بندول فوكو

بندول فوكو أو بندول فوكو هو جهاز بسيط سُمي على اسم الفيزيائي الفرنسي ليون فوكو ، وقد صُمم كتجربة لإثبات دوران الأرض . إذا تمت مراقبة بندول طويل وثقيل معلق من سقف مرتفع فوق منطقة دائرية لفترة زمنية ممتدة، يبدو أن مستوى تذبذبه يتغير تلقائيًا مع دوران الأرض كل 24 ساعة.

تم تقديم البندول في عام 1851 وكان أول تجربة تعطي دليلاً بسيطًا ومباشرًا على دوران الأرض. أعقب ذلك فوكو في عام 1852 بتجربة جيروسكوب لإثبات دوران الأرض بشكل أكبر. تعد بندولات فوكو اليوم معروضات شائعة في المتاحف العلمية والجامعات. ^[1]

استوحى فوكو أفكاره من ملاحظة قضيب مرن رفيع على محور مخرطة ، والذي يهتز في نفس المستوى على الرغم من دوران الإطار الداعم للمخرطة. ^[2]

أقيم أول معرض عام لبندول فوكو في فبراير 1851 في خط الطول لمرصد باريس . وبعد بضعة أسابيع، صنع فوكو بندوله الأكثر شهرة عندما علق بندولًا من الرصاص المطلي بالنحاس يزن 28 كيلوغرامًا (62 رطلاً) بسلك يبلغ طوله 67 مترًا (220 قدمًا) من قبة البانثيون في باريس .

نظرًا لأن خط عرض موقعه كان ، فإن مستوى تأرجح البندول أكمل دائرة كاملة في حوالي ، ويدور في اتجاه عقارب الساعة حوالي 11.3 درجة في الساعة. كانت الفترة الزمنية المناسبة للبندول حوالي ، لذلك مع كل اهتزازة، يدور البندول بحوالي . أفاد فوكو بملاحظة انحراف قدره 2.3 مم على حافة البندول في كل اهتزازة، وهو ما يتحقق إذا كانت زاوية تأرجح البندول 2.1 درجة. ^[2]${\displaystyle \phi =\mathrm {48^{\circ }52'N} }$${\textstyle {\frac {\mathrm {23h56'} }{\sin \phi }}\approx \mathrm {31.8\,h} \;(\mathrm {31\,h\,50\,min} )}$${\textstyle 2\pi {\sqrt {l/g}}\approx 16.5\,\mathrm {s} }$${\displaystyle 9.05\times 10^{-4}\mathrm {rad} }$

وقد أوضح فوكو نتائجه في ورقة بحثية عام 1851 بعنوان "الإثبات الفيزيائي لحركة دوران الأرض بواسطة البندول" ، والتي نُشرت في " حسابات أكاديمية العلوم" . وكتب أنه في القطب الشمالي: ^[3]

...إن الحركة التذبذبية لكتلة البندول تتبع قوس دائرة معروفة المستوى جيداً، والتي يضمن لها جمود المادة موقعاً ثابتاً في الفضاء. وإذا استمرت هذه التذبذبات لفترة معينة من الزمن، فإن حركة الأرض، التي تستمر في الدوران من الغرب إلى الشرق، ستصبح حساسة على النقيض من ثبات مستوى التذبذب الذي يبدو أثره على الأرض متحركاً بحركة متسقة مع الحركة الظاهرية للكرة السماوية؛ وإذا أمكن استمرار التذبذبات لمدة أربع وعشرين ساعة، فإن أثر مستواها سينفذ دورة كاملة حول الإسقاط الرأسي لنقطة التعليق.

تم نقل آلة البوب ​​الأصلية المستخدمة في عام 1851 في البانثيون في عام 1855 إلى معهد الفنون والحرف في باريس. وتم تركيب آلة بوب مؤقتة ثانية في الذكرى الخمسين في عام 1902. ^[4]

أثناء إعادة بناء المتحف في التسعينيات، تم عرض البندول الأصلي مؤقتًا في البانثيون (1995)، ولكن تم إعادته لاحقًا إلى متحف الفنون والحرف قبل إعادة افتتاحه في عام 2000. ^[5] في 6 أبريل 2010، انقطع الكابل الذي يعلق البندول في متحف الفنون والحرف، مما تسبب في أضرار لا يمكن إصلاحها لبندول البندول وأرضية الرخام في المتحف. ^{[6] [7]} يتم عرض البندول الأصلي التالف الآن في علبة منفصلة بجوار عرض البندول الحالي.

