البرمجة الكسرية

الوظيفة${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}$تكون شبه مقعرة شبه تمامًا على S. إذا كانت f و g قابلتين للتفاضل، فإن q تكون شبه مقعرة . في برنامج كسري خطي، تكون دالة الهدف شبه خطية .

عن طريق التحول${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$، يمكن تحويل أي برنامج كسري مقعر إلى البرنامج المقعر المكافئ الخالي من المعلمات ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

إذا كانت الدالة g خطية، فإن القيد الأول يتغير إلى${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}$ويمكن حذف افتراض أن g موجبة. كما أنها تتبسط إلى${\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}$.

البرنامج المزدوج اللاغرانجي للبرنامج المقعر المكافئ هو

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}$