تقريب ثنائي القطب المنفصل

يمكن التعبير عن دالة غرين الثنائية في الفضاء الحر المستخدمة في تقريب ثنائي القطب المنفصل (DDA) على أنها تأثير عامل تفاضلي على دالة غرين العددية:

${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=\left[\nabla \nabla +k^{2}\mathbf {I} \right]{\frac {e^{ikr}}{r}},}$

أين${\displaystyle k}$هو العدد الموجي ،${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة ، و${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل المتجه من ثنائي القطب المصدر إلى نقطة الرصد. يؤدي حساب المشتقات إلى الصيغة الصريحة التالية:

$// {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {I} \right)\right],}$

أين${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /|\mathbf {r} |}$هو متجه الوحدة الذي يشير من المصدر إلى نقطة الرصد.

يصف موتر غرين هذا المجال الكهربائي الناتج عن ثنائي قطب في وسط متجانس. ويُستخدم لحساب الكتل غير القطرية لمصفوفة التفاعل في تقريب ثنائي القطب المنفصل (DDA)، أي التفاعل بين ثنائيات أقطاب مختلفة.${\displaystyle j\neq k}$. مصطلح الذات المفرد${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} =0)}$يتم استبعادها واستبدالها بحد محلي محدد يتضمن موتر الاستقطابية العكسي${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$.

وبالتالي، فإن المجال الكهربائي عند ثنائي القطب${\displaystyle j}$بسبب ثنائي القطب${\displaystyle k}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left[k^{2}r_{jk}^{2}\left(\mathbf {I} -{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}\right)+\left(1-ikr_{jk}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}{\hat {\mathbf {r} }}_{jk}-\mathbf {I} \right)\right],}$

أين${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$،${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$، و${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$. هنا${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة و${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$هو عدد الموجة في الفراغ.

يُعرِّف

${\displaystyle C_{1}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(k^{2}r_{jk}^{2}+ikr_{jk}-1\right),}$

${\displaystyle C_{2}(r_{jk})={\frac {e^{ikr_{jk}}}{r_{jk}^{3}}}\left(3-3ikr_{jk}-k^{2}r_{jk}^{2}\right).}$

وظيفة غرين الثنائية${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}}$يكون:

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}={\begin{pmatrix}C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,x}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}^{2}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,y}{\hat {r}}_{jk,z}\\C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,x}&C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}{\hat {r}}_{jk,y}&C_{1}+C_{2}{\hat {r}}_{jk,z}^{2}\end{pmatrix}},}$

لاحظ أنها متناظرة:${\displaystyle G_{jk}^{yx}=G_{jk}^{xy},\;G_{jk}^{zx}=G_{jk}^{xz},\;G_{jk}^{zy}=G_{jk}^{yz}}$.

هنا${\displaystyle \mathbf {r} _{jk}=\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}}$هو متجه الإزاحة من ثنائي القطب${\displaystyle k}$إلى ثنائي القطب${\displaystyle j}$،${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{jk}|}$هي المسافة بينهما، و${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}=\mathbf {r} _{jk}/r_{jk}}$هو متجه الوحدة الذي يشير من${\displaystyle k}$ل${\displaystyle j}$مكونات${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{jk}}$تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {r}}_{jk,x}={\frac {r_{j,x}-r_{k,x}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,y}={\frac {r_{j,y}-r_{k,y}}{r_{jk}}},\;{\hat {r}}_{jk,z}={\frac {r_{j,z}-r_{k,z}}{r_{jk}}}.}$