توجد نسخة طبق الأصل من البندول الأصلي تعمل تحت قبة البانثيون في باريس منذ عام 1995. ^[8]

عند القطب الشمالي الجغرافي أو القطب الجنوبي الجغرافي ، تظل مستوى اهتزاز البندول ثابتًا بالنسبة للكتل البعيدة في الكون ^{[ بحاجة لمصدر ]} بينما تدور الأرض تحته، وتستغرق يومًا نجميًا واحدًا لإكمال الدورة. لذا، بالنسبة للأرض، يخضع مستوى اهتزاز البندول عند القطب الشمالي (عند النظر إليه من الأعلى) لدوران كامل في اتجاه عقارب الساعة خلال يوم واحد؛ يدور البندول عند القطب الجنوبي عكس اتجاه عقارب الساعة.

عندما يتم تعليق بندول فوكو عند خط الاستواء ، فإن مستوى التذبذب يظل ثابتًا بالنسبة للأرض. في خطوط العرض الأخرى، يتحرك مستوى التذبذب بشكل تقدمي بالنسبة للأرض، ولكن بشكل أبطأ من القطب؛ السرعة الزاوية، ω (مقاسة بالدرجات في اتجاه عقارب الساعة لكل يوم نجمي)، تتناسب طرديًا مع جيب خط العرض ، φ :

$${\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} ,}$$

حيث يتم تعريف خطوط العرض شمال وجنوب خط الاستواء على أنها موجبة وسالبة على التوالي. "يوم البندول" هو الوقت اللازم لمستوى بندول فوكو المعلق بحرية لإكمال دورة ظاهرة حول العمودي المحلي. هذا هو يوم نجمي واحد مقسومًا على جيب خط العرض. ^{[10] [11]} على سبيل المثال، يدور بندول فوكو عند خط عرض 30 درجة جنوبًا، كما يراه مراقب من أعلى على الأرض، عكس اتجاه عقارب الساعة 360 درجة في يومين.

وباستخدام طول سلك كافٍ، يمكن أن تكون الدائرة الموصوفة واسعة بما يكفي بحيث يمكن رؤية الإزاحة المماسية على طول دائرة القياس بين تذبذبين بالعين، مما يجعل بندول فوكو تجربة مذهلة: على سبيل المثال، يتحرك بندول فوكو الأصلي في بانثيون بشكل دائري، بسعة بندول 6 أمتار، بحوالي 5 مم لكل فترة.

يتطلب بندول فوكو عناية في الإعداد لأن البناء غير الدقيق يمكن أن يسبب انحرافًا إضافيًا يخفي التأثير الأرضي. أجرى هايك كاميرلينج أونز (الحائز على جائزة نوبل عام 1913) تجارب دقيقة وطور نظرية أكثر اكتمالاً لبندول فوكو لأطروحته للدكتوراه (1879). لقد لاحظ أن البندول ينتقل من التذبذب الخطي إلى التذبذب الإهليلجي في غضون ساعة. من خلال تحليل الاضطرابات ، أظهر أن العيب الهندسي للنظام أو مرونة السلك الداعم قد يتسبب في حدوث نبضة بين وضعين أفقيين للتذبذب. ^[12] يعد الإطلاق الأولي للبندول أمرًا بالغ الأهمية أيضًا؛ الطريقة التقليدية للقيام بذلك هي استخدام شعلة لحرق خيط يحمل مؤقتًا البندول في موضعه الأولي، وبالتالي تجنب الحركة الجانبية غير المرغوب فيها (انظر تفاصيل الإطلاق في الذكرى الخمسين في عام 1902 ).

ومن الجدير بالذكر أن انحراف البندول كان قد لوحظ بالفعل في عام 1661 من قبل فينسينزو فيفياني ، أحد تلاميذ جاليليو ، ولكن لا يوجد دليل على أنه ربط التأثير بدوران الأرض؛ بل اعتبره مصدر إزعاج في دراسته يجب التغلب عليه من خلال تعليق البندول على حبلين بدلاً من حبل واحد.

