طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة
في طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني، تُستخدم "شبكة يي" لتقسيم معادلات ماكسويل في الفضاء. تتضمن هذه الطريقة وضع المجالات الكهربائية والمغناطيسية على شبكة متداخلة.

طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة ( FDTD ) أو طريقة يي (التي سميت على اسم عالم الرياضيات التطبيقية الصيني الأمريكي كين إس يي ، المولود عام 1934) هي تقنية تحليل عددي تستخدم لنمذجة الديناميكا الكهربائية الحاسوبية .

تاريخ

استُخدمت مخططات الفروق المحدودة للمعادلات التفاضلية الجزئية المعتمدة على الزمن لسنوات عديدة في مسائل ديناميكا الموائع الحسابية ، [ 1 ] بما في ذلك فكرة استخدام مؤثرات الفروق المحدودة المركزية على شبكات متداخلة في المكان والزمان لتحقيق دقة من الدرجة الثانية. [ 1 ] تمثلت حداثة مخطط FDTD الذي قدمه يي في بحثه الرائد عام 1966، [ 2 ] في تطبيق مؤثرات الفروق المحدودة المركزية على شبكات متداخلة في المكان والزمان لكل مركبة من مركبات المجال الكهربائي والمغناطيسي في معادلات ماكسويل الدورانية. وقد صاغ ألين تافلوف مصطلح "المجال الزمني للفروق المحدودة" واختصاره "FDTD" عام 1980. [ 3 ] ومنذ عام 1990 تقريبًا، برزت تقنيات FDTD كوسيلة أساسية لنمذجة العديد من المسائل العلمية والهندسية التي تتناول تفاعلات الموجات الكهرومغناطيسية مع الهياكل المادية حسابيًا. تتراوح تطبيقات نمذجة FDTD الحالية من نطاق الترددات القريبة من التيار المستمر ( الجيوفيزياء ذات الترددات المنخفضة للغاية التي تشمل كامل طبقة الأرض- الأيونوسفير ) مرورًا بنطاق الموجات الميكروية (تقنية البصمة الرادارية، والهوائيات ، وأجهزة الاتصالات اللاسلكية، والوصلات الرقمية، والتصوير/العلاج الطبي الحيوي) وصولًا إلى نطاق الضوء المرئي ( البلورات الضوئية ، والبلازمونيات النانوية ، والسوليتونات ، والبيوفوتونيات ). [ 4 ] في عام 2006، نُشر ما يُقدّر بنحو 2000 منشور متعلق بـ FDTD في الأدبيات العلمية والهندسية (انظر قسم الشعبية ). اعتبارًا من عام 2013، يوجد ما لا يقل عن 25 شركة برمجيات تجارية/احتكارية لـ FDTD؛ و13 مشروعًا لبرمجيات FDTD مجانية/ مفتوحة المصدر ؛ ومشروعان لبرمجيات FDTD مجانية/مغلقة المصدر، بعضها غير مخصص للاستخدام التجاري (انظر قسم الروابط الخارجية ).

تطوير معادلات FDTD وماكسويل

يمكن فهم أساسيات وتطور تقنيات FDTD العددية لمعادلات ماكسويل، وآفاقها المستقبلية، من خلال استعراض تاريخها أولاً. وفيما يلي قائمة ببعض أهم المنشورات في هذا المجال.