في تقريب ثنائي القطب المنفصل، يُنمذج الاستجابة الكهرومغناطيسية لهدف ما باستبدال المادة المتصلة بمصفوفة محدودة من ثنائيات الأقطاب النقطية. يمثل كل ثنائي قطب حجمًا صغيرًا من المادة ويعمل كوحدة قابلة للاستقطاب تتفاعل مع كل من المجال الساقط والمجالات المشعة من جميع ثنائيات الأقطاب الأخرى. المعلمة الأساسية التي تصف كيفية استجابة كل ثنائي قطب للمجال الكهربائي المحلي هي قابليته للاستقطاب.${\displaystyle \alpha _{j}}$بالنسبة للمادة المتجانسة، يتم تحديد استقطابية ثنائي القطب بواسطة دالة العزل الكهربائي المعقدة للمادة.${\displaystyle \varepsilon (\lambda )}$، وهو ما يعتمد على الطول الموجي${\displaystyle \lambda }$الضوء في الفراغ. ترتبط دالة العزل الكهربائي بمعامل الانكسار المركب.${\displaystyle n=n'+in''}$خلال${\displaystyle \varepsilon =n^{2}}$الهدف في DDA هو تحديد قابلية الاستقطاب لكل ثنائي قطب${\displaystyle \alpha _{j}}$بحيث تُحاكي مصفوفة ثنائيات الأقطاب، بأكبر قدر ممكن من الدقة، سلوك التشتت والامتصاص للوسط المتصل الأصلي. بالنسبة للمواد المتجانسة، تُعد علاقة كلاوزيوس-موسوتي نقطة انطلاق شائعة ، حيث تربط الاستقطابية بدالة العزل الكهربائي.

في تقريب ثنائي القطب المنفصل، يتم تقسيم الحجم الكلي للهدف إلى خلايا مكعبة صغيرة الحجم${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$، أين${\displaystyle d}$يمثل تباعد الشبكة. أما استقطابية كلاوزيوس-موسوتي لكل ثنائي قطب فهي

${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {3V_{\mathrm {dipole} }}{4\pi }}{\frac {\varepsilon _{j}-1}{\varepsilon _{j}+2}},}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{j}}$تمثل السماحية النسبية للمادة عند موضع ثنائي القطب. حجم ثنائي القطب${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }}$ثابت عبر جميع ثنائيات الأقطاب.

تفترض هذه الصيغة أن كل ثنائي قطب يشغل حيزًا ضمن وسط عازل متجانس. في معظم تطبيقات تقريب ثنائي القطب المنفصل (DDA)، تُعبَّر الصيغة بوحدات غاوسية (CGS). في هذه الوحدات، تكون الاستقطابية${\displaystyle \alpha _{j}}$له أبعاد حجمية (سم³ ⁾ . في تقريب ثنائي القطب المنفصل، يُقسم الحجم الكلي للهدف إلى${\displaystyle N}$خلايا مكعبة صغيرة الحجم${\displaystyle V_{\mathrm {dipole} }=d^{3}}$، أين${\displaystyle d}$المسافة بين الشبكات و${\displaystyle N}$يمثل العدد الإجمالي للثنائيات القطبية. وبالتالي، فإن الحجم الإجمالي للهدف هو

${\displaystyle V_{\mathrm {target} }=Nd^{3}.}$

لتحسين دقة الطريقة، تم إجراء تصحيحات مختلفة لـ${\displaystyle \alpha _{j}}$يتم تطبيقها. وتشمل هذه: علاقة تشتت الشبكة (LDR) والاستقطابية (Draine & Goodman، 1993)، والتي تضبط${\displaystyle \alpha _{j}}$لضمان أن علاقة التشتت لشبكة لانهائية من ثنائيات الأقطاب تتطابق مع علاقة التشتت للمادة المستمرة؛ تصحيح التفاعل الإشعاعي (RR)، الذي يعوض عن حقيقة أن كل ثنائي قطب يشع طاقة ويتأثر بمجال الإشعاع الخاص به.

معامل الحجم هو كمية لا بُعدية تُستخدم في نظرية التشتت لتحديد حجم الجسيم بالنسبة لطول موجة الضوء الساقط. بالنسبة للكرة، يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle x={\frac {2\pi r}{\lambda }}=kr}$

أين:${\displaystyle x}$هو معامل الحجم (بدون أبعاد)،${\displaystyle a}$يمثل نصف قطر الكرة،${\displaystyle \lambda }$هو الطول الموجي للضوء في الفراغ،

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$هو رقم الموجة.

في حالة الكرة، يحدد معامل الحجم نظام التشتت:

• لو${\displaystyle x\ll 1}$، ويسود تشتت رايلي .
• لو${\displaystyle x\sim 1}$، يكون التشتت في نظام تشتت مي .
• لو${\displaystyle x\gg 1}$يصبح تقريب البصريات الهندسية صالحاً .