تعمل مقاومة الهواء على تثبيط التذبذب، لذا فإن بعض بندولات فوكو الموجودة في المتاحف تتضمن محركًا كهرومغناطيسيًا أو محركًا آخر للحفاظ على تأرجح البندول؛ يتم إعادة تشغيل البعض الآخر بانتظام، وأحيانًا مع حفل إطلاق كعامل جذب إضافي. بالإضافة إلى مقاومة الهواء (استخدام البندول المتماثل الثقيل لتقليل قوى الاحتكاك، وخاصة مقاومة الهواء بواسطة البندول المتماثل والديناميكي الهوائي)، يُقال إن المشكلة الهندسية الرئيسية الأخرى في إنشاء بندول فوكو بطول متر واحد في الوقت الحاضر هي ضمان عدم وجود اتجاه مفضل للتأرجح. ^[13]

تتقدم العديد من الأنظمة الفيزيائية بطريقة مماثلة لبندول فوكو. في وقت مبكر من عام 1836، ابتكر عالم الرياضيات الاسكتلندي إدوارد سانج وشرح تقدم قمة دوارة. ^[14] في عام 1851، وصف تشارلز ويتستون ^[15] جهازًا يتكون من زنبرك مهتز مثبت أعلى قرص بحيث يصنع زاوية ثابتة φ مع القرص. يتم ضرب الزنبرك بحيث يتذبذب في مستوى. عندما يتم تدوير القرص، يتغير مستوى التذبذب تمامًا مثل مستوى بندول فوكو عند خط العرض φ .

على نحو مماثل، ضع في اعتبارك عجلة دراجة غير دوارة ومتوازنة تمامًا مثبتة على قرص بحيث يشكل محور دورانها زاوية φ مع القرص. عندما يخضع القرص لدورة كاملة في اتجاه عقارب الساعة، لن تعود عجلة الدراجة إلى موضعها الأصلي، ولكنها ستخضع لدوران صافٍ قدره 2π sin φ .

تتم ملاحظة تقدمية تشبه تقدم فوكو في نظام افتراضي حيث يتم تقييد جسيم عديم الكتلة بالبقاء على مستوى دوار مائل بالنسبة لمحور الدوران. ^[16]

تدور جسيمات نسبية تتحرك في مدار دائري بشكل مشابه لمستوى تأرجح بندول فوكو. يمكن التعامل مع فضاء السرعة النسبية في فضاء مينكوفسكي ككرة S ^{3 في} فضاء إقليدي رباعي الأبعاد بنصف قطر وهمي وإحداثيات زمنية وهمية. يؤدي النقل الموازي لمتجهات الاستقطاب على طول هذه الكرة إلى حدوث تقدم توماس ، وهو ما يشبه دوران مستوى تأرجح بندول فوكو بسبب النقل الموازي على طول كرة S ² في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. ^[17]

في الفيزياء، يتم تحديد تطور مثل هذه الأنظمة من خلال المراحل الهندسية . ^{[18] [19]} ومن الناحية الرياضية، يتم فهمها من خلال النقل الموازي.

حركة البندول، مثل بندول فوكو، يتم تحليلها عادةً بالنسبة لإطار مرجعي بالقصور الذاتي ، يتم تقريبه بواسطة "النجوم الثابتة". ^[20] هذه النجوم، نظرًا لبعدها الهائل عن الأرض، تُظهر حركة لا تذكر بالنسبة لبعضها البعض على مدى فترات زمنية قصيرة، مما يجعلها معيارًا عمليًا للحسابات الفيزيائية. في حين أن النجوم الثابتة كافية للتحليلات الفيزيائية، فإن مفهوم إطار مرجعي مطلق يقدم اعتبارات فلسفية ونظرية.

الفضاء المطلق النيوتوني

• اقترح إسحاق نيوتن وجود "الفضاء المطلق"، وهو إطار مرجعي عالمي ثابت مستقل عن أي أجسام مادية. وفي كتابه " مبادئ الرياضيات "، وصف نيوتن الفضاء المطلق بأنه الخلفية التي تحدث الحركة الحقيقية أمامها. ^[21]
• وقد تعرض هذا المفهوم لانتقادات من قبل مفكرين لاحقين، مثل إرنست ماخ، الذي زعم أن الحركة يجب أن تُعرَّف فقط بالنسبة للكتل الأخرى في الكون. ^[21]

الخلفية الكونية الميكروية (CMB)

• تُعَد الخلفية الكونية الميكروية، الإشعاع المتبقي من الانفجار العظيم، مرجعًا عالميًا للملاحظات الكونية. ومن خلال قياس الحركة بالنسبة للخلفية الكونية الميكروية، يستطيع العلماء تحديد سرعة الأجرام السماوية، بما في ذلك الأرض، بالنسبة لحالة الكون المبكرة. وقد دفع هذا البعض إلى اعتبار الخلفية الكونية الميكروية نظيرًا حديثًا لإطار مرجعي مطلق. ^[22]

