تقدم توماس

جزء من سلسلة عن
الزمكان
النسبية الخاصة النسبية العامة
مفاهيم الزمكان متعدد الزمكان مبدأ التكافؤ تحويلات لورنتز فضاء مينكوفسكي
النسبية العامة مقدمة عن النسبية العامة رياضيات النسبية العامة معادلات مجال أينشتاين
الجاذبية الكلاسيكية مقدمة عن الجاذبية قانون نيوتن للجاذبية الكونية
الرياضيات ذات الصلة أربعة متجهات اشتقاقات النسبية مخططات الزمكان الهندسة التفاضلية الفضاء المنحني الزمكان المنحني رياضيات النسبية العامة طوبولوجيا الزمكان
بوابة الفيزياء  فئة
ف ت هـ

في الفيزياء ، تعتبر حركة توماس التقدمية ، والتي سميت على اسم لويلين توماس ، تصحيحًا نسبيًا ينطبق على دوران جسيم أولي أو دوران جيروسكوب عياني ، وتربط السرعة الزاوية لدوران جسيم يتبع مدارًا منحنيًا بالسرعة الزاوية للحركة المدارية.

بالنسبة لإطار بالقصور الذاتي معين ، إذا تم تعزيز إطار ثانٍ بواسطة لورنتز بالنسبة له، وتم تعزيز إطار ثالث بالنسبة للإطار الثاني، ولكن ليس على خط مستقيم مع التعزيز الأول، فإن تحويل لورنتز بين الإطارين الأول والثالث ينطوي على تعزيز ودوران مشتركين، يُعرفان باسم " دوران ويغنر " أو "دوران توماس". بالنسبة للحركة المتسارعة، يكون للإطار المتسارع إطار بالقصور الذاتي في كل لحظة. يؤدي تعزيزان بفاصل زمني صغير (كما تم قياسه في إطار المختبر) إلى دوران ويغنر بعد التعزيز الثاني. في الحد الذي يميل فيه الفاصل الزمني إلى الصفر، يدور الإطار المتسارع في كل لحظة، لذلك يدور الإطار المتسارع بسرعة زاوية.

يمكن فهم التقدم الهندسي كنتيجة لحقيقة أن فضاء السرعات في النسبية هو قطع زائد ، وبالتالي فإن النقل الموازي لمتجه (السرعة الزاوية للجيروسكوب) حول دائرة (سرعته الخطية) يتركها تشير إلى اتجاه مختلف، أو يمكن فهمه جبريًا على أنه نتيجة لعدم تبديلية تحويلات لورنتز . يقدم تقدم توماس تصحيحًا لتفاعل الدوران المداري في ميكانيكا الكم ، والذي يأخذ في الاعتبار التمدد الزمني النسبي بين الإلكترون ونواة الذرة .

إن تقدم توماس هو تأثير حركي في الزمكان المسطح للنسبية الخاصة . أما في الزمكان المنحني للنسبية العامة ، فإن تقدم توماس يتحد مع تأثير هندسي لإنتاج تقدم دي سيتر . وعلى الرغم من أن تقدم توماس ( الدوران الصافي بعد مسار يعود إلى سرعته الأولية ) هو تأثير حركي بحت، إلا أنه يحدث فقط في الحركة المنحنية وبالتالي لا يمكن ملاحظته بشكل مستقل عن بعض القوى الخارجية التي تسبب الحركة المنحنية مثل تلك التي يسببها المجال الكهرومغناطيسي أو المجال الجاذبي أو القوة الميكانيكية، لذلك فإن تقدم توماس عادة ما يكون مصحوبًا بتأثيرات ديناميكية . ^[1]

إذا لم يتعرض النظام لعزم دوران خارجي، على سبيل المثال، في الحقول القياسية الخارجية، فإن ديناميكيات دورانه تتحدد فقط من خلال تقدم توماس. توجد دورة توماس منفصلة واحدة (على عكس سلسلة الدورات اللامتناهية الصغر التي تضاف إلى تقدم توماس) في المواقف التي يوجد فيها ثلاثة إطارات بالقصور الذاتي أو أكثر في حركة غير خطية، كما يمكن رؤيته باستخدام تحويلات لورنتز .