بالنسبة للأهداف غير الكروية التي لها نفس حجم الكرة، فإن نصف القطر الفعال${\displaystyle r_{\text{eff}}}$يُستخدم غالبًا بدلاً من${\displaystyle r}$، مع:

${\displaystyle r_{\text{eff}}=\left({\frac {3V_{\text{tot}}}{4\pi }}\right)^{1/3}=\left({\frac {3Nd^{3}}{4\pi }}\right)^{1/3}}$

أين:${\displaystyle N}$يمثل العدد الإجمالي للثنائيات القطبية،${\displaystyle d}$هي المسافة بين ثنائيات الأقطاب،${\displaystyle V_{\text{tot}}=Nd^{3}}$يمثل الحجم الكلي الذي تمثله ثنائيات الأقطاب. وهذا يعطي معامل الحجم الفعال.

${\displaystyle x_{\text{eff}}={\frac {2\pi r_{\text{eff}}}{\lambda }}}$

تتمثل إحدى الحيل المفيدة في بعض اختبارات دقة DDA في تعريف الطول الموجي على النحو التالي:${\displaystyle 2\pi }$في مثل هذه الحالة، يكون نصف القطر الفعال هو نفسه معامل الحجم الفعال.

تشغل كل نقطة قابلة للاستقطاب (ثنائي القطب) حجمًا مكعبًا بطول ضلع${\displaystyle d}$. على غرار معيار الحجم العالمي${\displaystyle x=2\pi r/\lambda }$عند استخدامها مع الجسيمات الكاملة، يمكن تحديد معلمة حجم محلية لكل ثنائي قطب:

${\displaystyle x_{d}=|m|kd={\frac {2\pi |m|d}{\lambda }}}$

يُحدد هذا المعامل المحلي نسبة حجم ثنائي القطب إلى طول موجة الضوء داخل المادة. ولكي تكون طريقة DDA دقيقة، يجب أن يتغير المجال ببطء على امتداد حجم كل ثنائي قطب. ويتحقق هذا الشرط عندما:

${\displaystyle x_{d}=|m|kd\lesssim 0.5}$

يضمن هذا أن يكون كل ثنائي قطب صغيرًا بصريًا، وأن تتغير المجالات ببطء عبر ثنائي القطب، وأن تكون صيغة الاستقطابية المستخدمة لكل ثنائي قطب دقيقة. تجدر الإشارة إلى أن معاملًا مشابهًا يلعب دورًا حاسمًا في نظرية الحيود الشاذ لفان دي هولست، حيث يُعطى إجمالي إزاحة الطور التي تتعرض لها أشعة الضوء أثناء مرورها عبر الجسيم أو حوله بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \delta =2\pi (m-1){\frac {r}{\lambda }}}$

يصف هذا فرق المسار البصري الناتج عن الجسيم (أو في حالة DDA بواسطة ثنائي القطب).

يُعبّر عن النظام الخطي التقريبي ثنائي القطب المنفصل (DDA) على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {E} _{\mathrm {inc} }}$

أين${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$هي مصفوفة النظام،${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {C} ^{3N}}$هو متجه الاستقطاب المجهول،${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }\in \mathbb {C} ^{3N}}$هو متجه المجال الكهربائي الساقط. لدينا

${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {G} +\mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$.

${\displaystyle \mathbf {G} }$يشفر التفاعلات بين ثنائيات الأقطاب عبر موتر غرين (غير الموضعي)، و${\displaystyle \mathrm {diag} ({\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1},\dots ,{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1})}$هي مصفوفة قطرية كتلية مع كل كتلة${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$.

ليكن N عدد ثنائيات الأقطاب. لكل ثنائي قطب متجه استقطاب${\displaystyle \mathbf {P} _{j}\in \mathbb {C} ^{3}}$النظام الكلي عبارة عن معادلة مصفوفية من الحجم${\displaystyle 3N\times 3N}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}^{-1}&-\mathbf {G} _{12}&-\mathbf {G} _{13}&\cdots &-\mathbf {G} _{1N}\\-\mathbf {G} _{21}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}^{-1}&-\mathbf {G} _{23}&\cdots &-\mathbf {G} _{2N}\\-\mathbf {G} _{31}&-\mathbf {G} _{32}&{\boldsymbol {\alpha }}_{3}^{-1}&\cdots &-\mathbf {G} _{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-\mathbf {G} _{N1}&-\mathbf {G} _{N2}&-\mathbf {G} _{N3}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{N}^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\vdots \\\mathbf {P} _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,1}\\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,2}\\\vdots \\\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,N}\end{bmatrix}}}$