مبدأ ماخ والكتل البعيدة

• اقترح إرنست ماخ أن القصور الذاتي ينشأ من تفاعل جسم مع كتل بعيدة في الكون. ووفقًا لهذا الرأي، يمكن تعريف إطار مرجع البندول من خلال توزيع كل المادة في الكون، وليس من خلال الفضاء المطلق المجرد. ^[21]
• تلعب "الكتل البعيدة في الكون" دورًا حاسمًا في تحديد الإطار القصوري، مما يشير إلى أن الحركة الظاهرية للبندول قد تتأثر بالتأثير الجاذبي الجماعي لهذه الكتل. يتماشى هذا المنظور مع مبدأ ماخ، مؤكدًا على الترابط بين الظواهر المحلية والكونية. ^{[21] [22]}
• ومع ذلك، لا تزال العلاقة بين مبدأ ماخ والنسبية العامة لأينشتاين دون حل. كان أينشتاين يأمل في البداية في دمج أفكار ماخ، لكنه اعترف لاحقًا بصعوبة القيام بذلك. ^[23]

النسبية العامة والزمكان

• تشير النسبية العامة إلى أن الزمكان نفسه يمكن أن يعمل كإطار مرجعي. يمكن فهم حركة البندول على أنها نسبية لانحناء الزمكان، والذي يتأثر بالكتل القريبة والبعيدة. يتماشى هذا الرأي مع مفهوم الجيوديسية في الزمكان المنحني. ^[22]
• تأثير لينس -ثيرينغ ، ^[24] وهو تنبؤ بالنسبية العامة، يعني أن الأجسام الدوارة الضخمة مثل الأرض يمكنها "سحب" الزمكان قليلاً، ^[25] وهو ما قد يؤثر على تذبذب البندول. هذا التأثير، على الرغم من أهميته النظرية، صغير جدًا حاليًا بحيث لا يمكن قياسه باستخدام بندول فوكو.

لنمذجة بندول فوكو، نأخذ في الاعتبار بندولًا بطول L وكتلته m ، يتذبذب بسعات صغيرة. في إطار مرجعي يدور مع الأرض بسرعة زاوية Ω، يجب تضمين قوة كوريوليس. معادلات الحركة في المستوى الأفقي ( x ، y ) هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x&=2\Omega \sin(\varphi ){\dot {y}},\\{\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}y&=-2\Omega \sin(\varphi ){\dot {x}},\end{aligned}}}$

أين:

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$هو التردد الزاوي الطبيعي للبندول،
• ${\displaystyle \varphi }$هو خط العرض،
• ${\displaystyle g}$هو تسارع الجاذبية.

تصف هذه المعادلات التفاضلية المقترنة حركة البندول، وتتضمن تأثير كوريوليس الناتج عن دوران الأرض. ^[26]

يعتمد معدل تقدم مستوى تذبذب البندول على خط العرض. ويُعطى معدل التقدم الزاوي بالمعادلة التالية: ${\displaystyle \Omega _{p}}$

${\displaystyle \Omega _{p}=\Omega \sin(\varphi ),}$

أين هو معدل الدوران الزاوي للأرض (تقريبًا راديان في الثانية). ^[27]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle 7.2921\times 10^{-5}}$

زمن الدوران الكامل لمستوى البندول هو: ${\displaystyle T_{p}}$

${\displaystyle T_{p}={\frac {2\pi }{\Omega _{p}}}={\frac {2\pi }{\Omega \sin(\varphi )}}.}$

الحسابات لمواقع محددة:

• باريس، فرنسا (خط العرض ):${\displaystyle \varphi \approx 48.8566^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{p}&=\Omega \sin(48.8566^{\circ })\approx 7.2921\times 10^{-5}\times 0.7547\\&\approx 5.506\times 10^{-5}\,{\text{radians/second}},\\T_{p}&={\frac {2\pi }{5.506\times 10^{-5}}}\approx 114,105\,{\text{seconds}}\\&\approx 31.7\,{\text{hours}}.\end{aligned}}}$^[28]

• مدينة نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية (خط العرض ):${\displaystyle \varphi \approx 40.7128^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{p}&=\Omega \sin(40.7128^{\circ })\approx 7.2921\times 10^{-5}\times 0.6523\\&\approx 4.757\times 10^{-5}\,{\text{radians/second}},\\T_{p}&={\frac {2\pi }{4.757\times 10^{-5}}}\approx 132,000\,{\text{seconds}}\\&\approx 36.7\,{\text{hours}}.\end{aligned}}}$^[29]

تظهر هذه الحسابات أن فترة دوران البندول تتغير حسب خطوط العرض، حيث تكتمل الدورة الكاملة بشكل أسرع عند خطوط العرض الأعلى.

