نظرية غودستين

في المنطق الرياضي ، تُعدّ نظرية غودشتاين عبارةً عن الأعداد الطبيعية ، أثبتها روبن غودشتاين عام 1944، وتنص على أن كل متتالية غودشتاين (كما هو مُعرّف أدناه) تنتهي في النهاية عند الصفر. وقد بيّن لورانس كيربي وجيف باريس ^{[ 1 ]} عام 1982 أن نظرية غودشتاين غير قابلة للإثبات في حساب بيانو (لكن يمكن إثباتها في أنظمة أقوى، مثل حساب الرتبة الثانية أو نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ). كان هذا المثال الثالث لعبارة صحيحة عن الأعداد الطبيعية غير قابلة للإثبات في حساب بيانو، بعد الأمثلة التي قدمتها نظرية عدم الاكتمال لغودل والإثبات المباشر _الذي قدمه غيرهارد جنتزن عام 1943 لعدم إمكانية إثبات الاستقراء الرياضي ε₀ في حساب بيانو. وقدّمت نظرية باريس-هارينغتون مثالًا آخر.

قدّم كيربي وباريس أيضًا لعبة هيدرا بيانية ذات سلوك مشابه لتسلسلات غودستين: "الهيدرا" (المسماة على اسم هيدرا ليرنا الأسطورية متعددة الرؤوس ) هي شجرة متجذرة ، وتتمثل حركة " هرقل " في قطع أحد "رؤوسها" (فرع من الشجرة)، فتستجيب الهيدرا بنمو عدد محدود من الرؤوس الجديدة وفقًا لقواعد معينة. أثبت كيربي وباريس أن الهيدرا ستُقتل في النهاية، بغض النظر عن الاستراتيجية التي يستخدمها هرقل لقطع رؤوسها، على الرغم من أن هذا قد يستغرق وقتًا طويلاً جدًا. وكما هو الحال مع تسلسلات غودستين، أظهر كيربي وباريس أنه لا يمكن إثبات ذلك باستخدام حساب بيانو وحده. ^{[ 1 ]}

تُعرَّف متتابعات غودستين باستخدام مفهوم يُسمى "التدوين الوراثي ذي الأساس n ". يشبه هذا التدوين إلى حد كبير التدوين الموضعي المعتاد ذي الأساس n للأعداد الطبيعية، لكن التدوين المعتاد لا يكفي لأغراض نظرية غودستين.

لتحقيق التدوين العادي ذي الأساس n ، حيث n هو عدد طبيعي أكبر من 1، يُكتب أي عدد طبيعي m على شكل مجموع مضاعفات قوى n :

${\displaystyle m=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0},}$

حيث يحقق كل معامل a _i الشرط 0 ≤ a _i < n ، و a _k ≠ 0 .

على سبيل المثال، تدوين العدد 100 بالأساس 3 :

${\displaystyle 100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.}$

هنا، لا يتم كتابة أسس n نفسها في تدوين الأساس n ، كما هو موضح في الحالة 3 ⁴ أعلاه.

لتحويل ترميز الأساس n إلى ترميز الأساس n _{الوراثي} ، أعد كتابة جميع الأسس أولاً كمجموع قوى n (مع مراعاة أن المعاملات 0 ≤ aᵢ < n ). ثم أعد كتابة أي أس داخل الأسس مرة أخرى باستخدام ترميز الأساس n (مع مراعاة نفس القيود على المعاملات)، واستمر بهذه الطريقة حتى يتم كتابة كل عدد يظهر في التعبير (باستثناء الأساسات نفسها) باستخدام ترميز الأساس n .

على سبيل المثال، العدد 100 في نظام الترميز الوراثي ذي الأساس 3 هو

${\displaystyle 100=3^{3^{1}+1}+2\cdot 3^{2}+1.}$

سلسلة غودشتاين${\displaystyle G_{m}}$يمثل العدد m متتالية من الأعداد الطبيعية. العنصر الأول في المتتالية، ويكتب على النحو التالي:${\displaystyle G_{m}(1)}$، هو m نفسه. العنصر الثاني،${\displaystyle G_{m}(2)}$يتم الحصول على m بكتابة m بالصيغة الوراثية ذات الأساس 2، وتغيير جميع الأرقام 2 إلى 3، ثم طرح 1 من النتيجة. بشكل عام، المصطلح${\displaystyle G_{m}(n+1)}$يتم حساب متتالية غودستين لـ m بواسطة:

• بأخذ التمثيل الوراثي الأساسي ( ن + 1 ) لـ${\displaystyle G_{m}(n)}$،
• باستبدال كل ظهور للأساس ( ن + ١ ) بـ ن + ٢ ، ثم
• بطرح واحد.