كل كتلة${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}}$هو${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة المركبة، المعرفة بواسطة:

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}={\begin{cases}{\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j=k\\-\mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3},&{\text{if }}j\neq k\end{cases}}}$

لذا${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$يتكون من${\displaystyle N\times N}$مكعبات، كل منها بحجم${\displaystyle 3\times 3}$.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$هو موتر الاستقطابية العكسي،${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}\in \mathbb {C} ^{3\times 3}}$هو موتر غرين الثنائي للتفاعل بين ثنائيات الأقطاب${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$،${\displaystyle \mathbf {P} _{j},\mathbf {E} _{\mathrm {inc} ,j}\in \mathbb {C} ^{3}}$يمثل استقطاب ثنائي القطب والمجال الكهربائي الساقط عند ثنائي القطب${\displaystyle j}$، على التوالى.

عادةً ما تُرتّب ثنائيات الأقطاب على شبكة منتظمة. وهذا يعني ثباتها تحت الإزاحة.

${\displaystyle \mathbf {G} _{jk}=\mathbf {G} (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k})=\mathbf {G} _{|j-k|}}$

لأن${\displaystyle \mathbf {G} _{|j-k|}=\mathbf {G} _{|k-j|}}$، المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$متناظر:

${\displaystyle \mathbf {A} _{jk}=\mathbf {A} _{kj}\quad {\text{for all }}j,k}$

لكل ثنائي قطب ثلاثة مركبات متجهة (${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$،${\displaystyle z}$)، لذلك يمكننا إعادة ترتيب المتجه المجهول${\displaystyle \mathbf {P} }$عن طريق تجميع جميع المكونات السينية معًا، ثم المكونات الصادية، ثم المكونات العينية:

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}\quad {\text{where}}\quad \mathbf {P} _{x}={\begin{bmatrix}P_{1x}\\P_{2x}\\\vdots \\P_{Nx}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{y}={\begin{bmatrix}P_{1y}\\P_{2y}\\\vdots \\P_{Ny}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{z}={\begin{bmatrix}P_{1z}\\P_{2z}\\\vdots \\P_{Nz}\end{bmatrix}}}$

وبالمثل، يمكن تجميع حقل الحادث على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {inc} }={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{3N}}$

بما أن النظام خطي، يمكننا إعادة كتابته بشكل مكافئ في شكل مصفوفة كتلية ، تصف كيفية${\displaystyle \beta }$يؤثر أحد مكونات الاستقطاب على${\displaystyle \alpha }$-مكون الحقل الناتج:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{xx}&\mathbf {A} _{xy}&\mathbf {A} _{xz}\\\mathbf {A} _{yx}&\mathbf {A} _{yy}&\mathbf {A} _{yz}\\\mathbf {A} _{zx}&\mathbf {A} _{zy}&\mathbf {A} _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{x}\\\mathbf {P} _{y}\\\mathbf {P} _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{bmatrix}}}$

الصيغة الموسعة للمعادلات هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {G} _{xx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{xy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{xz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{x}&=\mathbf {E} _{x}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{yx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{yy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{yz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{y}&=\mathbf {E} _{y}^{\mathrm {inc} }\\-\mathbf {G} _{zx}\mathbf {P} _{x}-\mathbf {G} _{zy}\mathbf {P} _{y}-\mathbf {G} _{zz}\mathbf {P} _{z}+({\boldsymbol {\alpha }}^{-1}\mathbf {P} )_{z}&=\mathbf {E} _{z}^{\mathrm {inc} }\end{aligned}}}$