يوجد عدد كبير من بندولات فوكو في الجامعات والمتاحف العلمية وما شابه ذلك في جميع أنحاء العالم. يوجد بندول في مبنى الجمعية العامة للأمم المتحدة في مقر الأمم المتحدة في مدينة نيويورك. يُزعم أن بندول مركز مؤتمرات أوريغون هو الأكبر، ويبلغ طوله حوالي 27 مترًا (89 قدمًا)، ^{[30] [31]} ومع ذلك، هناك بندولات أكبر مدرجة في المقالة، مثل البندول الموجود في برج جامو في جامعة كولورادو بطول 39.3 مترًا (129 قدمًا). كانت هناك بندولات أطول بكثير، مثل البندول الذي يبلغ طوله 98 مترًا (322 قدمًا) في كاتدرائية القديس إسحاق ، سانت بطرسبرغ ، روسيا . ^{[32] [33]}

تم إجراء التجربة أيضًا في القطب الجنوبي ، حيث افترض أن دوران الأرض سيكون له أقصى تأثير. ^{[34] [35]} تم تركيب بندول في درج مكون من ستة طوابق لمحطة جديدة قيد الإنشاء في محطة أموندسن سكوت في القطب الجنوبي . كان طوله 33 مترًا (108 قدمًا) ووزن البندول 25 كجم (55 رطلاً). كان الموقع مثاليًا: لا يمكن لأي هواء متحرك أن يزعج البندول. أكد الباحثون أن فترة دوران مستوى التذبذب تبلغ حوالي 24 ساعة.

• الدوران المطلق  – الدوران المستقل عن أي مرجع خارجي
• تأثير كوريوليس  – القوة الظاهرية في إطار مرجعي دوارPages displaying short descriptions of redirect targets
• تجربة Eötvös  – تجربة فيزيائية
• المرحلة الهندسية  – مرحلة الدورة
• الجيروسكوب  – جهاز لقياس أو الحفاظ على الاتجاه والسرعة الزاوية
• الإطار القصوري  – المفهوم الأساسي للميكانيكا الكلاسيكيةPages displaying short descriptions of redirect targets
• سلسلة لاريا  – عرض علمي
• التقدم  – تغيير دوري في اتجاه محور الدوران

• أرنولد، السادس (1989). الأساليب الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية. سبرينغر. ص 123. ISBN 978-0-387-96890-2.
• ماريون، جيري ب.؛ ثورنتون، ستيفن ت. (1995). الديناميكيات الكلاسيكية للجسيمات والأنظمة (الطبعة الرابعة). بروكس كول. ص 398-401. ISBN 978-0-03-097302-4.
• بيرسون، أندرس أو. (2005). "تأثير كوريوليس: أربعة قرون من الصراع بين الحس السليم والرياضيات، الجزء الأول: تاريخ حتى عام 1885" (PDF) . تاريخ الأرصاد الجوية . 2. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2014-04-11 . تم الاسترجاع في 2006-04-27 .

