تحليل استقرار فون نيومان

في التحليل العددي ، يُعد تحليل استقرار فون نيومان (المعروف أيضًا بتحليل استقرار فورييه) إجراءً يُستخدم للتحقق من استقرار مخططات الفروق المحدودة عند تطبيقها على المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية . ^{[ 1 ]} يعتمد هذا التحليل على تحليل فورييه للخطأ العددي ، وقد طُوِّر في مختبر لوس ألاموس الوطني بعد أن وُصِفَ بإيجاز في مقال نُشر عام 1947 من قِبَل الباحثين البريطانيين جون كرانك وفيليس نيكولسون . ^{[ 2 ]} تُعد هذه الطريقة مثالًا على التكامل الزمني الصريح ، حيث تُقيَّم الدالة التي تُعرِّف المعادلة الحاكمة عند الزمن الحالي. لاحقًا، خضعت هذه الطريقة لمعالجة أكثر دقة في مقال ^{[ 3 ]} شارك في تأليفه جون فون نيومان ، حيث وُصِفَت بأنها "إجراء استدلالي" مُصمَّم على غرار شرط كوران-فريدريش-ليفي الأكثر دقة .

يرتبط استقرار الطرق العددية ارتباطًا وثيقًا بالخطأ العددي . تكون طريقة الفروق المحدودة مستقرة إذا لم تتسبب الأخطاء التي تحدث في خطوة زمنية واحدة من الحساب في تضخيمها مع استمرار العمليات الحسابية. أما الطريقة المستقرة محايدًا فهي التي تظل فيها الأخطاء ثابتة مع استمرار العمليات الحسابية. إذا تضاءلت الأخطاء واختفت في النهاية، يُقال إن الطريقة العددية مستقرة. على النقيض من ذلك، إذا ازدادت الأخطاء مع مرور الوقت، يُقال إن الطريقة العددية غير مستقرة. يمكن دراسة استقرار الطرق العددية بإجراء تحليل استقرار فون نيومان. بالنسبة للمسائل المعتمدة على الزمن، يضمن الاستقرار أن الطريقة العددية تُنتج حلًا محدودًا كلما كان حل المعادلة التفاضلية الدقيقة محدودًا. بشكل عام، قد يكون من الصعب دراسة الاستقرار، خاصةً عندما تكون المعادلة قيد الدراسة غير خطية .

في بعض الحالات، يُعدّ استقرار فون نيومان شرطًا ضروريًا وكافيًا للاستقرار وفقًا لنظرية لاكس-ريختماير (كما هو مستخدم في نظرية تكافؤ لاكس ): حيث تكون نماذج المعادلات التفاضلية الجزئية ونماذج مخطط الفروق المحدودة خطية؛ وتكون المعادلة التفاضلية الجزئية ذات معاملات ثابتة وشروط حدودية دورية ، ولها متغيران مستقلان فقط؛ ولا يستخدم المخطط أكثر من مستويين زمنيين. ^{[ 4 ]} يُعدّ استقرار فون نيومان ضروريًا في نطاق أوسع بكثير من الحالات. وغالبًا ما يُستخدم بدلًا من تحليل استقرار أكثر تفصيلًا لتوفير تقدير جيد للقيود (إن وجدت) المفروضة على أحجام الخطوات المستخدمة في المخطط نظرًا لبساطته النسبية.

تعتمد طريقة فون نيومان على تحليل الأخطاء إلى متسلسلات فورييه . ولتوضيح الإجراء، لنأخذ معادلة الحرارة أحادية البعد كمثال.$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ محدد على الفاصل المكاني${\displaystyle L}$، مع التدوين $${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$$ أين${\displaystyle x_{j}}$هي قيم x المحددة ، و${\displaystyle t^{n}}$هي سلسلة قيم t .

يمكننا تقسيم معادلة الحرارة ^{[ 5 ]} إلى أجزاء منفصلة كما يلي

$${\displaystyle u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+r\left(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}\right)}$$

1

أين $${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}}$$

ثم الحل${\displaystyle u_{j}^{n}}$تقارب المعادلة المنفصلة الحل التحليلي${\displaystyle u(x,t)}$من المعادلة التفاضلية الجزئية على الشبكة.

حدد خطأ التقريب${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$مثل $${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}=N_{j}^{n}-u_{j}^{n}}$$ أين${\displaystyle u_{j}^{n}}$يمثل هذا الحل للمعادلة المتقطعة ( 1 ) الذي سيتم حسابه في حالة عدم وجود خطأ تقريب، و${\displaystyle N_{j}^{n}}$هو الحل العددي الذي تم الحصول عليه باستخدام حسابات ذات دقة محدودة . بما أن الحل الدقيق${\displaystyle u_{j}^{n}}$يجب أن تحقق المعادلة المتقطعة بدقة، والخطأ${\displaystyle \epsilon _{j}^{n}}$يجب أن تحقق المعادلة المتقطعة أيضًا. ^{[ 6 ]} هنا افترضنا أن${\displaystyle N_{j}^{n}}$وهذا يحقق المعادلة أيضًا (وهذا صحيح فقط في دقة الآلة). وبالتالي