التسلسل الزمني الجزئي لتقنيات FDTD وتطبيقاتها على معادلات ماكسويل. [ 5 ]
سنةحدث
1928نشر كوران وفريدريش وليوي (CFL) ورقة بحثية رائدة مع اكتشاف الاستقرار المشروط لمخططات الفروق المحدودة الصريحة المعتمدة على الزمن، بالإضافة إلى مخطط الفروق المحدودة الكلاسيكي لحل معادلة الموجة من الدرجة الثانية في بعد واحد وبعدين. [ 6 ]
1950الظهور الأول لطريقة فون نيومان لتحليل الاستقرار لطرق الفروق المحدودة المعتمدة على الزمن الضمنية/الصريحة. [ 7 ]
1966وصف يي تقنية FDTD العددية لحل معادلات ماكسويل الدورانية على شبكات متداخلة في المكان والزمان. [ 2 ]
1969أبلغ لام عن شرط الاستقرار العددي الصحيح لخوارزمية يي باستخدام تحليل استقرار فون نيومان. [ 8 ]
1975أبلغ تافلوف وبرودوين عن أول حلول FDTD للحالة المستقرة الجيبية لتفاعلات الموجات الكهرومغناطيسية ثنائية وثلاثية الأبعاد مع الهياكل المادية؛ [ 9 ] وأول نماذج الكهرومغناطيسية الحيوية. [ 10 ]
1977قام كل من هولاند وكونز ولي بتطبيق خوارزمية يي على مشاكل EMP. [ 11 ] [ 12 ]
1980ابتكر تافلوف اختصار FDTD ونشر أول نماذج FDTD تم التحقق من صحتها لاختراق الموجات الكهرومغناطيسية الجيبية في الحالة المستقرة داخل تجويف معدني ثلاثي الأبعاد. [ 3 ]
1981نشر مور أول شرط حدودي امتصاصي مستقر عدديًا ودقيق من الدرجة الثانية لشبكة يي. [ 13 ]
1982–1983قام تافلوف وأوماشينكار بتطوير أول نماذج تشتت الموجات الكهرومغناطيسية باستخدام طريقة FDTD لحساب المجالات القريبة والبعيدة الجيبية في الحالة المستقرة، بالإضافة إلى المقطع العرضي الراداري للهياكل ثنائية وثلاثية الأبعاد. [ 14 ] [ 15 ]
1984أفاد لياو وآخرون عن تحسين لخوارزمية ABC بناءً على استقراء المكان والزمان للحقل المجاور لحدود الشبكة الخارجية. [ 16 ]
1985قدم غواريك صيغة الدائرة المكافئة المجمعة لـ FDTD. [ 17 ]
1986نشر تشوي وهوفر أول محاكاة FDTD لهياكل الموجهات الموجية. [ 18 ]
1987–1988نشر كل من كريغسمان وآخرون ومور وآخرون المقالات الأولى حول نظرية ABC في مجلة IEEE Transactions on Antennas and Propagation . [ 19 ] [ 20 ]
1987-1988، 1992تم تقديم تقنيات الخلايا الفرعية لمسار الكفاف من قبل أوماشينكار وآخرون للسماح بنمذجة FDTD للأسلاك الرقيقة وحزم الأسلاك، [ 21 ] ومن قبل تافلوف وآخرون لنمذجة الاختراق عبر الشقوق في الشاشات الموصلة، [ 22 ] ومن قبل يورغنز وآخرون لنمذجة سطح مشتت منحني بسلاسة بشكل متوافق. [ 23 ]
1988نشر سوليفان وآخرون أول نموذج ثلاثي الأبعاد بتقنية FDTD لامتصاص الموجات الكهرومغناطيسية الجيبية في الحالة المستقرة بواسطة جسم الإنسان بالكامل. [ 24 ]
1988تم تقديم نمذجة FDTD للشرائح الدقيقة بواسطة Zhang et al . [ 25 ]
1990–91تم تقديم نموذج FDTD للسماحية العازلة المعتمدة على التردد بواسطة كاشيوا وفوكاي، [ 26 ] ولوبيرز وآخرون ، [ 27 ] وجوزيف وآخرون . [ 28 ]
1990–91تم تقديم نمذجة FDTD للهوائيات بواسطة مالوني وآخرون ، [ 29 ] وكاتز وآخرون ، [ 30 ] وتيركاس وبالانيس. [ 31 ]
1990تم تقديم نمذجة FDTD للمفاتيح الكهروضوئية البيكوثانية بواسطة سانو وشيباتا، [ 32 ] والغزالي وآخرون . [ 33 ]
1992–94تم تقديم نموذج FDTD لانتشار النبضات الضوئية في الأوساط المشتتة غير الخطية، بما في ذلك أولى السوليتونات الزمنية في بُعد واحد بواسطة غورجيان وتافلوف؛ [ 34 ] والتركيز الذاتي للشعاع بواسطة زيولكوفسكي وجودكينز؛ [ 35 ] وأولى السوليتونات الزمنية في بُعدين بواسطة جوزيف وآخرون ؛ [ 36 ] وأولى السوليتونات المكانية في بُعدين بواسطة جوزيف وتافلوف. [ 37 ]
1992تم تقديم نمذجة FDTD لعناصر الدوائر الإلكترونية المجمعة بواسطة Sui et al . [ 38 ]
1993نشر تولاند وآخرون أول نماذج FDTD لأجهزة الكسب (ثنائيات النفق وثنائيات غان) التي تثير التجاويف والهوائيات. [ 39 ]
1993يقدم أويجي وآخرون خوارزمية يي الهجينة / معادلة الموجة العددية ويبرهنون على تكافؤ مخطط يي مع مخطط الفروق المحدودة لمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية . [ 40 ]
1994قدم توماس وآخرون دائرة مكافئة لنورتون لشبكة الفضاء FDTD، مما يسمح لأداة تحليل الدوائر SPICE بتنفيذ نماذج دقيقة للشبكة الفرعية للمكونات الإلكترونية غير الخطية أو الدوائر الكاملة المضمنة داخل الشبكة. [ 41 ]
1994قدم بيرينجر طبقة مطابقة مثالية عالية الفعالية (PML) ABC لشبكات FDTD ثنائية الأبعاد، [ 42 ] والتي تم توسيعها لتشمل الشبكات غير المتعامدة بواسطة نافارو وآخرون ، [ 43 ] وثلاثة أبعاد بواسطة كاتز وآخرون ، [ 44 ] وإلى نهايات الموجات الموجهة التشتتية بواسطة رويتر وآخرون . [ 45 ]
1994قدم تشو وويدون نموذج PML لتمديد الإحداثيات والذي يمكن توسيعه بسهولة إلى ثلاثة أبعاد وأنظمة إحداثيات أخرى ومعادلات فيزيائية أخرى. [ 46 ]
1995–96قدم ساكس وآخرون وجيدني نموذجًا قابلًا للتحقيق فيزيائيًا لطبقة مطابقة مثالية أحادية المحور (UPML) ABC. [ 47 ] [ 48 ]
1997قدم ليو طريقة المجال الزمني الطيفي الزائف (PSTD)، والتي تسمح بأخذ عينات مكانية خشنة للغاية للمجال الكهرومغناطيسي عند حد نايكويست. [ 49 ]
1997قدم راماهي طريقة المؤثرات التكميلية (COM) لتنفيذ تحليل ABCs عالي الفعالية. [ 50 ]
1998قدم مالوني وكيسلر عدة وسائل جديدة لتحليل الهياكل الدورية في شبكة الفضاء FDTD. [ 51 ]
1998قدم ناجرا ويورك نموذجًا هجينًا يجمع بين طريقة FDTD وميكانيكا الكم لتفاعلات الموجات الكهرومغناطيسية مع المواد التي تحتوي على إلكترونات تنتقل بين مستويات طاقة متعددة. [ 52 ]
1998قدم هاغنيس وآخرون نموذج FDTD للكشف عن سرطان الثدي باستخدام تقنيات الرادار ذات النطاق العريض للغاية. [ 53 ]
1999قدم شنايدر وواغنر تحليلاً شاملاً لتشتت شبكة FDTD بناءً على الأعداد الموجية المركبة. [ 54 ]
2000–01قدّم كلٌّ من تشنغ، وتشن، وتشانغ أول خوارزمية FDTD ثلاثية الأبعاد ذات اتجاه متناوب ضمني (ADI) مع استقرار عددي غير مشروط قابل للإثبات. [ 55 ] [ 56 ]
2000قدم رودن وجيدني خوارزمية ABC المتقدمة للشبكة العصبية التلافيفية PML (CPML). [ 57 ]
2000قدم رايلاندر وبوندسون تقنية هجينة مستقرة مثبتة تعتمد على طريقة FDTD - العناصر المحدودة في المجال الزمني. [ 58 ]
2002قدّم كلٌّ من هاياكاوا وآخرون، وسيمبسون وتافلوف، بشكلٍ مستقل، نمذجة FDTD للموجة العالمية بين الأرض والغلاف الأيوني للظواهر الجيوفيزيائية ذات التردد المنخفض للغاية. [ 59 ] [ 60 ]
2003قدم ديرايدت تقنية FDTD المستقرة بشكل مطلق، والتي تعتمد على "خطوة واحدة". [ 61 ]
2004استنتج سوريانو ونافارو شرط الاستقرار لتقنية FDTD الكمومية. [ 62 ]
2008قدم كل من أحمد، تشوا، لي، وتشن طريقة FDTD ثلاثية الأبعاد أحادية البعد محليًا (LOD) وأثبتوا الاستقرار العددي غير المشروط. [ 63 ]
2008قدم كل من تانيغوتشي وبابا وناغاوكا وأميتاني تمثيل الأسلاك الرقيقة لحسابات FDTD للوسائط الموصلة [ 64 ].
2009قام أوليفيرا وسوبرينيو بتطبيق طريقة FDTD لمحاكاة ضربات البرق في محطة فرعية للطاقة [ 65 ].
2021قام أوليفيرا وبايفا بتطوير طريقة المربعات الصغرى ذات الفروق المحدودة في المجال الزمني (LS-FDTD) لاستخدام خطوات زمنية تتجاوز حد FDTD CFL. [ 66 ]

نماذج وأساليب FDTD

عند دراسة المعادلات التفاضلية لماكسويل ، يتضح أن تغير المجال الكهربائي مع الزمن (المشتقة الزمنية) يعتمد على تغير المجال المغناطيسي عبر الفضاء (الالتفاف ) . وينتج عن ذلك علاقة أساسية في طريقة FDTD، وهي أن القيمة المُحدَّثة للمجال الكهربائي عند أي نقطة في الفضاء تعتمد على القيمة المخزنة للمجال الكهربائي والالتفاف العددي للتوزيع المحلي للمجال المغناطيسي في الفضاء. [ 2 ]

يتم حساب المجال المغناطيسي (H) على مراحل زمنية بطريقة مماثلة. عند أي نقطة في الفضاء، تعتمد القيمة المحدثة للمجال المغناطيسي على قيمته المخزنة والالتفاف العددي للتوزيع المحلي للمجال الكهربائي (E) في الفضاء. ينتج عن تكرار تحديثات المجالين الكهربائي والمغناطيسي عملية متسارعة زمنياً، حيث تنتشر نظائر البيانات المأخوذة من الموجات الكهرومغناطيسية المستمرة قيد الدراسة في شبكة عددية مخزنة في ذاكرة الحاسوب.

رسم توضيحي لخلية يي ديكارتية قياسية تُستخدم في طريقة FDTD، حيث تتوزع حولها مركبات متجهات المجالين الكهربائي والمغناطيسي. [ 2 ] عند تمثيلها كوحدة حجمية مكعبة (فوكسل) ، تُشكل مركبات المجال الكهربائي حواف المكعب، بينما تُشكل مركبات المجال المغناطيسي المتجهات العمودية على أوجه المكعب. تتكون الشبكة الفراغية ثلاثية الأبعاد من عدد كبير من خلايا يي هذه. يتم تمثيل بنية تفاعل الموجات الكهرومغناطيسية في الشبكة الفراغية عن طريق تعيين قيم مناسبة لنفاذية كل مركبة من مركبات المجال الكهربائي، وقيم مناسبة لنفاذية كل مركبة من مركبات المجال المغناطيسي.