• وولف، جو، "اشتقاق من تقدم بندول فوكو".
• "بندول فوكو"، اشتقاق الحركة التقدمية في الإحداثيات القطبية.
• "بندول فوكو" من إخراج جو وولف، مع مقطع فيلمي ورسوم متحركة.
• "بندول فوكو" بقلم جينز بير كوسكا مع جيف براينت، مشروع ولفرام التوضيحي : نموذج حاسوبي للبندول يسمح بالتلاعب بتردد البندول، وتردد دوران الأرض، وخط العرض، والوقت.
• “كاميرا ويب معهد كيرشوف للفيزياء، جامعة هايدلبرغ”.
• أكاديمية كاليفورنيا للعلوم، CA محفوظ بتاريخ 2016-05-25 في أرشيف الويب البرتغالي شرح بندول فوكو، بتنسيق سهل الاستخدام
• نموذج بندول فوكو - عرض يتضمن جهازًا سطحيًا يوضح تأثير فوكو في ثوانٍ.
• فوكو، م. ل.، البرهان الفيزيائي على دوران الأرض بواسطة البندول، معهد فرانكلين، 2000، تم استرجاعه في 31 أكتوبر 2007. ترجمة بحثه عن بندول فوكو.
• توبين، ويليام. "حياة وعلم ليون فوكو".
• باولي، روجر (2010). "بندول فوكو". ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• Pendolo nel Salone بندول فوكو داخل قصر ديلا راجيوني في بادوفا، إيطاليا
• تشيسين، أ. س. (1895). "حول بندول فوكو". المجلة الأمريكية للرياضيات . 17 (1): 81- 88. doi :10.2307/2369710. JSTOR  2369710.
• بروميتش، تي جيه (1914). "نظرية بندول فوكو". وقائع لندن. الرياضيات. اجتماعي. المجلد 2-13 (1): 222-235 . doi :10.1112/plms/s-13.1.222 (غير نشط 1 نوفمبر 2024).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of November 2024 (link)
• ماكميلان، ويليام دنكان (1915). "حول بندول فوكو". المجلة الأمريكية للرياضيات . 37 (1): 95- 106. doi :10.2307/2370259. JSTOR  2370259. S2CID  123717776.
• نوبل، ويليام جيه. (1952). "معالجة مباشرة لبندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء . 20 (6): 334– 336. رمز المرجع : 1952AmJPh..20..334N. doi : 10.1119/1.1933230.
• شولتز-دوبوا، إي أو (1970). "تجربة بندول فوكو بواسطة كامرلينج أونز ونظرية الاضطراب المتدهورة". المجلة الأمريكية للفيزياء 38 ( 2): 173. رمز Bibcode :1970AmJPh..38..173S. doi :10.1119/1.1976270.
• سومرفيل، دبليو بي (1972). "وصف بندول فوكو". مجلة كيو جي آر للعلوم الاجتماعية . 13 : 40– 62. رمز البيبكود : 1972QJRAS..13...40S.
• براغينسكي، فلاديمير ب.؛ بولناريف، ألكسندر ج.؛ ثورن، كيب س. (1984). "بندول فوكو في القطب الجنوبي: اقتراح لتجربة للكشف عن المجال الجاذبي المغناطيسي النسبي العام للأرض" (ملف PDF) . Phys. Rev. Lett . 53 (9): 863. Bibcode :1984PhRvL..53..863B. doi :10.1103/PhysRevLett.53.863.
• هارد، جون ب.؛ ميلر، رايموند إي. (1987). "نموذج هندسي بسيط لتصور حركة بندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء . 55 (1): 67. رمز Bibcode :1987AmJPh..55...67H. doi :10.1119/1.14972.
• كرين، ريتشارد إتش (1995). "ساعة الحائط بندول فوكو"". Am. J. Phys . 63 (1): 33– 39. Bibcode :1995AmJPh..63...33C. doi :10.1119/1.17765.
• Das, U.; Talukdar, B.; Shamanna, J. (2002). "التمثيل التحليلي غير المباشر لبندول فوكو". Czechoslov. J. Phys . 52 (12): 1321– 1327. Bibcode :2002CzJPh..52.1321D. doi :10.1023/A:1021819627736. S2CID  118592240.
• سلفا، هوراسيو ر.؛ بينافيدس، روبين إي؛ بيريز، خوليو سي. كوسكويتا، دييغو J. (2010). “تصميم بندول فوكو”. القس العلوم. أداة . 81 (11): 115102–115102–4. بيب كود :2010RScI...81k5102S. دوى :10.1063/1.3494611. بميد  21133496.
• دي إيكازا هيريرا، م.؛ كاستانو، ف. م. (2011). "لاجرانجي معمم لبندول فوكو البارامتري مع قوى تبديدية". أكتا ميك . 218 ( 1-2 ): 45-64 . doi :10.1007/s00707-010-0392-8.
• داليج، ك.؛ برزيبورسكي، م.؛ سولويك، ج. (2015). "بندول فوكو. أداة غير معقدة في دراسة الجيوديسيا ورسم الخرائط". وقائع مؤتمر EDULEARN15 - المؤتمر الدولي السابع للتعليم وتقنيات التعلم الجديدة، برشلونة، إسبانيا . أكاديمية IATED. رقم ISBN 978-84-606-8243-1.
• كارتميل، ماثيو ب.؛ فالر، جيمس إي.؛ لوكربي، نيكولاس أ.؛ هاندوس، إيفا (2020). "حول نمذجة واختبار بندول فوكو على نطاق المختبر كمقدمة لتصميم أداة قياس عالية الأداء". Proc. R. Soc. A. 476 ( 2238): 20190680. Bibcode :2020RSPSA.47690680C. doi : 10.1098/rspa.2019.0680 . PMC  7428043. PMID  32821234 .