$${\displaystyle \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)}$$

2

هي علاقة تكرارية للخطأ. تُظهر المعادلتان ( 1 ) و( 2 ) أن كلاً من الخطأ والحل العددي لهما نفس سلوك النمو أو التضاؤل ​​مع الزمن. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الخطية ذات الشروط الحدودية الدورية، يمكن توسيع التغير المكاني للخطأ في متسلسلة فورييه محدودة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$، في الفترة${\displaystyle L}$، مثل

$${\displaystyle \epsilon (x,t)=\sum _{m=-M}^{M}E_{m}(t)e^{{i}k_{m}x}}$$

3

حيث العدد الموجي${\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}}$مع${\displaystyle m=-M,\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots ,M}$و${\displaystyle M=L/\Delta x}$يتم تضمين التغير الزمني للخطأ بافتراض أن سعة الخطأ${\displaystyle E_{m}}$هي دالة للزمن. غالباً ما يُفترض أن الخطأ ينمو أو يتناقص أُسّياً مع الزمن، لكن هذا ليس ضرورياً لتحليل الاستقرار.

إذا لم يكن شرط الحدود دوريًا، فيمكننا استخدام تكامل فورييه المحدود بالنسبة إلى${\displaystyle x}$:

$${\displaystyle \epsilon (x,t)=\int _{-{\frac {\pi }{\Delta x}}}^{\frac {\pi }{\Delta x}}E_{k}(t)e^{ikx}dk}$$

4

بما أن معادلة الفرق للخطأ خطية (سلوك كل حد من حدود المتسلسلة هو نفسه سلوك المتسلسلة نفسها)، يكفي النظر في نمو خطأ حد نموذجي:

$${\displaystyle \epsilon _{m}(x,t)=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}}$$

5أ

إذا تم استخدام متسلسلة فورييه أو

$${\displaystyle \epsilon _{k}(x,t)=E_{k}(t)e^{ikx}}$$

5ب

إذا تم استخدام تكامل فورييه.

بما أن متسلسلة فورييه يمكن اعتبارها حالة خاصة من تكامل فورييه، فسوف نواصل التطوير باستخدام تعبيرات تكامل فورييه.

يمكن دراسة خصائص الاستقرار باستخدام هذا الشكل فقط للخطأ دون فقدان للعمومية. لمعرفة كيفية تغير الخطأ مع مرور الوقت، استبدل المعادلة ( 5ب ) في المعادلة ( 2 )، بعد ملاحظة أن $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{j}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j}^{n+1}&=E_{m}(t+\Delta t)e^{ik_{m}x}\\\epsilon _{j+1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x+\Delta x)}\\\epsilon _{j-1}^{n}&=E_{m}(t)e^{ik_{m}(x-\Delta x)},\end{aligned}}}$$ للحصول على (بعد التبسيط)

$${\displaystyle {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right).}$$

6

تقديم${\displaystyle \theta =k_{m}\Delta x\in [-\pi ,\pi ]}$وباستخدام الهويات $${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {e^{i\theta /2}-e^{-i\theta /2}}{2i}}\qquad \rightarrow \qquad \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=-{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }-2}{4}}}$$يمكن كتابة المعادلة ( 6 ) على النحو التالي

$${\displaystyle {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}=1-4r\sin ^{2}(\theta /2)}$$

7

عرّف عامل التضخيم

$${\displaystyle G\equiv {\frac {E_{m}(t+\Delta t)}{E_{m}(t)}}}$$

8

الشرط الضروري والكافي لبقاء الخطأ محدودًا هو أن${\displaystyle |G|\leq 1.}$ وبالتالي، من المعادلتين ( 7 ) و( 8 )، يُعطى شرط الاستقرار كما يلي:

$${\displaystyle \left|1-4r\sin ^{2}(\theta /2)\right|\leq 1}$$

9

لاحظ أن المصطلح${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)}$تكون موجبة دائمًا. وبالتالي، لتحقيق المعادلة ( 9 ):

$${\displaystyle 4r\sin ^{2}(\theta /2)\leq 2}$$

10

لكي يتحقق الشرط المذكور أعلاه للجميع${\displaystyle m}$(وبالتالي جميعها)${\displaystyle \sin ^{2}(\theta /2)}$أعلى قيمة يمكن أن يأخذها الحد الجيبي هي 1، وبالنسبة لهذا الاختيار تحديدًا، إذا تحقق شرط العتبة العليا، فسيتحقق أيضًا لجميع نقاط الشبكة، وبالتالي لدينا

$${\displaystyle r={\frac {\alpha \Delta t}{\left(\Delta x\right)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}}$$

11

تُحدد المعادلة ( 11 ) شرط الاستقرار لمخطط FTCS عند تطبيقه على معادلة الحرارة أحادية البعد. وتنص على أنه بالنسبة لقيمة معينة${\displaystyle \Delta x}$، القيمة المسموح بها لـ${\displaystyle \Delta t}$يجب أن تكون صغيرة بما يكفي لتحقيق المعادلة ( 10 ).

يُظهر تحليل مماثل أن مخطط FTCS للحمل الخطي غير مستقر بشكل مطلق.