة بين الشحنة والجهد الكهروستاتيكي ( الجهد الكهربائي )، وهي علاقة هندسية بحتة:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

حيث Q_{_i} هي الشحنة السطحية على الموصل i . معاملات الجهد هي المعاملات p_{_ij} . يجب قراءة φ_{_i} بشكل صحيح على أنها الجهد على الموصل i ، وبالتالي "${\displaystyle p_{21}}$"هل p ناتج عن الشحنة 1 على الموصل 2؟ "

${\displaystyle p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

لاحظ أن:

1. p _ij = p _ji ، وذلك بالتناظر، و
2. لا يعتمد p _ij على الشحنة.

المحتوى الفيزيائي للتناظر هو كما يلي:

إذا أدت شحنة Q على الموصل j إلى جعل الموصل i يصل إلى جهد φ ، فإن نفس الشحنة الموضوعة على i ستؤدي إلى جعل j يصل إلى نفس الجهد φ .

بشكل عام، يتم استخدام المعاملات عند وصف نظام الموصلات، كما هو الحال في المكثف .

بالنظر إلى الجهد الكهربائي على سطح موصل S _i ( سطح تساوي الجهد أو النقطة P المختارة على السطح i ) الموجود في نظام من الموصلات j = 1، 2، ...، n :

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},}$

حيث R _{_ji} = | r _{_i} - r_{_j} | ، أي المسافة من عنصر المساحة da _{_j} إلى نقطة معينة r_{_i} على الموصل i . لا تتوزع σ_{_j}، بشكل عام، بانتظام على السطح. لنُعرّف العامل f_{_j} الذي يصف كيف تختلف كثافة الشحنة الفعلية عن المتوسط ​​عند موضع على سطح الموصل j .

${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},}$

أو

${\displaystyle \sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.}$

ثم،

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.}$

يمكن إثبات ذلك${\displaystyle \int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}}$مستقل عن التوزيع${\displaystyle \sigma _{j}}$وبالتالي، مع

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},}$

لدينا

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.}$

في هذا المثال، نستخدم طريقة معاملات الجهد لتحديد السعة في نظام ثنائي الموصلات.

بالنسبة لنظام ثنائي الموصلات، يكون نظام المعادلات الخطية هو

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.}$

في المكثف ، تكون الشحنة على الموصلين متساوية ومتعاكسة: Q = Q ₁ = - Q _2. لذلك،

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},}$

و

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})س.}$

لذلك،

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

لاحظ أن مجموعة المعادلات الخطية

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

يمكن عكسها إلى

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

حيث تسمى معاملات c _ij التي يكون فيها i = j بمعاملات السعة ، وتسمى معاملات c _ij التي يكون فيها i ≠ j بمعاملات الحث الكهروستاتيكي . ^{[ 1 ]}

بالنسبة لنظام مكون من موصلين كرويين مثبتين عند نفس الجهد، ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V}$

إذا كان الموصلان يحملان شحنات متساوية ومتعاكسة،

$\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}$

يمكن إثبات أن نظام الموصلات له تناظر مماثل c _ij = c _ji .

• جيمس كليرك ماكسويل (1873) رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ، § 86، صفحة 89.