كان تقدم توماس في النسبية معروفًا بالفعل لدى لودفيك سيلبرشتاين ، ^[2] في عام 1914. لكن المعرفة الوحيدة التي كان توماس يمتلكها عن التقدم النسبي جاءت من ورقة دي سيتر حول التقدم النسبي للقمر، والتي نُشرت لأول مرة في كتاب لإيدنجتون . ^[3]

في عام 1925، أعاد توماس حساب التردد التقدمي للفصل الثنائي في البنية الدقيقة للذرة. وبذلك وجد العامل المفقود 1/2، والذي أصبح يُعرف بنصف توماس.

أدى اكتشاف التقدم النسبي لدوران الإلكترون إلى فهم أهمية التأثير النسبي. وبالتالي تم تسمية التأثير "تقدم توماس".

لنفترض وجود نظام فيزيائي يتحرك عبر فضاء مينكوفسكي . افترض أنه يوجد في أي لحظة نظام بالقصور الذاتي بحيث يكون النظام في حالة سكون. يُطلق على هذا الافتراض أحيانًا اسم الفرضية الثالثة للنسبية. ^[4] وهذا يعني أنه في أي لحظة، يمكن تحويل إحداثيات وحالة النظام إلى نظام المختبر من خلال بعض تحويلات لورنتز.

لنفرض أن النظام يخضع لقوى خارجية لا تنتج عزم دوران بالنسبة لمركز كتلته في إطار سكونه (اللحظي). شرط "عدم وجود عزم دوران" ضروري لعزل ظاهرة تقدم توماس. وكفرضية تبسيطية، نفترض أن القوى الخارجية تعيد النظام إلى سرعته الأولية بعد فترة زمنية محدودة. ثبت إطار لورنتز O بحيث تكون السرعتان الأولية والنهائية صفرًا.

يتم تعريف متجه دوران باولي -لوبانسكي S _μ بأنه (0، S _i ) في إطار سكون النظام ، مع S _i متجه الزخم الزاوي الثلاثي حول مركز الكتلة. في الحركة من الموضع الأولي إلى الموضع النهائي، يخضع S _μ لدوران، كما هو مسجل في O ، من قيمته الأولية إلى قيمته النهائية. هذا التغيير المستمر هو تقدم توماس. ^[5]

فكر في حركة جسيم . قدم إطارًا مختبريًا Σ يمكن للمراقب من خلاله قياس الحركة النسبية للجسيم. في كل لحظة من الزمن، يكون للجسيم إطار بالقصور الذاتي يكون فيه في حالة سكون. بالنسبة لإطار المختبر هذا، تكون السرعة اللحظية للجسيم v ( t ) بقيمة | v | = v محدودة بسرعة الضوء c ، بحيث يكون 0 ≤ v < c . هنا، يكون الوقت t هو وقت الإحداثيات كما تم قياسه في إطار المختبر، وليس الوقت الحقيقي للجسيم.

بصرف النظر عن الحد الأعلى للحجم، فإن سرعة الجسيم عشوائية وليست ثابتة بالضرورة؛ متجه التسارع المقابل له هو a = d v ( t )/ dt . ونتيجة لدوران Wigner في كل لحظة، يتحرك إطار الجسيم بسرعة زاوية تعطى بالمعادلة ^{[6] [7] [8] [9]}

حيث × هو حاصل الضرب الاتجاهي و

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}}$

هو عامل لورنتز اللحظي ، وهو دالة للسرعة اللحظية للجسيم. مثل أي سرعة زاوية، فإن ω _T هو متجه زائف ؛ ومقداره هو السرعة الزاوية التي يتحرك بها إطار الجسيم ( بالراديان في الثانية)، ويشير الاتجاه على طول محور الدوران. وكما هو معتاد، يتم استخدام اتفاقية اليد اليمنى للضرب الاتجاهي (انظر قاعدة اليد اليمنى ).

تعتمد الحركة التقدمية على الحركة المتسارعة وعدم التوازي الخطي لسرعة الجسيم اللحظية وتسارعه. لا تحدث حركة تقدمية إذا تحرك الجسيم بسرعة منتظمة (ثابتة v لذا a = 0 )، أو تسارع في خط مستقيم (في هذه الحالة تكون v و a متوازيتين أو متعاكستين بحيث يكون حاصل ضربهما الاتجاهي صفرًا). يجب أن يتحرك الجسيم في منحنى، على سبيل المثال قوس أو حلزوني أو حلزوني أو مدار دائري أو مدار إهليلجي ، حتى يتحرك إطاره. تكون السرعة الزاوية للحركة التقدمية قصوى إذا كانت متجهات السرعة والتسارع متعامدة طوال الحركة (مدار دائري)، وتكون كبيرة إذا كانت مقاديرها كبيرة (مقدار v يساوي c تقريبًا ).