ينطبق هذا الوصف على تقنيات FDTD أحادية وثنائية وثلاثية الأبعاد. عند النظر في أبعاد متعددة، قد يصبح حساب الالتفاف العددي معقدًا. اقترحت ورقة كين يي الرائدة عام 1966 توزيعًا مكانيًا لمكونات متجهات المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي حول خلايا الوحدة المستطيلة لشبكة حسابية ديكارتية، بحيث يقع كل مكون من مكونات متجه المجال الكهربائي في منتصف المسافة بين زوج من مكونات متجهات المجال المغناطيسي، والعكس صحيح. [ 2 ] أثبت هذا المخطط، المعروف الآن باسم شبكة يي ، متانته العالية، ولا يزال يشكل جوهر العديد من بنى برامج FDTD الحالية.

علاوة على ذلك، اقترح يي مخططًا للقفزات الزمنية، حيث يتم تحديث المجالين الكهربائي والمغناطيسي بشكل متداخل، بحيث يتم تحديث المجال الكهربائي في منتصف كل خطوة زمنية بين تحديثات المجال المغناطيسي المتتالية، والعكس صحيح. [ 2 ] من مزايا هذا المخطط الزمني الصريح تجنب الحاجة إلى حل المعادلات الآنية، كما أنه يوفر انتشارًا عدديًا للموجات دون تبديد. أما من عيوبه، فهو يفرض حدًا أعلى للخطوة الزمنية لضمان الاستقرار العددي. [ 9 ] ونتيجة لذلك، قد تتطلب بعض أنواع المحاكاة آلاف الخطوات الزمنية لإتمامها.

باستخدام طريقة FDTD

لتطبيق حل FDTD لمعادلات ماكسويل، يجب أولاً تحديد نطاق حسابي. النطاق الحسابي هو ببساطة المنطقة الفيزيائية التي ستُجرى عليها المحاكاة. يتم تحديد المجالين الكهربائي والمغناطيسي عند كل نقطة في الفضاء ضمن هذا النطاق الحسابي. يجب تحديد مادة كل خلية داخل النطاق الحسابي. عادةً، تكون المادة إما هواءً أو معدنًا أو مادة عازلة . يمكن استخدام أي مادة طالما تم تحديد النفاذية والسماحية والتوصيلية .

لا يمكن استبدال سماحية المواد المشتتة في شكل جدولي مباشرةً في مخطط FDTD. بدلاً من ذلك، يمكن تقريبها باستخدام حدود ديباي، أو درود، أو لورنتز، أو حدود النقطة الحرجة. يمكن الحصول على هذا التقريب باستخدام برامج مطابقة مفتوحة المصدر [ 67 ] ، ولا يحمل بالضرورة معنىً فيزيائيًا.

بعد تحديد نطاق الحساب ومواد الشبكة، يتم تحديد مصدر. يمكن أن يكون المصدر تيارًا كهربائيًا في سلك، أو مجالًا كهربائيًا مطبقًا، أو موجة مستوية ساقطة. في الحالة الأخيرة، يمكن استخدام طريقة FDTD لمحاكاة تشتت الضوء من أجسام ذات أشكال عشوائية، وهياكل دورية مستوية بزوايا سقوط مختلفة، [ 68 ] [ 69 ] وبنية النطاق الفوتوني للهياكل الدورية اللانهائية. [ 70 ] [ 71 ]

بما أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي يُحددان مباشرةً، فإن مخرجات المحاكاة عادةً ما تكون المجال الكهربائي أو المغناطيسي عند نقطة أو سلسلة من النقاط ضمن نطاق الحساب. وتُطوّر المحاكاة المجالين الكهربائي والمغناطيسي مع مرور الوقت.

يمكن إجراء المعالجة على حقلي E و H اللذين تم إرجاعهما من المحاكاة. كما يمكن أن تتم معالجة البيانات أثناء استمرار المحاكاة.

بينما تحسب تقنية FDTD المجالات الكهرومغناطيسية داخل منطقة مكانية مضغوطة، يمكن الحصول على المجالات البعيدة المتناثرة و/أو المشعة من خلال تحويلات المجال القريب إلى المجال البعيد. [ 14 ]

استقرار

نظراً لخطية طريقة FDTD، يمكن تحديد منطقة استقرارها باستخدام تحليل استقرار فون نيومان . تفترض هذه الطريقة أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي يتناسبان مع دالة أسية مركبة أحادية اللون. بعد خطوة زمنية واحدة، يجب أن يظل مقدار سعة المجالات المستقرة ثابتاً أو أقل. يؤدي هذا إلى شرط كوران-فريدريش-ليفي ، الذي يصف العلاقة بين معلمات FDTD لضمان الاستقرار. [ 4 ]

نقاط قوة نمذجة FDTD

لكل تقنية نمذجة نقاط قوة وضعف، وطريقة FDTD ليست استثناءً.

  • FDTD هي تقنية نمذجة متعددة الاستخدامات تُستخدم لحل معادلات ماكسويل. وهي بديهية، لذا يمكن للمستخدمين فهم كيفية استخدامها بسهولة ومعرفة ما يمكن توقعه من نموذج معين.
  • تُعدّ تقنية FDTD تقنيةً تعتمد على المجال الزمني، وعند استخدام نبضة واسعة النطاق (مثل نبضة غاوسية) كمصدر، يُمكن الحصول على استجابة النظام عبر نطاق واسع من الترددات من خلال محاكاة واحدة. يُفيد هذا في التطبيقات التي لا تكون فيها ترددات الرنين معروفة بدقة، أو في أي وقت يُراد فيه الحصول على نتيجة واسعة النطاق.
  • بما أن طريقة FDTD تحسب المجالين الكهربائي والمغناطيسي في جميع أنحاء نطاق الحساب أثناء تطورهما مع الزمن، فإنها تُتيح عرضًا متحركًا لحركة المجال الكهرومغناطيسي عبر النموذج. يُفيد هذا النوع من العرض في فهم ما يحدث داخل النموذج، وفي ضمان عمله بشكل صحيح.
  • تتيح تقنية FDTD للمستخدم تحديد المادة في جميع النقاط داخل نطاق الحساب. ويمكن نمذجة مجموعة واسعة من المواد العازلة والمغناطيسية الخطية وغير الخطية بسهولة وبشكل طبيعي.
  • تتيح طريقة FDTD تحديد تأثيرات الفتحات بشكل مباشر. ويمكن إيجاد تأثيرات الحماية، كما يمكن إيجاد المجالات داخل وخارج الهيكل بشكل مباشر أو غير مباشر.
  • تستخدم طريقة FDTD المجالين الكهربائي والمغناطيسي مباشرةً. ولأن معظم تطبيقات نمذجة التوافق الكهرومغناطيسي تهتم بهذين المجالين، فمن الملائم عدم الحاجة إلى إجراء أي تحويلات بعد انتهاء المحاكاة للحصول على هذه القيم.

