توزيع بريت-ويغنر النسبي

إن توزيع بريت-ويغنر النسبي (بعد صيغة الرنين النووي لعام 1936 ^{[ 1 ]} لغريغوري بريت ويوجين ويغنر ) هو توزيع احتمالي مستمر مع دالة كثافة الاحتمال التالية ، ^{[ 2 ]}$${\displaystyle f(E)={\frac {k}{(E^{2}-M^{2})^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}},}$$ حيث k ثابت تناسب، يساوي $${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}\,M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}},\quad \gamma ={\sqrt {M^{2}(M^{2}+\Gamma ^{2})}}.}$$ (هذه المعادلة مكتوبة باستخدام الوحدات الطبيعية ، ħ = c = 1. )

يُستخدم هذا النموذج غالبًا لنمذجة الرنين (الجسيمات غير المستقرة) في فيزياء الطاقة العالية . في هذه الحالة، E هي طاقة مركز الكتلة التي تُنتج الرنين، وM هي كتلة الرنين، و Γ هو عرض الرنين (أو عرض الاضمحلال )، المرتبط بمتوسط ​​عمره وفقًا للمعادلة τ = 1/Γ . (مع تضمين الوحدات، تصبح الصيغة τ = ħ /Γ ).

إن احتمال حدوث الرنين عند طاقة معينة E يتناسب طرديًا مع f ( E ) ، لذا فإن رسم معدل إنتاج الجسيم غير المستقر كدالة للطاقة يرسم شكل توزيع برايت-ويغنر النسبي. لاحظ أنه بالنسبة لقيم E البعيدة عن القيمة القصوى عند M بحيث يكون | E² - M² | = ^MΓ ( وبالتالي | E - M | = Γ /2 عندما M ≫ Γ ) ، فإن ^{التوزيع} f يتقلص إلى نصف قيمته القصوى، مما يبرر تسميته بعرض نصف القيمة القصوى لـ Γ .

في حالة تلاشي العرض، Γ → 0 ، يصبح الجسيم مستقرًا حيث يصبح توزيع لورنتز f حادًا إلى ما لا نهاية إلى 2 Mδ ( E ² − M ² ) ، حيث δ هي دالة ديراك دلتا (نبضة نقطية).

بشكل عام، يمكن أن تكون Γ دالةً لـ E ؛ وعادةً ما يكون هذا الاعتماد مهمًا فقط عندما لا تكون Γ صغيرة مقارنةً بـ M ، ويجب مراعاة اعتماد عرض الرنين على فضاء الطور. (على سبيل المثال ، في اضمحلال ميزون رو إلى زوج من البيونات ). يجب أيضًا استبدال عامل M² الذي يُضرب في ^{Γ² بـ E²} ( أو E⁴ / M² ^{، إلخ} ) عندما يكون الرنين واسعًا. ^{[ 3 ]}

ينشأ شكل توزيع بريت-ويغنر النسبي من مُوَصِّل جسيم غير مستقر، ^{[ 4 ]} والذي يكون مقامه على الصورة p² ⁻ M² + ^iMΓ . (هنا، p² هو مربع الزخم الرباعي الذي يحمله ذلك الجسيم في مخطط فاينمان الشجري المعني) . يكون المُوَصِّل في إطار سكونه متناسبًا مع السعة الكمومية للانحلال المستخدم لإعادة بناء ذلك الرنين ^.$${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{(E^{2}-M^{2})+iM\Gamma }}.}$$ إن توزيع الاحتمالية الناتج يتناسب مع مربع السعة المطلق، وبالتالي فإن توزيع بريت-ويغنر النسبي المذكور أعلاه هو دالة كثافة الاحتمالية.

يشابه شكل هذا التوزيع سعة حل معادلة الحركة الكلاسيكية لمذبذب توافقي مُحفَّز ومُخمَّد بقوة خارجية جيبية . وله شكل الرنين القياسي لتوزيع لورنتز أو كوشي ، ولكنه يتضمن متغيرات نسبية s = p² ^، حيث s = E² . ^ويمثل هذا التوزيع حل المعادلة التفاضلية لمربع السعة بالنسبة للطاقة (التردد) في مثل هذا المذبذب الكلاسيكي المُحفَّز. $${\displaystyle f'(\mathrm {E} ){\big [}(\mathrm {E} ^{2}-M^{2})^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}{\big ]}-4\mathrm {E} (M^{2}-\mathrm {E} ^{2})f(\mathrm {E} )=0,}$$ أو بالأحرى $$$$$ مع $${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.}$$

المقطع العرضي للإنتاج الرنيني للدوران-${\displaystyle J}$جسيم ذو كتلة${\displaystyle M}$عن طريق تصادم جسيمين ذوي دوران مغزلي${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$يتم وصفها بشكل عام بواسطة صيغة بريت-ويغنر النسبية: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sigma (E_{\text{cm}})={\frac {2J+1}{(2S_{1}+1)(2S_{2}+1)}}{\frac {4\pi }{p_{\text{cm}}^{2}}}\left[{\frac {\Gamma ^{2}/4}{(E_{\text{cm}}-E_{0})^{2}+\Gamma ^{2}/4}}\right]B_{\text{in}},}$$ أين${\displaystyle E_{\text{cm}}}$هي طاقة مركز كتلة التصادم،${\displaystyle E_{0}=Mc^{2}}$،${\displaystyle p_{\text{cm}}}$يمثل زخم مركز الكتلة لكل من الجسيمين المتصادمين،${\displaystyle \Gamma }$يمثل العرض الكامل للرنين عند نصف الحد الأقصى ، و${\displaystyle B_{\text{in}}}$يمثل هذا الكسر التفرعي لتحلل الرنين إلى جسيمات${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$إذا تم رصد الرنين فقط في قناة إخراج محددة، فإن المقطع العرضي المرصود سينخفض ​​بمقدار نسبة التفرع (${\displaystyle B_{\text{out}}}$) لقناة التحلل تلك.

في التجربة، يكون للشعاع الساقط الذي يُحدث الرنين دائمًا تشتت في الطاقة حول قيمة مركزية. عادةً ما يكون هذا التشتت توزيعًا غاوسيًا/طبيعيًا . يُعطى شكل الرنين الناتج في هذه الحالة من خلال التفاف توزيع برايت-ويغنر مع التوزيع الغاوسي. $${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\سيجما ^{2}}}}\,dE'.}$$

يمكن تبسيط هذه الدالة ^{[ 6 ]} عن طريق إدخال متغيرات جديدة، $${\displaystyle t={\frac {EE'}{{\sqrt {2}}\,\sigma }},\quad u_{1}={\frac {EM}{{\sqrt {2}}\,\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\,\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$$ للحصول على $${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$$ حيث أن دالة توسيع الخط النسبي ^{[ 6 ]} لها التعريف التالي: $${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}\,dt.}$$

${\displaystyle H_{2}}$وهو المقابل النسبي لوظيفة توسيع الخط المماثلة ^{[ 7 ]} لملف تعريف فويغت المستخدم في التحليل الطيفي (انظر أيضًا §  7.19 من ^{[ 8 ]} ).