في الحد غير النسبي، v → 0 لذا γ → 1 ، والسرعة الزاوية تساوي تقريبًا

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

يتبين أن عامل 1/2 هو العامل الحاسم الذي يتفق مع النتائج التجريبية. ويُعرف هذا العامل بشكل غير رسمي باسم "نصف توماس".

يتضمن وصف الحركة النسبية تحويلات لورنتز ، ومن الملائم استخدامها في شكل مصفوفة ؛ تلخص تعبيرات المصفوفة الرمزية التحويلات ويسهل التعامل معها، وعند الحاجة يمكن كتابة المصفوفات الكاملة صراحةً. أيضًا، لمنع عوامل إضافية من c من تشويش المعادلات، من الملائم استخدام التعريف β ( t ) = v ( t ) / c مع المقدار | β | = β بحيث 0 ≤ β < 1 .

يتم تجميع إحداثيات الزمكان لإطار المختبر في متجه عمودي 4×1 ، ويتم تمثيل التعزيز كمصفوفة متماثلة 4×4 ، على التوالي

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\نهاية{مصفوفة}}}$

وتحول

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}}$

هو عامل لورنتز لـ β . في الإطارات الأخرى، يتم ترتيب الإحداثيات المقابلة أيضًا في متجهات عمودية. تتوافق المصفوفة العكسية للدفعة مع دفعة في الاتجاه المعاكس، ويتم إعطاؤها بواسطة B ( β ) ⁻¹ = B (− β ) .

في لحظة من الزمن المسجل في المختبر t المقاس في إطار المختبر، يكون تحويل إحداثيات الزمكان من إطار المختبر Σ إلى إطار الجسيم Σ ′ هو

${\displaystyle X'=B({\boldsymbol {\beta }})X}$

( 1 )

وفي وقت لاحق تم تسجيله في المختبر t + Δ t يمكننا تحديد إطار جديد Σ′′ للجسيم، والذي يتحرك بسرعة β + Δ β بالنسبة إلى Σ ، والدفعة المقابلة هي

${\displaystyle X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X}$

( 2 )

المتجهان β و Δ β عبارة عن متجهين منفصلين. والمتجه الأخير عبارة عن زيادة صغيرة، ويمكن تقسيمه بسهولة إلى مكونات متوازية (‖) وعمودية (⊥) على β ^{[nb 1]}

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }}$

يؤدي الجمع بين ( 1 ) و( 2 ) إلى الحصول على تحويل لورنتز بين Σ′ و Σ′′ ،

${\displaystyle X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})X'\,,}$

( 3 )

ويحتوي هذا التكوين على جميع المعلومات المطلوبة حول الحركة بين هذين الوقتين المختبريين. لاحظ أن B ( β + Δ β ) B (− β ) و B ( β + Δ β ) عبارة عن تحويلات لا نهائية في الصغر لأنها تنطوي على زيادة صغيرة في السرعة النسبية، بينما B (− β ) ليست كذلك.

إن تركيب الدفعتين يعادل دفعة واحدة مقترنة بدوران ويجنر حول محور عمودي على السرعات النسبية؛

${\displaystyle \Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )}$

( 4 )

يتم إعطاء الدوران بواسطة مصفوفة دوران 4 × 4 R في تمثيل المحور والزاوية ، ويتم اعتبار أنظمة الإحداثيات يمينية . تدور هذه المصفوفة متجهات ثلاثية الأبعاد عكس اتجاه عقارب الساعة حول محور ( تحويل نشط )، أو تدور إطارات الإحداثيات بشكل مكافئ في اتجاه عقارب الساعة حول نفس المحور (تحويل سلبي). يحدد متجه المحور والزاوية Δ θ الدوران، ومقداره Δ θ هو الزاوية التي دارت بها Σ′′ ، والاتجاه موازٍ لمحور الدوران، وفي هذه الحالة يكون المحور موازيًا للحاصل الاتجاهي (− β )×( β + Δ β ) = − β ×Δ β . إذا كانت الزوايا سالبة، فإن معنى الدوران يكون معكوسًا. تُعطى المصفوفة العكسية بواسطة R (Δ θ ) ⁻¹ = R (−Δ θ ) .

يتوافق مع الدفعة (التغير الصغير في) متجه الدفعة Δ b ، مع مقدار واتجاه السرعة النسبية للدفعة (مقسومًا على c ). الدفعة B (Δ b ) والدوران R (Δ θ ) هنا عبارة عن تحويلات لا نهائية في الصغر لأن Δ b والدوران Δ θ صغيران.