نقاط ضعف نمذجة FDTD

التشتت العددي لإشارة نبضة مربعة في مخطط FDTD أحادي البعد بسيط. تبرز تشوهات الرنين حول حواف النبضة بشكل كبير ( ظاهرة جيبس )، وتتشوه الإشارة أثناء انتشارها، حتى في غياب وسط مشتت . هذه التشوهات هي نتيجة مباشرة لأسلوب التقطيع. [ 4 ]
  • بما أن طريقة FDTD تتطلب تقسيم المجال الحسابي بأكمله إلى شبكة، وأن تكون دقة تقسيم الشبكة المكانية كافيةً لحل كلٍّ من أصغر طول موجي كهرومغناطيسي وأصغر ميزة هندسية في النموذج، فقد يتم تطوير مجالات حسابية كبيرة جدًا، مما يؤدي إلى أوقات حل طويلة جدًا. يصعب نمذجة النماذج ذات الميزات الطويلة والرفيعة (مثل الأسلاك) باستخدام FDTD نظرًا لحجم المجال الحسابي الكبير جدًا المطلوب. يمكن أن توفر طرق مثل توسيع الأنماط الذاتية بديلاً أكثر كفاءة لأنها لا تتطلب شبكة دقيقة على طول المحور z. [ 72 ]
  • لا توجد طريقة لتحديد قيم فريدة للسماحية والنفاذية عند سطح التماس بين المواد.
  • يجب أن تستوفي خطوات المكان والزمان شرط CFL ، وإلا فمن المحتمل أن يصبح التكامل القفزي المستخدم لحل المعادلة التفاضلية الجزئية غير مستقر.
  • تُحدد طريقة FDTD حقول E/H مباشرةً في جميع أنحاء نطاق الحساب. إذا رُغِبَ في حساب قيم الحقول على مسافة معينة، فمن المرجح أن تُجبر هذه المسافة نطاق الحساب على أن يكون كبيرًا جدًا. تتوفر امتدادات للحقول البعيدة لطريقة FDTD، ولكنها تتطلب قدرًا من المعالجة اللاحقة. [ 4 ]
  • بما أن محاكاة FDTD تحسب المجالين الكهربائي والمغناطيسي عند جميع النقاط داخل نطاق الحساب، فلا بد أن يكون نطاق الحساب محدودًا ليُخزَّن في ذاكرة الحاسوب. في كثير من الحالات، يتحقق ذلك بإدخال حدود اصطناعية في فضاء المحاكاة. يجب توخي الحذر لتقليل الأخطاء الناتجة عن هذه الحدود. يتوفر عدد من شروط الحدود الماصة عالية الفعالية لمحاكاة نطاق حسابي لا نهائي وغير محدود. [ 4 ] تستخدم معظم تطبيقات FDTD الحديثة مادة ماصة خاصة، تُسمى طبقة مطابقة مثالية (PML)، لتطبيق الحدود الماصة. [ 42 ] [ 47 ]
  • نظرًا لأن طريقة FDTD تُحل بنشر المجالات للأمام في المجال الزمني، يجب نمذجة الاستجابة الكهرومغناطيسية الزمنية للوسط بشكل صريح. بالنسبة لأي استجابة، يتطلب ذلك عملية التفاف زمني مكلفة حسابيًا، مع أن الاستجابة الزمنية للوسط (أو التشتت في البصريات ) يمكن نمذجتها في معظم الحالات بشكل كافٍ وبسيط باستخدام تقنية الالتفاف المتكرر (RC)، أو تقنية المعادلة التفاضلية المساعدة (ADE)، أو تقنية تحويل Z. وثمة طريقة بديلة لحل معادلات ماكسويل، تُمكن من معالجة التشتت العشوائي بسهولة، وهي المجال المكاني شبه الطيفي (PSSD) ، الذي ينشر المجالات للأمام في الفضاء.

تقنيات اقتطاع الشبكة

تُعدّ تقنيات اقتطاع الشبكة الأكثر شيوعًا في مسائل نمذجة FDTD للمناطق المفتوحة هي شرط مور الحدودي الممتص (ABC) [ 13 ] ، وشرط لياو الحدودي الممتص [ 16 ] ، والعديد من صيغ الطبقة المطابقة المثالية (PML) [ 4 ] [ 43 ] [ 42 ] [ 47 ] . تُعتبر تقنيتا مور ولياو أبسط من PML. مع ذلك، يمكن لـ PML (التي تُعدّ تقنيًا منطقة امتصاص وليست شرطًا حدوديًا بحد ذاتها ) أن تُوفّر انعكاسات أقل بكثير. قدّم جيه-بي بيرينجر مفهوم PML في ورقة بحثية رائدة نُشرت عام 1994 في مجلة الفيزياء الحاسوبية [ 42 ] . منذ عام 1994، تم تعديل وتوسيع تطبيق بيرينجر الأصلي للحقل المنفصل ليشمل PML أحادي المحور (UPML)، وPML التلافيفي (CPML)، وPML ذي الرتبة الأعلى. تتمتع الصيغتان الأخيرتان من PML بقدرة متزايدة على امتصاص الموجات المتلاشية، وبالتالي يمكن من حيث المبدأ وضعها أقرب إلى بنية تشتت أو إشعاع محاكاة من الصيغة الأصلية لبيرينجر.

لتقليل الانعكاس العددي غير المرغوب فيه من طبقة الامتصاص المثالية، يمكن استخدام تقنية طبقات الامتصاص الخلفية الإضافية. [ 73 ]

شعبية

على الرغم من الزيادة العامة في إنتاجية النشر الأكاديمي خلال نفس الفترة والتوسع العام في الاهتمام بجميع تقنيات الكهرومغناطيسية الحاسوبية (CEM)، إلا أن هناك سبعة أسباب رئيسية للتوسع الهائل في الاهتمام بنهج الحلول الحسابية FDTD لمعادلات ماكسويل:

  1. لا تتطلب طريقة FDTD عملية عكس المصفوفة. وباعتبارها حسابًا صريحًا تمامًا، تتجنب FDTD الصعوبات المصاحبة لعكس المصفوفات التي تحد من حجم نماذج المعادلات التكاملية في مجال التردد ونماذج العناصر المحدودة الكهرومغناطيسية إلى أقل من 10⁹ من مجاهيل المجال الكهرومغناطيسي. [ 4 ] وقد تم تشغيل نماذج FDTD تحتوي على ما يصل إلى 10⁹ من مجاهيل المجال؛ ولا يوجد حد أقصى جوهري لهذا العدد. [ 4 ]
  2. تتميز طريقة FDTD بالدقة والمتانة. مصادر الخطأ في حسابات FDTD مفهومة جيداً، ويمكن تحديدها بدقة للسماح بإنشاء نماذج دقيقة لمجموعة واسعة جداً من مسائل تفاعل الموجات الكهرومغناطيسية. [ 4 ]
  3. تعالج طريقة FDTD السلوك النبضي بشكل طبيعي. وباعتبارها تقنية تعتمد على المجال الزمني، فإنها تحسب استجابة النبضة لنظام كهرومغناطيسي بشكل مباشر. لذلك، يمكن لمحاكاة FDTD واحدة أن توفر إما أشكال موجية زمنية فائقة الاتساع أو استجابة جيبية مستقرة عند أي تردد ضمن طيف الإثارة. [ 4 ]
  4. تعالج طريقة FDTD السلوك غير الخطي بشكل طبيعي. وباعتبارها تقنية تعتمد على المجال الزمني، فإنها تحسب مباشرةً الاستجابة غير الخطية للنظام الكهرومغناطيسي. وهذا يسمح بدمج FDTD بسلاسة مع مجموعات من المعادلات التفاضلية المساعدة التي تصف اللاخطية من منظور كلاسيكي أو شبه كلاسيكي. [ 4 ] يتمثل أحد مجالات البحث الرائدة في تطوير خوارزميات هجينة تجمع بين نماذج الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية لـ FDTD والظواهر الناشئة عن الديناميكا الكهربائية الكمومية، وخاصة تقلبات الفراغ، مثل تأثير كازيمير . [ 4 ] [ 74 ]
  5. تُعدّ طريقة FDTD منهجًا منهجيًا. فباستخدامها، يُختزل تحديد بنية جديدة للنمذجة إلى مسألة توليد شبكة بدلًا من إعادة صياغة معادلة تكاملية قد تكون معقدة. على سبيل المثال، لا تتطلب FDTD حساب دوال غرين التي تعتمد على البنية. [ 4 ]
  6. أصبحت بنى الحوسبة ذات المعالجة المتوازية هيمنت على الحوسبة الفائقة. وتتميز خوارزمية FDTD بكفاءة عالية في التوسع على أجهزة الكمبيوتر القائمة على وحدات المعالجة المركزية ذات المعالجة المتوازية، وبكفاءة فائقة على تقنية مسرعات الرسومات (GPU) المطورة حديثًا. [ 4 ]
  7. تتزايد إمكانيات التصور الحاسوبي بسرعة. وبينما يؤثر هذا التوجه إيجاباً على جميع التقنيات العددية، فإنه يمثل ميزة خاصة لطرق FDTD، التي تُنتج مصفوفات زمنية متدرجة لكميات المجال، وهي مناسبة للاستخدام في مقاطع الفيديو الملونة لتوضيح ديناميكيات المجال. [ 4 ]
  8. تُعالج خاصية التباين بشكل طبيعي بواسطة طريقة FDTD. يمكن تكوين خلايا Yee، التي تحتوي على مكونات في كل اتجاه ديكارتي، بسهولة بخصائص متباينة الخواص. [ 4 ]

