أساليب تجزئة المجال

في الرياضيات ، والتحليل العددي ، والمعادلات التفاضلية الجزئية العددية ، تُستخدم طرق تجزئة المجال لحل مسائل القيم الحدية عن طريق تقسيمها إلى مسائل أصغر على مجالات فرعية، ثم تكرار العملية لتنسيق الحل بين المجالات الفرعية المتجاورة. وتُستخدم مسألة عامة ذات مجهول واحد أو بضعة مجاهيل لكل مجال فرعي لتنسيق الحل بين المجالات الفرعية بشكل شامل. تتميز المسائل على المجالات الفرعية بالاستقلالية، مما يجعل طرق تجزئة المجال مناسبة للحوسبة المتوازية . وتُستخدم هذه الطرق عادةً كمعالجات مسبقة لطرق التكرار في فضاء كريلوف ، مثل طريقة التدرج المترافق ، و GMRES ، و LOBPCG .

في طرق تجزئة المجال المتداخلة، تتداخل المجالات الفرعية بأكثر من مساحة الواجهة. تشمل هذه الطرق طريقة شوارتز المتناوبة وطريقة شوارتز الجمعية . يمكن كتابة وتحليل العديد من طرق تجزئة المجال كحالة خاصة من طريقة شوارتز الجمعية المجردة .

في الطرق غير المتداخلة، تتقاطع المجالات الفرعية فقط عند حدودها. في الطرق الأولية، مثل تجزئة المجال المتوازنة و BDDC ، يُضمن استمرار الحل عبر حدود المجال الفرعي بتمثيل قيمة الحل في جميع المجالات الفرعية المجاورة بنفس المجهول. أما في الطرق الثنائية، مثل FETI ، فيُضمن استمرار الحل عبر حدود المجال الفرعي باستخدام مُضاعِفات لاغرانج . تُعد طريقة FETI-DP هجينة بين الطرق الثنائية والأولية.

تُسمى طرق تجزئة المجال غير المتداخلة أيضًا طرق التقسيم الفرعي التكراري .

تُعدّ طرق الملاط من طرق التقطيع للمعادلات التفاضلية الجزئية، حيث تستخدم تقطيعًا منفصلاً على نطاقات فرعية غير متداخلة. لا تتطابق الشبكات على النطاقات الفرعية عند السطح الفاصل، ويتم فرض تساوي الحل بواسطة مُضاعِفات لاغرانج، التي تُختار بعناية للحفاظ على دقة الحل. في الممارسة الهندسية لطريقة العناصر المحدودة، يتم تطبيق استمرارية الحلول بين النطاقات الفرعية غير المتطابقة بواسطة قيود متعددة النقاط .

تتطلب محاكاة العناصر المحدودة للنماذج متوسطة الحجم حل أنظمة خطية تحتوي على ملايين المجاهيل. ويستغرق تشغيلها التسلسلي عدة ساعات لكل خطوة زمنية، لذا فإن الحوسبة المتوازية ضرورية. وتُجسد طرق تجزئة المجال إمكانات كبيرة لموازاة طرق العناصر المحدودة، وتُشكل أساسًا للحسابات الموزعة والمتوازية.

لقد طُبقت أساليب تجزئة المجال بنجاح على مسائل تتراوح بين ديناميكا الموائع ومحاكاة المرونة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وقد بحثت العديد من الدراسات تجزئة مجالات الحساب أو التجزئة إلى مجالات فرعية متعددة، وحللت اقترانات التجزئة الناتجة بشكل مستقل. ^{[ 3 ]} كما استُخدمت طرق شوارتز القياسية والمحسّنة في سياق تنعيم الشبكة، وتحديدًا في عملية تدفق الانحناء المتوسط ​​للشبكات المضلعة العامة. ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{cases}u''(x)=u(x),\\u(0)=0,\\u(1)=1.\end{cases}}}$$ الحل الدقيق هو: $${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$$ قسّم النطاق إلى نطاقين فرعيين، أحدهما من${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]}$وآخر من${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]}$في المجال الفرعي الأيسر، حدد دالة الاستيفاء${\displaystyle v_{1}(x)}$وفي التعريف الصحيح${\displaystyle v_{2}(x)}$عند نقطة التقاء هذين النطاقين الفرعيين، تُفرض شروط التقاء التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}{\left({\frac {1}{2}}\right)}\\v_{1}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}&=v_{2}'{\left({\frac {1}{2}}\right)}\end{aligned}}}$$ لنفترض أن دوال الاستيفاء معرفة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{align}v_{1}(x)&=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))\\v_{2}(x)&=\sum _ {n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))\\y_{1}(x)&=4x-1\\y_{2}(x)&=4x-3\end{محاذاة}}}$$ أين${\displaystyle T_{n}(y)}$هي الدالة الأساسية رقم n لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول مع وسيط الإدخال y.

إذا كانت N = 4، فسيتم الحصول على التقريب التالي بواسطة هذه الطريقة: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=0.06236,&u_{2}&=0.21495,\\u_{3}&=0.37428,&u_{4}&= 0.44341,\\u_{5}&=0.51492,&u_{6}&=0.69972,\\u_{7}&=0.90645.\end{محاذاة}}}$$ تم الحصول على ذلك باستخدام كود MATLAB التالي.

مسح الكل N = 4 ; a1 = 0 ; b1 = 1 / 2 ;[ T D1 D2 E1 E2 x xsub ] = cheb ( N , a1 , b1 ); % مصفوفات الفرق على [0, 1/2] هي نفسها % تلك الموجودة على [1/2 1]. I = eye ( N + 1 ); H = D2 - I ; H1 = [[ 1 zeros ( 1 , N )]; H ( 2 : end - 1 , :); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H1 = [ H1 [ zeros ( N , N + 1 ); - [ 1 zeros ( 1 , N )]]]; H2 = [ D1 ( 1 , :); H ( 2 : end - 1 , :); [ zeros ( 1 , N ) 1 ]]; H2 = [[ -D1 ( N + 1 , :); zeros ( N , N + 1 )] H2 ]; K = [ H1 ; ح2 ]; F = [ أصفار ( 2 * N + 1 , 1 ); 1 ]؛ ش = ك \ ف ; xx = - cos ( pi * ( 0 : N ) '/ N ); x1 = 1 / 4 * ( xx + 1 ); x2 = 1 / 4 * ( xx + 3 ); س = [ x1 ; ×2 ]؛ يوإكس = (exp ( x ) - exp ( - x )) ./ ( exp ( 1 ) - exp ( - 1 ));

• طريقة الشبكة المتعددة

• يبدو أن صفحة أساليب تجزئة المجال الرسمية قد انتقلت إلى http://www.ddm2.org
• "تجزئة المجال - صفحة المحاكاة العددية" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 2021-01-26.