محاكاة مونت كارلو المباشرة

في كل خطوة زمنية، تُصنّف الجسيمات في خلايا مكانية، ولا يُسمح بالتصادم إلا للجسيمات الموجودة في الخلية نفسها. عادةً، لا يتجاوز بُعد الخلية ثلث متوسط ​​المسار الحر. جميع أزواج الجسيمات في الخلية مرشحة للتصادم، بغض النظر عن مساراتها الفعلية. وللحصول على محاكاة أكثر دقة، تُقسّم الخلايا إلى خلايا فرعية، قد تكون ثابتة أو متغيرة.

تعتمد تفاصيل حساب التصادمات في طريقة مونت كارلو المباشرة (DSMC) على نموذج التفاعل الجزيئي؛ هنا نعتمد نموذج الكرات الصلبة ، وهو الأبسط. في نموذج الكرات الصلبة، يكون احتمال تصادم زوج من الجسيمات،${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$، يتناسب مع سرعتهما النسبية، $$// _{ن}|}}}$$ أين${\displaystyle N_{\mathrm {c} }}$يمثل عدد الجسيمات في الخلية، وتُجرى عمليات الجمع على جميع الجسيمات داخل الخلية. ونظرًا لوجود مجموع مزدوج في المقام، قد يكون استخدام احتمال التصادم هذا مباشرةً مكلفًا حسابيًا. بدلًا من ذلك، يمكن استخدام مخطط أخذ العينات بالرفض التالي لاختيار أزواج التصادم:

1. زوج من الجسيمات المرشحة،${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$يتم اختيارها عشوائياً وسرعتها النسبية،${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|}$، يتم حسابها.
2. يُعتبر الزوجان شريكين في التصادم إذا${\displaystyle v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re }$، أين${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$هي أقصى سرعة نسبية في الخلية و${\displaystyle \Re }$هو انحراف منتظم في الفترة [0، 1).
3. إذا تم قبول الزوج، تتم معالجة التصادم؛ تتم إعادة ضبط سرعات الجسيمات ولكن تبقى المواضع دون تغيير.
4. بعد معالجة التصادم أو في حالة رفض الزوج، ارجع إلى الخطوة 1.

هذا الإجراء صحيح حتى لو كانت قيمة${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }}$يتم المبالغة في تقديرها، على الرغم من أنها أقل كفاءة بمعنى أنه يتم رفض المزيد من المرشحين.

بعد اختيار زوج التصادم، يتم حساب سرعاتهما بعد التصادم. ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{j}^{*}}$يتم تقييمها. كتابة السرعة النسبية بدلالة الزوايا الكروية ،${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]}$$ يتم اختيار هذه الزوايا بواسطة عملية مونت كارلو بتوزيعات محددة من نموذج التصادم. بالنسبة لنموذج الكرات الصلبة، تتوزع هذه الزوايا بانتظام على الكرة الوحدة . تتوزع الزاوية السمتية بانتظام بين 0 و${\displaystyle 2\pi }$لذلك تم اختياره كـ${\displaystyle \phi =2\pi \Re _{1}}$ أين${\displaystyle \Re _{1}}$( انحراف منتظم في الفترة [0، 1). يتم توزيع الزاوية القطبية وفقًا لكثافة الاحتمال، $${\displaystyle P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \theta \,d\theta }$$ باستخدام تغيير المتغير${\displaystyle q=-\cos \theta }$لدينا${\displaystyle P_{q}(q)\,dq=({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq}$لذا $${\displaystyle -\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={\sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {where} ~q=2\Re _{2}-1}$$ تم تحديد السرعات بعد التصادم على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}}$$ لاحظ أنه وفقًا لقانون حفظ الزخم الخطي والطاقة، فإن سرعة مركز الكتلة والسرعة النسبية لا تتغيران في حالة التصادم. أي، $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v} _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}}$$ و $${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{*}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}}$$ تتكرر هذه العملية لكل زوج من الجسيمات المتصادمة.

من معدل التصادم،${\displaystyle f_{\mathrm {coll} }}$، وفقًا للنظرية الحركية، العدد الإجمالي لتصادمات الكرات الصلبة في خلية خلال فترة زمنية${\displaystyle \tau }$يكون $${\displaystyle M_{\mathrm {coll} }={1 \over 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$ أين${\displaystyle d}$يمثل قطر الجسيم و${\displaystyle V_{\mathrm {c} }}$يمثل حجم الخلية. وبما أن الجسيمات المرشحة للتصادم تخضع لإجراءات استبعاد، فإن نسبة إجمالي الجسيمات المقبولة إلى إجمالي الجسيمات المرشحة للجسيمات الكروية الصلبة هي $${\displaystyle {{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}}$$ عدد المرشحين للتصادم الذين تم اختيارهم في خلية ما خلال فترة زمنية محددة${\displaystyle \tau }$يكون $${\displaystyle M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}}$$ يُعرف هذا النهج لتحديد عدد التصادمات باسم طريقة عدم استخدام عداد الوقت (NTC).${\displaystyle v_{\mathrm {r} }^{\max }}$إذا تم ضبطها على قيمة عالية للغاية، فإن الخوارزمية تعالج نفس عدد التصادمات (في المتوسط) ولكن المحاكاة غير فعالة لأن العديد من المرشحين يتم رفضهم.

هناك خوارزمية بديلة وأكثر دقة وكفاءة من حيث الوقت وهي طريقة التردد الرئيسي (MF)، التي اقترحها ميخائيل إيفانوف وسيرجي روجاسينسكي في عام 1988. ^{[ 13 ]}