وقد جادل تافلوف بأن هذه العوامل مجتمعة تشير إلى أن طريقة FDTD ستظل واحدة من التقنيات الحسابية المهيمنة في الديناميكا الكهربائية (بالإضافة إلى مشاكل الفيزياء المتعددة الأخرى المحتملة). [ 4 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ج. فون نيومان؛ ر. د. ريختماير (مارس 1950). "طريقة للحساب العددي للصدمات الهيدروديناميكية". مجلة الفيزياء التطبيقية . 21 (3): 232-237 . Bibcode : 1950JAP....21..232V . doi : 10.1063/1.1699639 .
  2. 1 2 3 4 5 6 كين يي (1966). "الحل العددي لمسائل القيم الحدية الأولية التي تتضمن معادلات ماكسويل في الأوساط المتجانسة". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 14 (3): 302-307 . Bibcode : 1966ITAP...14..302Y . doi : 10.1109/TAP.1966.1138693 . S2CID 122712881 . 
  3. 1 2 أ. تافلوف (1980). "تطبيق طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة على مسائل الاختراق الكهرومغناطيسي في الحالة المستقرة الجيبية" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات الكهرومغناطيسية والتوافق 22 (3): 191-202 . Bibcode : 1980ITElC..22..191T . doi : 10.1109/TEMC.1980.303879 . S2CID 39236486 . 
  4. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ ألين تافلوف وسوزان سي. هاغنيس (٢٠٠٥). الديناميكا الكهربائية الحاسوبية: طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة، الطبعة الثالثة . دار نشر أرتيك هاوس. ISBN 978-1-58053-832-9.
  5. ↑ مقتبس بإذن من تافلوف وهاغنيس (2005).
  6. ^ ريتشارد كورانت. كيرت أوتو فريدريش؛ هانز ليوي (1928). "Über die Partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 100 (1): 32– 74. بيب كود : 1928MatAn.100...32C . دوى : 10.1007/BF01448839 . جي اف ام 54.0486.01 . السيد 1512478 . S2CID 120760331 .   
  7. ↑ جي جي أوبراين، إم إيه هايمان، وإس كابلان (1950). "دراسة الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية". مجلة الفيزياء الرياضية . 29 (1): 223-251 . doi : 10.1002/sapm1950291223 . MR 0040805 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  8. ↑ دونغ-هوا لام (1969). "طرق الفروق المحدودة لمسائل التشتت الكهرومغناطيسي" (ملف PDF) . جامعة ولاية ميسيسيبي، ملاحظات التفاعل . 44 .
  9. 1 2 أ. تافلوف؛ م. إ. برودوين (1975). "الحل العددي لمسائل التشتت الكهرومغناطيسي في الحالة المستقرة باستخدام معادلات ماكسويل المعتمدة على الزمن" (ملف PDF) . معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 23 (8): 623-630 . Bibcode : 1975ITMTT..23..623T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128640 .
  10. ↑ أ. تافلوف؛ م. إ. برودوين (1975). "حساب المجالات الكهرومغناطيسية ودرجات الحرارة المستحثة داخل نموذج للعين البشرية المعرضة لإشعاع الميكروويف" (ملف PDF) . معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 23 (11): 888-896 . Bibcode : 1975ITMTT..23..888T . doi : 10.1109/TMTT.1975.1128708 .
  11. ↑ ر. هولاند (1977). "Threde: برنامج لحساب اقتران وتشتت النبضات الكهرومغناطيسية في المجال الحر". معاملات IEEE في العلوم النووية . 24 (6): 2416-2421 . Bibcode : 1977ITNS...24.2416H . doi : 10.1109/TNS.1977.4329229 . S2CID 35395821 . 
  12. ↑ ك.س. كونز؛ ك.م. لي (1978). "حل ثلاثي الأبعاد باستخدام طريقة الفروق المحدودة للاستجابة الخارجية لطائرة لبيئة كهرومغناطيسية عابرة معقدة". مجلة IEEE للمعاملات في التوافق الكهرومغناطيسي، 20 (2): 333-341 . doi : 10.1109/TEMC.1978.303727 . S2CID 31666283 . 
  13. 1 2 ج. مور (1981). "شروط حدودية امتصاصية لتقريب الفروق المحدودة لمعادلات المجال الكهرومغناطيسي في المجال الزمني". معاملات IEEE في التوافق الكهرومغناطيسي 23 (4): 377-382 . doi : 10.1109/TEMC.1981.303970 . S2CID 25768246 . 
  14. 1 2 ك. ر. أوماشينكار؛ أ. تافلوف (1982). "طريقة جديدة لتحليل التشتت الكهرومغناطيسي للأجسام المعقدة" (ملف PDF) . معاملات IEEE في التوافق الكهرومغناطيسي 24 (4): 397-405 . Bibcode : 1982ITElC..24..397U . doi : 10.1109/TEMC.1982.304054 . S2CID 37962500 . 
  15. ↑ أ. تافلوف؛ ك. ر. أوماشينكار (1983). "المقطع العرضي الراداري للمشتتات ثلاثية الأبعاد العامة" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات الكهرومغناطيسية والتوافق 25 (4): 433-440 . doi : 10.1109/TEMC.1983.304133 . S2CID 40419955 . 
  16. 1 2 Z. P. Liao; HL Wong; BP Yang; YF Yuan (1984). "حدود ناقلة لتحليل الموجات العابرة". Scientia Sinica، السلسلة أ . 27 : 1063-1076 .
  17. ↑ و. غواريك (1985). "تحليل دائرة مستوية ذات شكل عشوائي - منهج المجال الزمني". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 33 (10): 1067-1072 . Bibcode : 1985ITMTT..33.1067G . doi : 10.1109/TMTT.1985.1133170 .
  18. ↑ دي إتش تشوي؛ دبليو جيه هوفر (1986). "طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة وتطبيقها على مسائل القيم الذاتية". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 34 (12): 1464-1470 . Bibcode : 1986ITMTT..34.1464C . doi : 10.1109/TMTT.1986.1133564 .
  19. ↑ GA Kriegsmann؛ A. Taflove؛ KR Umashankar (1987). "صياغة جديدة لتشتت الموجات الكهرومغناطيسية باستخدام نهج شرط حدود الإشعاع على السطح" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات في مجال الهوائيات والانتشار . 35 (2): 153-161 . Bibcode : 1987ITAP...35..153K . doi : 10.1109/TAP.1987.1144062 .
  20. ↑ تي جي مور؛ جي جي بلاشاك؛ أ. تافلوف؛ جي إيه كريغسمان (1988). "نظرية وتطبيق مؤثرات حدود الإشعاع" (ملف PDF) . معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 36 (12): 1797-1812 . Bibcode : 1988ITAP...36.1797M . doi : 10.1109/8.14402 .
  21. ↑ كي آر أوماشينكار؛ أ. تافلوف؛ ب. بيكر (1987). "حساب التيارات المستحثة والتحقق التجريبي منها في الأسلاك المتصلة داخل تجويف ذي شكل عشوائي" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات في مجال الهوائيات والانتشار . 35 (11): 1248-1257 . رمز Bibcode : 1987ITAP...35.1248U . doi : 10.1109/TAP.1987.1144000 .
  22. ↑ أ. تافلوف؛ ك. ر. أوماشينكار؛ ب. بيكر؛ ف. أ. حرفوش؛ ك. س. يي (1988). "تحليل FDTD مفصل للحقول الكهرومغناطيسية التي تخترق الفتحات الضيقة والوصلات المتداخلة في الشاشات الموصلة السميكة" (ملف PDF) . معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 36 (2): 247-257 . Bibcode : 1988ITAP...36..247T . doi : 10.1109/8.1102 .
  23. ↑ تي جي يورغنز؛ أ. تافلوف؛ كي آر أوماشينكار؛ تي جي مور (1992). "نمذجة الأسطح المنحنية باستخدام طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني" (ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات في مجال الهوائيات والانتشار . 40 (4): 357-366 . رمز Bibcode : 1992ITAP...40..357J . doi : 10.1109/8.138836 .
  24. ↑ د.م. سوليفان؛ أ.ب. غاندي؛ أ. تافلوف (1988). "استخدام طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة في حساب امتصاص الموجات الكهرومغناطيسية في نماذج الإنسان" ( ملف PDF) . مجلة IEEE للمعاملات في الهندسة الطبية الحيوية . 35 (3): 179-186 . doi : 10.1109/10.1360 . PMID 3350546. S2CID 20350396 .  