يؤدي الدوران إلى نشوء تقدم توماس، ولكن هناك دقة في ذلك. لتفسير إطار الجسيم كإطار بالقصور الذاتي يتحرك مع إطار المختبر، والموافقة على الحد غير النسبي، نتوقع أن يكون التحويل بين إطارات الجسيم اللحظية في الأوقات t و t + Δ t مرتبطًا بتعزيز بدون دوران. يؤدي الجمع بين ( 3 ) و ( 4 ) وإعادة الترتيب إلى

${\displaystyle B(\Delta \mathbf {b} )X'=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=X'''\,,}$

( 5 )

حيث يتم تقديم إطار لحظي آخر Σ′′′ بإحداثيات X “′ ، لمنع الدمج مع Σ′′ . لتلخيص إطارات المرجع: في إطار المختبر Σ، يقيس المراقب حركة الجسيم، وثلاثة إطارات بالقصور الذاتي اللحظية يكون فيها الجسيم في حالة سكون هي Σ′ (في الوقت t )، و Σ′′ (في الوقت t + Δ t )، و Σ′′′ (في الوقت t + Δ t ). الإطاران Σ′′ و Σ′′′ في نفس الموقع والوقت، ويختلفان فقط بالدوران. على النقيض من ذلك، يختلف Σ′ و Σ′′′ بمقدار التعزيز وفترة زمنية للمختبر Δ t .

ربط إحداثيات X "′ بإحداثيات المختبر X عبر ( 5 ) و ( 2 )؛

${\displaystyle X'''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X\,,}$

( 6 )

يتم تدوير الإطار Σ′′′ بالمعنى السلبي.

تدور الحركة بين لحظتين من زمن المختبر. وبما أن Δ t → 0 ، فإن إطار الجسيم يدور في كل لحظة، والحركة المستمرة للجسيم تعادل دورانًا مستمرًا بسرعة زاوية في كل لحظة. بقسمة −Δ θ على Δ t ، وأخذ الحد Δ t → 0 ، فإن السرعة الزاوية هي حسب التعريف

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{T}=-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}}$

( 7 )

يبقى أن نجد ما هو Δ θ على وجه التحديد.

يمكن الحصول على التركيبة عن طريق حساب حاصل ضرب المصفوفة صراحةً. ستتطلب مصفوفة التعزيز لـ β + Δ β مقدار وعامل لورنتز لهذا المتجه. نظرًا لأن Δ β صغير، فإن حدود "الدرجة الثانية" | Δ β | ² ، (Δ β _x ) ² ، (Δ β _y ) ² ، Δ β _x Δ β _y وأعلى تكون مهملة. بالاستفادة من هذه الحقيقة، فإن مقدار المتجه مربعًا هو

${\displaystyle |{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}}$

وتوسيع عامل لورنتز لـ β + Δ β كسلسلة قوى يعطي إلى الدرجة الأولى في Δ β ،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}}$

باستخدام عامل لورنتز γ لـ β كما هو موضح أعلاه.

مقدمة عن مولدات التعزيز

${\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

ومولدات الدوران

${\displaystyle J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

جنبًا إلى جنب مع حاصل الضرب النقطي · يسهل التعبير المستقل عن الإحداثيات

${\displaystyle \Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K} }$

الذي ينطبق إذا كان β و Δ β يقعان في أي مستوى. هذا تحويل لورنتز لانهائي في الصغر في شكل دفعة ودوران مشتركين ^{[nb 2]}

${\displaystyle \Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} }$

أين

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })}$

بعد قسمة Δ θ على Δ t وأخذ الحد كما في ( 7 )، نحصل على السرعة الزاوية اللحظية

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

حيث أن a هو تسارع الجسيم كما هو ملاحظ في إطار المختبر. لم يتم تحديد أو استخدام أي قوى في الاشتقاق، لذا فإن التقدم هو تأثير حركي - ينشأ من الجوانب الهندسية للحركة. ومع ذلك، فإن القوى تسبب التسارع، لذا يتم ملاحظة تقدم توماس إذا كان الجسيم خاضعًا للقوى.

