مشكلة التغطية لرادو

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة
مشكلة لم تُحل في الرياضيات
ما هو ترتيب المربعات ذات الحواف المتوازية الذي يحتوي على أصغر مجموعة فرعية من المربعات التي تحقق أقصى مساحة ممكنة، والتي لا تتداخل فيها المربعات الموجودة في المجموعة الفرعية؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

مسألة التغطية لرادو هي مسألة غير محلولة في الهندسة تتعلق بتغطية المجموعات المستوية بالمربعات. وقد صاغها تيبور رادو عام 1928 ، وعمّمها ريتشارد رادو لتشمل أشكالاً أكثر عمومية وأبعاداً أعلى .

التركيبة

في رسالة إلى واكلاف سيربينسكي ، مدفوعة ببعض نتائج جوزيبي فيتالي ، لاحظ تيبور رادو أنه لكل تغطية لفترة الوحدة، يمكن للمرء أن يختار مجموعة فرعية تتكون من فترات منفصلة بشكل زوجي بطول إجمالي لا يقل عن 1/2 وأن هذا العدد لا يمكن تحسينه.

تغطيات الفترة الزمنية (ممتدة عموديًا للتوضيح البصري). يمكن دائمًا اختيار عدد من المقاطع التي تغطي هذه الفترة بحيث لا تتداخل أي من المقاطع المختارة مع بعضها البعض، ويكون الطول الإجمالي للمقاطع أكبر من أو يساوي 1/2، كما هو موضح أعلاه بالمقاطع المختارة (باللون الأحمر).

ثم طلب بياناً مماثلاً في الطائرة.

إذا كانت مساحة اتحاد مجموعة محدودة من المربعات في المستوى ذات الأضلاع المتوازية تساوي واحدًا، فما هي المساحة الكلية القصوى المضمونة لمجموعة فرعية منفصلة مثنى مثنى؟
لجعل المربعات متباعدة قدر الإمكان مع الحفاظ على تداخلها،ϵ{\displaystyle \epsilon }يُستخدم الرمز للدلالة على قيمة تكبير متناهية الصغر، تُوسّع المربع بهذا المقدار من المركز، وعندما تقترب هذه القيمة من الصفر، يتم الاقتراب من الحد الأدنى. تقترب المساحة الإجمالية التي تغطيها جميع المربعات في كل من 1 عندماϵ{\displaystyle \epsilon }يتقلص حجم المربعات المختارة، وتقترب المساحة التي تغطيها المجموعة المثلى من المربعات لهذه المجموعات من ربع المساحة (عندما تكون المربعات المختارة حمراء). لاحظ أن هناك ترتيبات يكون فيها الاختيار الأمثل بمساحة إجمالية أقل بقليل من ربع المساحة.

أثبت رادو أن هذا العدد لا يقل عن 1/9، وخمّن أنه لا يقل عن 1/4، وهو ثابت لا يمكن تحسينه. وقد أُثبت هذا الادعاء بشكل مستقل في حالة المربعات المتساوية من قِبل أ. سوكولين، و ر. رادو، و ف. أ. زالغالر . مع ذلك، في عام 1973، دحض ميكلوس أيتاي تخمين رادو، وذلك بإنشاء نظام من المربعات ذات حجمين مختلفين، بحيث يغطي أي نظام فرعي يتكون من مربعات منفصلة مساحة لا تتجاوز 1/4 - 1/1728 ≈ 0.2494 من المساحة الكلية التي يغطيها النظام.  

الحدود العليا والسفلى

بدأ ريتشارد رادو، في أواخر أربعينيات القرن العشرين، بدراسة مسائل مشابهة لتخمين تيبور رادو، ولكنها تتضمن أشكالًا أخرى. يتمثل أحد الأمثلة النموذجية في عائلة محدودة من الأشكال المحدبة في الفضاء الإقليدي R d، والتي تكون متماثلة مع شكل X معين ، على سبيل المثال، مربع كما في السؤال الأصلي، أو قرص ، أو مكعب ذو d بُعد . لنفترض

F(X)=معلوماتSرشفةأنا|أنا||S|،{\displaystyle F(X)=\inf _{S}\sup _{I}{\frac {|I|}{|S|}},}

حيث يمتد S على العائلات المحدودة الموصوفة سابقًا، وبالنسبة لعائلة معينة S ، يمتد I على جميع العائلات الفرعية المستقلة ، أي التي تتكون من مجموعات منفصلة، ​​وتشير الخطوط إلى الحجم الكلي (أو المساحة، في حالة الشكل المستوي). على الرغم من أن القيمة الدقيقة لـ F ( X ) غير معروفة لأي شكل محدب ثنائي الأبعاد X ، فقد كُرِّست جهود كبيرة لتحديد حدود عليا ودنيا في فئات مختلفة من الأشكال. من خلال النظر فقط في العائلات التي تتكون من مجموعات متوازية ومتطابقة مع X ، يُمكن تعريف f ( X ) بشكل مماثل، والذي تبيّن أنه أسهل بكثير في الدراسة. وهكذا، أثبت ر. رادو أنه إذا كان X مثلثًا، فإن f ( X ) تساوي 1/6 بالضبط، وإذا كان X سداسيًا متناظرًا مركزيًا ، فإن f ( X ) تساوي 1/4.

في عام 2008، وضع سيرجي بيريج وأدريان دوميتريسكو ومينغهوي جيانغ حدودًا جديدة لمختلف الدوال F ( X ) و f ( X ) التي تُحسّن النتائج السابقة لـ ر. رادو و ف. أ. زالغالر. وعلى وجه الخصوص، أثبتوا أن

0.1179≈18.4797≤F(مربع)≤14-1384≈0.2474،{\displaystyle 0.1179\approx {\frac {1}{8.4797}}\leq F({\textrm {square}})\leq {\frac {1}{4}}-{\frac {1}{384}}\approx 0.2474,}

وذلكو(X)≥16{\displaystyle f(X)\geq {\frac {1}{6}}}لأي سطح مستوٍ محدب X.

مراجع