كل كتلة${\displaystyle \mathbf {G} _{ij}\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$ويبلغ حجم النظام الإجمالي${\displaystyle 3N\times 3N}$مصفوفة التفاعل${\displaystyle \mathbf {G} \in \mathbb {C} ^{3N\times 3N}}$يتكون من 9 كتل: ${\displaystyle \mathbf {G} _{xx},\mathbf {G} _{xy},\mathbf {G} _{xz},\mathbf {G} _{yx},\mathbf {G} _{yy},\mathbf {G} _{yz},\mathbf {G} _{zx},\mathbf {G} _{zy},\mathbf {G} _{zz}}$(لا يلزم تقييم سوى 6 منها بسبب التناظر). كل عملية ضرب مصفوفة في متجه${\displaystyle \mathbf {G} _{\alpha \beta }\mathbf {P} _{\beta }}$يمكن حسابها على أنها عملية التفاف عندما يتم ترتيب ثنائيات الأقطاب على شبكة منتظمة، مما يسمح باستخدام تحويلات فورييه السريعة (FFTs) لتسريع الحل.

يترك${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\boldsymbol {\alpha }}_{j}^{-1}}$يرمز إلى موتر الاستقطابية العكسي للثنائي القطبي${\displaystyle j}$. كل${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}}$هو قيمة مركبة${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفة. وهذا يعطي:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{x}=\mathrm {diag} (\beta _{1,xx},\dots ,\beta _{N,xx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xy},\dots ,\beta _{N,xy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,xz},\dots ,\beta _{N,xz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{y}=\mathrm {diag} (\beta _{1,yx},\dots ,\beta _{N,yx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yy},\dots ,\beta _{N,yy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,yz},\dots ,\beta _{N,yz})\,\mathbf {P} _{z}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )_{z}=\mathrm {diag} (\beta _{1,zx},\dots ,\beta _{N,zx})\,\mathbf {P} _{x}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zy},\dots ,\beta _{N,zy})\,\mathbf {P} _{y}+\mathrm {diag} (\beta _{1,zz},\dots ,\beta _{N,zz})\,\mathbf {P} _{z}}$

في الحالة الخاصة للجسيم المتجانس والمتناحي الخواص، تكون الاستقطابية${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}}$تكون متطابقة لجميع ثنائيات الأقطاب وتتناسب مع مصفوفة الوحدة:${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{j}=\alpha \,\mathbf {I} }$ثم يصبح العكس${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=\alpha ^{-1}\,\mathbf {I} }$تختفي جميع العناصر غير القطرية، وتختزل التعبيرات إلى قسمة بسيطة على مستوى العناصر:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\beta }}\mathbf {P} )={\frac {1}{\alpha }}\,\mathbf {P} }$

ملاحظة حول التطبيق العملي. في لغتي فورتران وماتلاب، المصفوفات مثل${\displaystyle \mathbf {P} (n_{x},n_{y},n_{z},3)}$أو${\displaystyle \mathbf {E} ^{\mathrm {inc} }(n_{x},n_{y},n_{z},3)}$يتم تخزينها بترتيب الأعمدة، حيث يتغير الفهرس الأول بشكل أسرع في الذاكرة (ترتيب عكسي معجمي). هذا يعني أن جميع مكونات x${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} (:,:,:,1)}$تكون متجاورة في الذاكرة، متبوعة بجميع مكونات المحور الصادي.${\displaystyle \mathbf {P} _{y}=\mathbf {P} (:,:,:,2)}$ثم جميع مكونات المحور z${\displaystyle \mathbf {P} _{z}=\mathbf {P} (:,:,:,3)}$في المقابل، يستخدم بايثون ( NumPy ) ترتيب الصفوف افتراضيًا (ترتيب معجمي، حيث يتغير الفهرس الأخير بشكل أسرع). لتحقيق نفس التخطيط المتجاور لـ${\displaystyle \mathbf {P} _{x}}$،${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$،${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$في الذاكرة، يجب تعريف المصفوفة في بايثون على النحو التالي:${\displaystyle \mathbf {P} (3,n_{x},n_{y},n_{z})}$، مع وضع فهرس مكونات المتجه (x، y، z) أولاً. وهذا يضمن أن${\displaystyle \mathbf {P} _{x}=\mathbf {P} [0,:,:,:]}$يتم تخزينها بشكل متجاور في الذاكرة، متبوعة بـ${\displaystyle \mathbf {P} _{y}}$و${\displaystyle \mathbf {P} _{z}}$.