يمكن أيضًا اشتقاق تقدم توماس باستخدام معادلة نقل فيرمي ووكر . ^[10] نفترض وجود حركة دائرية منتظمة في فضاء مينكوفسكي المسطح. متجه الدوران 4 متعامد مع متجه السرعة 4. يحافظ نقل فيرمي ووكر على هذه العلاقة. نجد أن حاصل الضرب النقطي لمتجه التسارع 4 مع متجه الدوران 4 يتغير جيبيًا مع الوقت بتردد زاوي γω، حيث ω هو التردد الزاوي للحركة الدائرية وγ=1/√(1-v^2/c^2)، عامل لورنتز . يمكن إظهار ذلك بسهولة عن طريق أخذ المشتق الزمني الثاني لهذا الحاصل النقطي. ولأن هذا التردد الزاوي يتجاوز ω، فإن تقدم الدوران في الاتجاه التراجعي. الفرق (γ-1)ω هو التردد الزاوي لتقدم توماس المعطى بالفعل، كما هو موضح ببساطة من خلال إدراك أن مقدار التسارع الثلاثي هو ω v.

في ميكانيكا الكم، تعد حركة توماس بمثابة تصحيح للتفاعل بين الدوران والمدار ، والذي يأخذ في الاعتبار التمدد الزمني النسبي بين الإلكترون والنواة في الذرات الهيدروجينية .

تنص هذه النظرية بشكل أساسي على أن الأجسام الدوارة تتحرك بشكل دوراني عندما تتسارع في النسبية الخاصة لأن دفعات لورنتز لا تتبادل الحركة مع بعضها البعض.

لحساب دوران الجسيم في المجال المغناطيسي ، يجب علينا أيضًا أن نأخذ في الاعتبار تقدم لارمور .

يمكن التعامل مع دوران المستوى المتأرجح لبندول فوكو كنتيجة للنقل الموازي للبندول في كرة ثنائية الأبعاد من الفضاء الإقليدي. يمثل الفضاء الزائدي للسرعات في فضاء مينكوفسكي كرة ثلاثية الأبعاد (شبه زائفة) بنصف قطر وهمي وإحداثيات زمنية وهمية. يؤدي النقل الموازي لجسيم دوار في فضاء السرعة النسبية إلى تقدم توماس، وهو مشابه لدوران المستوى المتأرجح لبندول فوكو. ^[11] يتم تحديد زاوية الدوران في كلتا الحالتين من خلال التكامل المكاني للانحناء بما يتفق مع نظرية جاوس-بونيه .

يعطي تقدم توماس تصحيحًا لتقدم بندول فوكو. بالنسبة لبندول فوكو الموجود في مدينة نيميخين في هولندا، يكون التصحيح على النحو التالي:

${\displaystyle \omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .}$

لاحظ أنها أصغر بمقدار مرتبتين من حيث الحجم من التقدم بسبب التصحيح النسبي العام الناشئ عن سحب الإطار ، وهو التقدم لينس-ثيرينغ .