  25. ↑ X. Zhang; J. Fang; KK Mei; Y. Liu (1988). "حساب خصائص التشتت للشرائط الدقيقة باستخدام طريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 36 (2): 263-267 . Bibcode : 1988ITMTT..36..263Z . doi : 10.1109/22.3514 .
  26. ↑ ت. كاشيوا؛ إ. فوكاي (1990). "معالجة الخصائص التشتتية المرتبطة بالاستقطاب الإلكتروني باستخدام طريقة FDTD". رسائل تكنولوجيا الميكروويف والبصريات . 3 (6): 203-205 . doi : 10.1002/mop.4650030606 .
  27. ↑ ر. لوبيرز؛ ف. هانسبيرجر؛ ك. كونز؛ ر. ستاندلر؛ م. شنايدر (1990). "صياغة مجال زمني تعتمد على التردد باستخدام طريقة الفروق المحدودة للمواد المشتتة". مجلة IEEE للمعاملات الكهرومغناطيسية والتوافق 32 (3): 222-227 . doi : 10.1109/15.57116 .
  28. ↑ آر إم جوزيف؛ إس سي هاغنيس؛ إيه تافلوف (1991). "التكامل الزمني المباشر لمعادلات ماكسويل في أوساط تشتت خطية مع امتصاص لتشتت وانتشار النبضات الكهرومغناطيسية الفيمتوثانية" (ملف PDF) . رسائل البصريات . 16 (18): 1412-1414 . رمز Bibcode : 1991OptL...16.1412J . doi : 10.1364/OL.16.001412 . PMID 19776986 . 
  29. ↑ جي جي مالوني؛ جي إس سميث؛ دبليو آر سكوت الابن (1990). "حساب دقيق للإشعاع من هوائيات بسيطة باستخدام طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 38 (7): 1059-1068 . Bibcode : 1990ITAP...38.1059M . doi : 10.1109/8.55618 . S2CID 31583883 . 
  30. ↑ دي إس كاتز؛ أ. تافلوف ؛ إم جيه بيكيت-ماي ؛ كيه آر أوماشينكار (1991). "تحليل FDTD لإشعاع الموجات الكهرومغناطيسية من أنظمة تحتوي على هوائيات بوقية" (ملف PDF) . معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 39 (8): 1203-1212 . Bibcode : 1991ITAP...39.1203K . doi : 10.1109/8.97356 .
  31. ↑ PA Tirkas; CA Balanis (1991). "تقنية المجال الزمني للفروق المحدودة للإشعاع بواسطة هوائيات البوق". ملخص ندوة جمعية الهوائيات والانتشار 1991. المجلد 3. الصفحات 1750-1753 . doi : 10.1109/APS.1991.175196 . ISBN   978-0-7803-0144-3. S2CID 122038624 . 
  32. ↑ إي. سانو؛ تي. شيباتا (1990). "تحليل الموجة الكاملة للمفاتيح الكهروضوئية ذات النبضات البيكوثانية". مجلة IEEE للإلكترونيات الكمية . 26 (2): 372-377 . Bibcode : 1990IJQE...26..372S . doi : 10.1109/3.44970 .
  33. ↑ إس إم الغزالي؛ آر بي جوشي؛ آر أو غروندان (1990). "اعتبارات كهرومغناطيسية ونقل في نمذجة مفتاح التوصيل الضوئي دون البيكوثانية". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 38 (5): 629-637 . Bibcode : 1990ITMTT..38..629E . doi : 10.1109/22.54932 .
  34. ↑ بي إم غورجيان؛ أ. تافلوف (1992). "التكامل الزمني المباشر لمعادلات ماكسويل في الأوساط التشتتية غير الخطية لانتشار وتشتت السوليتونات الكهرومغناطيسية الفيمتوثانية" (ملف PDF) . رسائل البصريات . 17 (3): 180-182 . Bibcode : 1992OptL...17..180G . doi : 10.1364/OL.17.000180 . PMID 19784268 . 
  35. ↑ RW Ziolkowski; JB Judkins (1993). "نمذجة معادلات ماكسويل المتجهة للموجة الكاملة للتركيز الذاتي للنبضات الضوئية فائقة القصر في وسط كير غير خطي ذي زمن استجابة محدود". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية B. 10 ( 2): 186-198 . Bibcode : 1993JOSAB..10..186Z . doi : 10.1364/JOSAB.10.000186 .
  36. ↑ آر إم جوزيف؛ بي إم غورجيان؛ إيه تافلوف (1993). "التكامل الزمني المباشر لمعادلات ماكسويل في الموجهات العازلة ثنائية الأبعاد لانتشار وتشتت السوليتونات الكهرومغناطيسية الفيمتوثانية" (ملف PDF) . رسائل البصريات . 18 (7): 491-493 . Bibcode : 1993OptL...18..491J . doi : 10.1364/OL.18.000491 . PMID 19802177 . 
  37. ↑ آر إم جوزيف؛ أ. تافلوف (1994). "آلية انحراف السوليتون المكاني كما هو موضح بنمذجة معادلات ماكسويل باستخدام طريقة FDTD" (ملف PDF) . رسائل تقنية الفوتونات IEEE . 2 (10): 1251-1254 . Bibcode : 1994IPTL....6.1251J . doi : 10.1109/68.329654 . S2CID 46710331 . 
  38. ↑ و. سوي؛ د. أ. كريستنسن؛ س. هـ. دورني (1992). "توسيع طريقة FDTD ثنائية الأبعاد لتشمل الأنظمة الكهرومغناطيسية الهجينة ذات العناصر المجمعة النشطة والخاملة". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 40 (4): 724-730 . Bibcode : 1992ITMTT..40..724S . doi : 10.1109/22.127522 .
  39. ↑ ب. تولاند؛ ب. هوشمند؛ ت. إيتوه (1993). "نمذجة المناطق النشطة غير الخطية باستخدام طريقة FDTD". رسائل IEEE للموجات الدقيقة والموجات الموجهة . 3 (9): 333-335 . doi : 10.1109/75.244870 . S2CID 27549555 . 
  40. ↑ أويغي، بي إتش؛ لي، جيه إف؛ ميترا، آر. (1993). "نهج هجين لخوارزمية يي/معادلة الموجة العددية". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 41 (9): 1593-1600 . Bibcode : 1993ITMTT..41.1593A . doi : 10.1109/22.245683 .
  41. ↑ توماس، في. أ.؛ جونز، م. إ.؛ بيكيت-ماي ، م. ج.؛ تافلوف، أ.؛ هاريجان، إ. (1994). "استخدام دوائر SPICE المجمعة كنماذج للشبكات الفرعية لتصميم الدوائر الإلكترونية عالية السرعة بتقنية FDTD" (ملف PDF) . رسائل IEEE للموجات الدقيقة والموجات الموجهة . 4 (5): 141-143 . doi : 10.1109/75.289516 . S2CID 32905331 . 
  42. 1 2 3 4 ج. بيرينجر (1994). "طبقة مطابقة تمامًا لامتصاص الموجات الكهرومغناطيسية" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الحاسوبية . 114 (2): 185-200 . Bibcode : 1994JCoPh.114..185B . doi : 10.1006/jcph.1994.1159 .
  43. 1 2 إي. أ. نافارو؛ سي. وو؛ بي. واي. تشونغ؛ جيه. ليتفا (1994). "تطبيق شرط الحدود فائق الامتصاص PML على طريقة FDTD غير المتعامدة". رسائل الإلكترونيات . 30 (20): 1654-1656 . Bibcode : 1994ElL....30.1654N . doi : 10.1049/el:19941139 .
  44. ↑ DS Katz؛ ET Thiele؛ A. Taflove (1994). "التحقق من صحة شرط بيرينجر PML الممتص للحدود وتوسيعه إلى ثلاثة أبعاد لشبكات FDTD" (ملف PDF) . رسائل IEEE للموجات الدقيقة والموجات الموجهة . 4 (8): 268-270 . doi : 10.1109/75.311494 . S2CID 10156811 . 
  45. ↑ سي إي رويتر؛ آر إم جوزيف؛ إي تي ثيل؛ دي إس كاتز؛ إيه تافلوف (1994). "شرط حدودي امتصاصي واسع النطاق للغاية لإنهاء هياكل توجيه الموجات في محاكاة FDTD" (ملف PDF) . رسائل IEEE للموجات الدقيقة والموجات الموجهة . 4 (10): 344-346 . doi : 10.1109/75.324711 . S2CID 24572883 . 
  46. ↑ WC Chew; WH Weedon (1994). "وسط ثلاثي الأبعاد متطابق تمامًا من معادلات ماكسويل المعدلة بإحداثيات ممتدة". رسائل تكنولوجيا الميكروويف والبصريات . 7 (13): 599-604 . Bibcode : 1994MiOTL...7..599C . doi : 10.1002/mop.4650071304 .
  47. 1 2 3 إس. دي. جيدني (1996). "وسط امتصاصي ذو طبقة مطابقة مثالية غير متجانسة لقطع شبكات FDTD". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 44 (12): 1630-1639 . Bibcode : 1996ITAP...44.1630G . doi : 10.1109/8.546249 .
  48. ↑ ZS Sacks؛ DM Kingsland؛ R. Lee؛ JF Lee (1995). "ممتص متباين الخواص متطابق تمامًا للاستخدام كشرط حدودي ماص". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 43 (12): 1460-1463 . Bibcode : 1995ITAP...43.1460S . doi : 10.1109/8.477075 .
