نصف قطر أينشتاين

نصف قطر أينشتاين هو نصف قطر حلقة أينشتاين ، وهو زاوية مميزة للعدسات الجاذبية بشكل عام، حيث أن المسافات النموذجية بين الصور في العدسات الجاذبية تكون من رتبة نصف قطر أينشتاين. ^{[ 1 ]}

في الاشتقاق التالي لنصف قطر أينشتاين، سنفترض أن كل كتلة M للمجرة L التي تقوم بعملية العدسة تتركز في مركز المجرة.

بالنسبة لكتلة نقطية، يمكن حساب الانحراف، وهو أحد الاختبارات الكلاسيكية للنسبية العامة . بالنسبة للزوايا الصغيرة α _{≥ 1} ، يُعطى الانحراف الكلي لكتلة نقطية M (انظر مقياس شوارزشيلد ) بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

أين

b ₁ هو معامل التأثير (مسافة أقرب اقتراب لشعاع الضوء من مركز الكتلة)

G هو ثابت الجاذبية ،

ج هي سرعة الضوء .

بملاحظة أنه بالنسبة للزوايا الصغيرة، ومع التعبير عن الزاوية _{بالراديان ، فإن أقرب نقطة اقتراب b1} بزاوية _θ1 للعدسة L على مسافة DL تُعطى بالعلاقة b1 = θ1DL ، ويمكننا _إعادة التعبير عن زاوية الانحناء _α1 على _النحو التالي _:

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$..... (المعادلة 1)

إذا حددنا θ _{_S} كزاوية رؤية المصدر بدون العدسة (وهي زاوية غير قابلة للملاحظة عمومًا)، و θ _₁ كزاوية رؤية صورة المصدر بالنسبة للعدسة، فإنه يمكننا أن نرى من هندسة العدسات (بحساب المسافات في مستوى المصدر) أن المسافة الرأسية التي تغطيها الزاوية θ _₁ عند مسافة DS تساوي مجموع المسافتين الرأسيتين θ _{_S = DS} و θ _{₁ = DS} . وهذا يعطينا معادلة العدسة _.

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

والتي يمكن إعادة ترتيبها لإعطاء

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$..... (المعادلة 2)

بوضع المعادلة (1) مساوية للمعادلة (2)، وإعادة ترتيبها، نحصل على

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

بالنسبة لمصدر يقع خلف العدسة مباشرةً، θ _{_S} = 0 ، فإن معادلة العدسة لكتلة نقطية تعطي قيمة مميزة لـ θ _₁ تُسمى زاوية أينشتاين ، ويُرمز لها بـ θ _{_E} . عندما تُقاس θ_{_E} بالراديان، ويكون مصدر العدسة بعيدًا بما فيه الكفاية، فإن نصف قطر أينشتاين ، ويُرمز له بـ RE _، يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle R_{E}=\theta _{E}D_{\rm {L}}}$[ ^{2 ]​}

بوضع θ _S = 0 وحل المعادلة لإيجاد θ _1، نحصل على

$\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

توفر زاوية أينشتاين لكتلة نقطية مقياسًا خطيًا مناسبًا لجعل متغيرات العدسات عديمة الأبعاد. وباستخدام زاوية أينشتاين، تصبح معادلة العدسة لكتلة نقطية كما يلي:

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

بالتعويض عن الثوابت نحصل على

$\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

في الصيغة الأخيرة، تُعبّر الكتلة عن الكتلة الشمسية ( M☉ ₎ والمسافات عن المسافة بالجيجا فرسخ فلكي (Gpc). يكون نصف قطر أينشتاين أكثر وضوحًا بالنسبة لعدسة تقع عادةً في منتصف المسافة بين المصدر والمراقب.

بالنسبة لمجموعة كثيفة ذات كتلة M _c ≈_كتلة ^{مقدارها} 10 × 10¹⁵ كتلة  شمسية على مسافة 1 جيجابارسيك (1 جيجابارسيك)، قد يصل نصف قطرها إلى 100 ثانية قوسية (يُسمى هذا التأثير بالعدسة الجاذبية الكبيرة ). أما بالنسبة لحدث عدسة جاذبية صغيرة (بكتل من رتبة(1 مليون _{كتلة شمسية}  ) البحث عن على مسافات مجرية (مثلاً D ~على مسافة 3  كيلوبارسك ، يكون نصف قطر أينشتاين النموذجي في حدود أجزاء من الألف من الثانية القوسية. ونتيجة لذلك، يستحيل رصد صور منفصلة في أحداث العدسات الجاذبية الدقيقة باستخدام التقنيات الحالية.

وبالمثل، بالنسبة لشعاع الضوء السفلي الذي يصل إلى الراصد من أسفل العدسة، لدينا

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

و

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

وبالتالي

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

يمكن تعميم الحجة السابقة على العدسات ذات الكتلة الموزعة، بدلاً من الكتلة النقطية، باستخدام صيغة مختلفة لزاوية الانحناء α، ومن ثم حساب مواضع الصور θI ( θS ). في حالة الانحرافات الصغيرة _، يكون هذا التطابق أحاديًا، ويتكون من تشوهات في المواضع المرصودة قابلة للعكس. يُسمى هذا بالعدسة الضعيفة _{. أما في حالة الانحرافات الكبيرة ،} فقد تتكون صور متعددة، ويكون التطابق غير قابل للعكس، ويُسمى هذا بالعدسة القوية . تجدر الإشارة إلى أنه لكي تُنتج الكتلة الموزعة حلقة أينشتاين، يجب أن تكون متناظرة محوريًا.

• عدسة الجاذبية
• خاتم أينشتاين

• تشولسون، أو (1924). "Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne". Astronomische Nachrichten . 221 (20): 329– 330. بيب كود : 1924AN....221..329C . دوى : 10.1002/asna.19242212003 .(أول ورقة بحثية تقترح استخدام الحلقات)
• أينشتاين، ألبرت (1936). "تأثير عدسة النجم نتيجة انحراف الضوء في مجال الجاذبية" (ملف PDF) . مجلة ساينس . 84 (2188): 506-507 . Bibcode : 1936Sci....84..506E . doi : 10.1126/science.84.2188.506 . JSTOR 1663250. PMID 17769014. S2CID 38450435. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 أبريل 2018 .   (ورقة بحثية شهيرة عن حلقة أينشتاين)
• رين، يورغن ؛ تيلمان ساوير وجون ستاشل (1997). "أصل عدسة الجاذبية: ملحق لورقة أينشتاين العلمية لعام 1936". مجلة ساينس . 275 (5297): 184-186 . Bibcode : 1997Sci...275..184R . doi : 10.1126/science.275.5297.184 . PMID 8985006. S2CID 43449111 .