الدالة المولدة (الفيزياء)

في الفيزياء، وتحديدًا في ميكانيكا هاميلتون ، تُعرَّف الدالة المولدة ، بشكل عام، بأنها دالة تُولِّد مشتقاتها الجزئية المعادلات التفاضلية التي تُحدِّد ديناميكيات النظام. ومن الأمثلة الشائعة دالة التوزيع في الميكانيكا الإحصائية ، والهاميلتوني، والدالة التي تعمل كحلقة وصل بين مجموعتين من المتغيرات الأساسية عند إجراء تحويل أساسي .

توجد أربع دوال توليد أساسية، ملخصة في الجدول التالي: ^{[ 1 ]}

دالة توليد	ومشتقاتها
${\displaystyle F=F_{1}(q,Q,t)}$	${\displaystyle p=~~{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}}\,\!}$و${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{2}(q,P,t)\\&=F_{1}+QP\end{aligned}}}$	${\displaystyle p=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}}\,\!}$و${\displaystyle Q=~~{\frac {\partial F_{2}}{\partial P}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{3}(p,Q,t)\\&=F_{1}-qp\end{aligned}}}$	${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}\,\!}$و${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F_{4}(p,P,t)\\&=F_{1}-qp+QP\end{aligned}}}$	${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}}\,\!}$و${\displaystyle Q=~~{\frac {\partial F_{4}}{\partial P}}\,\!}$

أحيانًا يمكن تحويل دالة هاميلتونية معينة إلى دالة تشبه دالة هاميلتونية المذبذب التوافقي ، وهي

$${\displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}.}$$

على سبيل المثال، مع الهاميلتوني

$${\displaystyle H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},}$$

حيث p هو الزخم المعمم و q هو الإحداثي المعمم ، فإن التحويل الكنسي الجيد الذي يمكن اختياره هو

$${\displaystyle P=pq^{2}{\text{ و }}Q={\frac {-1}{q}}.}$$

1

هذا يحول الهاميلتوني إلى

$${\displaystyle H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},}$$

وهو على شكل هاميلتوني المذبذب التوافقي.

الدالة المولدة F لهذا التحويل هي من النوع الثالث،

$${\displaystyle F=F_{3}(p,Q).}$$

لإيجاد قيمة F بشكل صريح، استخدم معادلة مشتقتها من الجدول أعلاه.

$${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$$

واستبدل التعبير الخاص بـ P من المعادلة ( 1 )، معبراً عنه بدلالة p و Q :

$${\displaystyle {\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}}$$

بإجراء التكامل بالنسبة إلى Q، نحصل على معادلة للدالة المولدة للتحويل المعطاة بالمعادلة ( 1 ):

للتأكد من أن هذه هي الدالة المولدة الصحيحة، تحقق من أنها تطابق ( 1 ):

$${\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}}$$

• معادلة هاميلتون-جاكوبي
• قوس بواسون