  49. ↑ كيو إتش ليو (1997). "طريقة المجال الزمني الطيفي الزائف (PSTD): خوارزمية جديدة لحل معادلات ماكسويل". ملخص الندوة الدولية لجمعية هوائيات وانتشار الموجات التابعة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات لعام 1997. المجلد 1. الصفحات 122-125 . doi : 10.1109/APS.1997.630102 . ISBN   978-0-7803-4178-4. S2CID 21345353 . 
  50. ↑ أوم راماهي (1997). "طريقة المؤثرات التكميلية في محاكاة FDTD". مجلة IEEE للهوائيات والانتشار . 39 (6): 33-45 . Bibcode : 1997IAPM...39...33R . doi : 10.1109/74.646801 .
  51. ↑ جي جي مالوني؛ إم بي كيسلر (1998). "تحليل الهياكل الدورية". الفصل 6 في كتاب التقدم في الديناميكا الكهربائية الحاسوبية: طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة، تحرير أ. تافلوف، دار نشر أرتيك هاوس .
  52. ↑ AS Nagra; RA York (1998). "تحليل FDTD لانتشار الموجات في أوساط امتصاص وتضخيم غير خطية". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 46 (3): 334-340 . Bibcode : 1998ITAP...46..334N . doi : 10.1109/8.662652 .
  53. ↑ إس سي هاغنيس؛ أ. تافلوف؛ جيه إي بريدجز (1998). "تحليل FDTD ثنائي الأبعاد لنظام مجهر متحد البؤر يعمل بالميكروويف النبضي للكشف عن سرطان الثدي: مستشعرات ذات بؤرة ثابتة ومستشعرات مصفوفة هوائيات" ( ملف PDF) . معاملات IEEE في الهندسة الطبية الحيوية . 45 (12): 1470-1479 . doi : 10.1109/10.730440 . PMID 9835195. S2CID 6169784 .  
  54. ↑ جيه بي شنايدر؛ سي إل فاغنر (1999). "إعادة النظر في تشتت FDTD: انتشار أسرع من الضوء". رسائل IEEE للموجات الميكروية والموجات الموجهة . 9 (2): 54-56 . CiteSeerX 10.1.1.77.9132 . doi : 10.1109/75.755044 . 
  55. ↑ ف. تشن؛ ز. تشن؛ ج. تشانغ (2000). "نحو تطوير طريقة فرقية محدودة ثلاثية الأبعاد مستقرة بشكل مطلق في المجال الزمني". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 48 (9): 1550-1558 . Bibcode : 2000ITMTT..48.1550Z . doi : 10.1109/22.869007 .
  56. ↑ ف. تشنغ؛ ز. تشن (2001). "تحليل التشتت العددي لطريقة ADI-FDTD ثلاثية الأبعاد المستقرة بشكل مطلق". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 49 (5): 1006-1009 . Bibcode : 2001ITMTT..49.1006Z . doi : 10.1109/22.920165 .
  57. ↑ جيه إيه رودن؛ إس دي جيدني (2000). "Convolution PML (CPML): تطبيق فعال لـ FDTD لـ CFS-PML للوسائط العشوائية" . رسائل تكنولوجيا الميكروويف والبصريات . 27 (5): 334-339 . doi : 10.1002/1098-2760(20001205)27:5 < 334::AID-MOP14 > 3.0.CO ; 2-A .{{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  58. ↑ تي. رايلاندر؛ أ. بوندسون (2000). "طريقة هجينة مستقرة تعتمد على FDTD-FEM لمعادلات ماكسويل". مجلة اتصالات الفيزياء الحاسوبية . 125 ( 1-3 ): 75-82 . doi : 10.1016/S0010-4655(99)00463-4 .
  59. ↑ م. هاياكاوا؛ ت. أوتسوياما (2002). "تحليل FDTD لانتشار موجات ELF في نماذج موجهات الموجات تحت الأيونوسفيرية غير المتجانسة" . مجلة ACES . 17 : 239-244 . مؤرشف من الأصل في 27 مايو 2012.
  60. ↑ جيه جيه سيمبسون؛ أ. تافلوف (2002). "نموذج FDTD ثنائي الأبعاد لانتشار الموجات الكهرومغناطيسية المنخفضة التردد المتقابلة ورنين شومان للأرض" (ملف PDF) . رسائل IEEE للهوائيات وانتشار الموجات اللاسلكية . 1 (2): 53-56 . Bibcode : 2002IAWPL...1...53S . CiteSeerX 10.1.1.694.4837 . doi : 10.1109/LAWP.2002.805123 . S2CID 368964. مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 17-06-2010.  
  61. ↑ هـ. دي رايدت؛ ك. ميشيلسن؛ ج. س. كول؛ م. ت. فيج (2003). "حل معادلات ماكسويل بطريقة تشيبيشيف: خوارزمية فرقية محدودة أحادية الخطوة في المجال الزمني". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 51 (11): 3155-3160 . arXiv : physics/0208060 . Bibcode : 2003ITAP...51.3155D . doi : 10.1109/TAP.2003.818809 . S2CID 119095479 . 
  62. ↑ أ. سوريانو؛ إي. أ. نافارو؛ ج. بورتي؛ ف. سوتش (2004). "تحليل تقنية المجال الزمني للفروق المحدودة لحل معادلة شرودنغر للأجهزة الكمومية". مجلة الفيزياء التطبيقية . 95 (12): 8011-8018 . Bibcode : 2004JAP....95.8011S . doi : 10.1063/1.1753661 . hdl : 10550/12837 .
  63. ↑ أحمد، إ.؛ تشوا، إ. ك.؛ لي، إ. ب.؛ تشين، ز. (2008). "تطوير طريقة LOD-FDTD ثلاثية الأبعاد المستقرة بشكل مطلق". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 56 (11): 3596-3600 . Bibcode : 2008ITAP...56.3596A . doi : 10.1109/TAP.2008.2005544 . S2CID 31351974 . 
  64. ↑ تانيغوتشي، ي.؛ بابا، ي.؛ ناغاوكا، ن.؛ أميتاني، أ. (2008). "تمثيل محسّن للأسلاك الرقيقة لحسابات FDTD". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 56 (10): 3248-3252 . Bibcode : 2008ITAP...56.3248T . doi : 10.1109/TAP.2008.929447 . S2CID 29617214 . 
  65. ↑ RMS de Oliveira; CLSS Sobrinho (2009). "بيئة حسابية لمحاكاة ضربات البرق في محطة فرعية للطاقة باستخدام طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة". معاملات IEEE في التوافق الكهرومغناطيسي . 51 (4): 995-1000 . doi : 10.1109/TEMC.2009.2028879 .
  66. ↑ RMS de Oliveira; RR Paiva (2021). "طريقة المربعات الصغرى للفروق المحدودة في المجال الزمني". مجلة IEEE للمعاملات في مجال الهوائيات والانتشار . 69 (9): 6111–6115 . Bibcode : 2021ITAP...69.6111D . doi : 10.1109/TAP.2021.3069576 . S2CID 234307029 . 
  67. ↑ "ملاءمة دالة العزل الكهربائي" .
  68. ↑ إ. فالويف؛ أ. دينيغا؛ س. بيلوسوف (2008). "تقنية تكرارية لتحليل البنى الدورية عند السقوط المائل في طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة". رسائل البصريات 33 ( 13): 1491-1493 . Bibcode : 2008OptL...33.1491V . doi : 10.1364/ol.33.001491 . PMID 18594675 . 
  69. ↑ أ. أمينيان؛ ي. رحمت سامي (2006). "تقنية FDTD الطيفية: تقنية جديدة لتحليل الموجة المستوية الساقطة بشكل مائل على الهياكل الدورية". معاملات IEEE في مجال الهوائيات والانتشار . 54 (6): 1818-1825 . Bibcode : 2006ITAP...54.1818A . doi : 10.1109/tap.2006.875484 . S2CID 25120679 . 
  70. ↑ أ. دينيغا؛ س. بيلوسوف؛ إ. فالويف (2009). "طريقة FDTD الهجينة لمصفوفة النقل للهياكل الدورية الطبقية". Opt . Lett . 34 (6): 860–2 . Bibcode : 2009OptL...34..860D . doi : 10.1364/ol.34.000860 . PMID 19282957. S2CID 27742034 .  
  71. ↑ واي. هاو؛ آر. ميترا (2009). نمذجة المواد الفائقة باستخدام طريقة FDTD: النظرية والتطبيقات . دار نشر أرتيك هاوس.
  72. ↑ د. غالاغر (2008). "نضج تصميم الفوتونيات بمساعدة الحاسوب" (ملف PDF) . نشرة LEOS الإخبارية .
  73. ↑ أ. دينيغا؛ إ. فالويف (2011). "السلوك طويل الأمد لحدود امتصاص PML للهياكل الدورية الطبقية". مجلة الاتصالات في الفيزياء الحاسوبية . 182 (1): 149-151 . Bibcode : 2011CoPhC.182..149D . doi : 10.1016/j.cpc.2010.06.006 .
  74. ↑ إس جي جونسون، " الأساليب العددية لحساب تفاعلات كازيمير "، في فيزياء كازيمير (دي. دالفيت، بي. ميلوني ، دي. روبرتس، وإف. دا روزا، المحررين)، المجلد 834 من سلسلة محاضرات في الفيزياء ، الفصل 6، الصفحات 175-218، برلين: سبرينغر، يونيو 2011.