• صيغة جمع السرعة
• الزخم الزاوي النسبي
• هولونومي

• توماس إل إتش حركية الإلكترون مع محور، مجلة فيلسوف، 7، 1927، 1-23
• بن مناحيم، أ. (1985). "إعادة النظر في دوران ويجنر". المجلة الأمريكية للفيزياء . 53 (1): 62-66. رمز Bibcode :1985AmJPh..53...62B. doi :10.1119/1.13953.
• بن مناحيم، س. (1986). "حركة توماس التقدمية وانحناء فضاء السرعة". مجلة الرياضيات والفيزياء . 27 (5): 1284-1286. رمز المرجع : 1986JMP....27.1284B. doi : 10.1063/1.527132.
• كوشينج، جيه تي (1967). "تحويلات لورنتز المتجهة". المجلة الأمريكية للفيزياء 35 ( 9): 858-862. رمز Bibcode :1967AmJPh..35..858C. doi :10.1119/1.1974267.
• أينشتاين، أ. (1922)، "أضواء جانبية على النسبية"، نيتشر ، 112 (2809)، لندن: ميثيون: 319، رمز Bibcode :1923Natur.112..319.، doi :10.1038/112319a0، S2CID  4094626؛ (كتاب إلكتروني لمشروع جوتنبرج){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• إدينجتون، أ. س. (1924). النظرية النسبية الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج ؛ (مقدمة){{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• كرومر، هـ. (يناير 2004). "عامل تقدم توماس في التفاعل بين الدوران والمدار" (PDF) . المجلة الأمريكية للفيزياء . 72 (1): 51-52. arXiv : physics/0310016 . رمز Bibcode :2004AmJPh..72...51K. doi :10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• كريفوروتشينكو، مي (2009). "دوران المستوى المتأرجح لبندول فوكو وحركة دوران توماس: وجهان لعملة واحدة". فيز. يوسب . 52 (8): 821-829. أركسيف : 0805.1136 . رمز البيبكود : 2009PhyU...52..821K. دوي : 10.3367/UFNe.0179.200908e.0873. معرف S2CID  : 118449576.
• ماليكين، جي بي (2006). "حركة توماس: الحلول الصحيحة والخاطئة". فيز. يوسب . 49 (8): 83 صفحة. رمز المرجع : 2006PhyU...49..837M. doi : 10.1070/PU2006v049n08ABEH005870. S2CID  119974630.
• موكانو، سي آي (1992). "حول مفارقة تركيب السرعة النسبية ودوران توماس". تم العثور عليه. Phys. Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode :1992FoPhL...5..443M. doi :10.1007/BF00690425. ISSN  0894-9875. S2CID  122472788.
• ريبيلاس، ك. (2013). "تعليق على التحليل الأولي للتركيبة النسبية الخاصة للسرعات ودوران ويجنر ومبادرة توماس". المجلة الأوروبية للفيزياء 34 ( 3): L55–L61. رمز المرجع : 2013EJPh...34L..55R. doi : 10.1088/0143-0807/34/3/L55. S2CID  122527454.(الدخول مجاني)
• رودس، جيه إيه؛ سيمون، إم دي (2005). "مساحة السرعة النسبية ودوران ويجنر ومبادرة توماس". المجلة الأمريكية للفيزياء . 72 (7): 943-960. arXiv : gr-qc/0501070 . رمز المكتبة : 2005APS..NES..R001S. doi : 10.1119/1.1652040. S2CID  14764378.
• سيلبرشتاين، ل. (1914). نظرية النسبية. لندن: دار ماكميلان للنشر .
• توماس، إل إتش (1926). "حركة الإلكترون الدوار". نيتشر . 117 (2945): 514. رمز Bibcode :1926Natur.117..514T. doi : 10.1038/117514a0 . S2CID  4084303.
• أونجار، أ. أ. (1988). "دوران توماس ومعاملات مجموعة لورنتز". أساسيات رسائل الفيزياء . 1 (1): 57-81. رمز Bibcode :1988FoPhL...1...57U. doi :10.1007/BF00661317. ISSN  0894-9875. S2CID  121240925.
• وينبرج، س. (2002)، نظرية الكم للحقول، المجلد 1، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, EP (1939)، "حول التمثيلات الوحدوية لمجموعة لورنتز غير المتجانسة"، حوليات الرياضيات ، 40 (1): 149–204، Bibcode :1939AnMat..40..149W، doi :10.2307/1968551، JSTOR  1968551، MR  1503456، S2CID  121773411.

• جولدشتاين، هـ. (1980) [1950]. "الفصل 7". الميكانيكا الكلاسيكية (الطبعة الثانية). Reading MA: Addison-Wesley . ISBN 978-0-201-02918-5.
• جاكسون، جيه دي (1999) [1962]. "الفصل 11". الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده . رقم ISBN 978-0-471-30932-1.
• جاكسون، جيه دي (1975) [1962]. "الفصل 11". الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده . ص 542-545. رقم ISBN 978-0-471-43132-9.
• لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (2002) [1939]. النظرية الكلاسيكية للحقول . دورة الفيزياء النظرية. المجلد 2 (الطبعة الرابعة). باتروورث-هاينمان . ص 38. رقم ISBN 0-7506-2768-9.
• ريندلر، دبليو. (2006) [2001]. "الفصل 9". النسبية الخاصة والعامة والكونية (الطبعة الثانية). دالاس: مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-856732-5.
• رايدر، إل إتش (1996) [1985]. نظرية المجال الكمومي (الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0521478144.
• سارد، ر. د. (1970). الميكانيكا النسبية - النسبية الخاصة وديناميكيات الجسيمات الكلاسيكية . نيويورك: دبليو إيه بنجامين. رقم ISBN 978-0805384918.
• Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. النسبية، مجموعات الجسيمات. النسبية الخاصة والتناظر النسبي في فيزياء المجال والجسيمات. سبرينغر. ص. 38-43. ISBN 978-3211834435.

• مقالة Mathpages عن توماس بريشيون
• اشتقاق بديل ومفصل لحركة توماس (بقلم روبرت ليتلجون)
• اشتقاق مختصر لمسار توماس