للمزيد من القراءة

توضح المقالة التالية المنشورة في مجلة Nature Milestones: Photons الأهمية التاريخية لطريقة FDTD وعلاقتها بمعادلات ماكسويل:

مقابلة ألين تافلوف، بعنوان "الحل العددي"، نُشرت في عدد يناير 2015 من مجلة Nature Photonics احتفالاً بالذكرى المئوية والخمسين لنشر معادلات ماكسويل. تتناول هذه المقابلة كيف يرتبط تطوير طريقة FDTD بتاريخ نظرية ماكسويل في الديناميكا الكهربائية الممتد على مدى قرن ونصف.

توفر الكتب الدراسية الجامعية التالية مقدمة عامة جيدة لطريقة FDTD:

  • كارل س. كونز؛ ريموند ج. لوبيرز (1993). طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة للكهرومغناطيسية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-8493-8657-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 10 ديسمبر 2007. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أغسطس 2006 .

مشاريع البرمجيات الحرة / مفتوحة المصدر بتقنية FDTD:

  • FDTD++ : برنامج FDTD متقدم ومتكامل الميزات، بالإضافة إلى نماذج مواد متطورة وتجهيزات مُعدة مسبقًا، فضلًا عن منتديات للنقاش والدعم ودعم عبر البريد الإلكتروني.
  • openEMS (برنامج حل EC-FDTD ثلاثي الأبعاد بالكامل، مكتوب بلغة C++، باستخدام واجهة Matlab / Octave )
  • pFDTD (شفرات FDTD ثلاثية الأبعاد مكتوبة بلغة C++ تم تطويرها بواسطة سي-هيون كيم)
  • JFDTD (رموز FDTD ثنائية/ثلاثية الأبعاد مكتوبة بلغة C++ تم تطويرها لتقنية النانو الضوئية بواسطة جيفري م. ماكماهون)
  • تمت أرشفة WOLFSIM في 2008-07-02 على موقع Wayback Machine (جامعة ولاية كارولينا الشمالية) (2-D)
  • ميب ( معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، FDTD ثنائي/ثلاثي الأبعاد/أسطواني متوازي)
  • (جيو-) رادار FDTD
  • bigboy (غير مُحدّث، لا توجد ملفات إصدار. يجب الحصول على المصدر من CVS)
  • رموز FDTD المتوازية (MPI&OpenMP) في لغة C++ (تم تطويرها بواسطة Zs. Szabó)
  • كود FDTD بلغة فورتران 90
  • كود FDTD بلغة C لمحاكاة الموجات الكهرومغناطيسية ثنائية الأبعاد
  • أنغورا (حزمة برامج FDTD ثلاثية الأبعاد متوازية، يتولى صيانتها إيلكر ر. كابوغلو)
  • GSvit (برنامج حل ثلاثي الأبعاد بتقنية FDTD مع دعم الحوسبة ببطاقة الرسومات، مكتوب بلغة C، واجهة المستخدم الرسومية XSvit متوفرة)
  • gprMax (مفتوح المصدر (GPLv3)، كود نمذجة FDTD ثلاثي الأبعاد/ثنائي الأبعاد مكتوب بلغة Python/Cython تم تطويره لـ GPR ولكن يمكن استخدامه لنمذجة EM العامة.)

مشاريع FDTD مجانية / مغلقة المصدر (بعضها غير مخصص للاستخدام التجاري):