${\displaystyle G_{m}(n+1)}$يعتمد الأمر على كليهما${\displaystyle G_{m}(n)}$وعلى المؤشر ن . أحيانًا${\displaystyle G_{m}(n)}$تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle G_{n-1}(m)}$[ ^{2 ]​}

تنتهي متتالية غودستين عندما يصل أحد عناصرها إلى الصفر. وتنتهي متتاليات غودستين المبكرة بسرعة. على سبيل المثال،${\displaystyle G_{3}}$تنتهي العملية عند الخطوة السادسة (يوضح العمود المسمى "التدوين الوراثي" كيفية حساب القيمة):

قاعدة	التدوين الوراثي	قيمة	حساب
2	${\displaystyle 2^{1}+1}$	3
3	${\displaystyle 3^{1}+1-1=3^{1}}$	3	يتم الحصول عليها عن طريق كتابة العنصر الأخير (3) في تدوين الأساس 2 الوراثي، واستبدال جميع الأرقام 2 بالأرقام 3، ثم طرح 1.
4	${\displaystyle 4^{1}-1=3}$	3	يتم الحصول عليها عن طريق كتابة العنصر الأخير (3) في تدوين الأساس 3 الوراثي، واستبدال جميع الأرقام 3 بالأرقام 4، ثم طرح 1.
5	${\displaystyle 3-1=2}$	2	تم الحصول عليها عن طريق طرح العنصر الأخير (3) بمقدار 1، حيث لا يوجد 4s لاستبدالها.
6	${\displaystyle 2-1=1}$	1	تم الحصول عليها عن طريق طرح العنصر الأخير (2) بمقدار 1، حيث لا توجد أرقام 5 لاستبدالها.
7	${\displaystyle 1-1=0}$	0	تم الحصول عليها عن طريق طرح العنصر الأخير (1) من 1، حيث لا يوجد 6s لاستبدالها.

تتزايد متواليات غودستين اللاحقة لعدد كبير جدًا من الخطوات. على سبيل المثال،${\displaystyle G_{4}}$يبدأ على النحو التالي ( OEIS : A056193  ):

قاعدة	التدوين الوراثي	قيمة
2	${\displaystyle 2^{2^{1}}}$	4
3	${\displaystyle 3^{3^{1}}-1=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{1}+2}$	26
4	${\displaystyle 2\cdot 4^{2}+2\cdot 4^{1}+1}$	41
5	${\displaystyle 2\cdot 5^{2}+2\cdot 5^{1}}$	60
6	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}+2\cdot 6-1=2\cdot 6^{2}+6^{1}+5}$	83
7	${\displaystyle 2\cdot 7^{2}+7^{1}+4}$	109
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
11	${\displaystyle 2\cdot 11^{2}+11^{1}}$	253
12	${\displaystyle 2\cdot 12^{2}+12^{1}-1=2\cdot 12^{2}+11}$	299
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
24	${\displaystyle 2\cdot 24^{2}-1=24^{2}+23\cdot 24^{1}+23}$	1151
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle B=3\cdot 2^{402\,653\,209}-1}$	${\displaystyle 2\cdot B^{1}}$	${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-2}$
${\displaystyle B=3\cdot 2^{402\,653\,209}}$	${\displaystyle 2\cdot B^{1}-1=B^{1}+(B-1)}$	${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

عناصر${\displaystyle G_{4}}$ستستمر في الارتفاع لفترة من الوقت، ولكن في الأساس${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}$، يصلون إلى الحد الأقصى من${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1}$ابقَ هناك حتى الموعد التالي${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}}$خطوات، ثم تبدأ بالانخفاض بمقدار 1، لتصل إلى 0 عندما تصل القاعدة${\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1.}$الأس هنا يساوي${\displaystyle 3\cdot 2^{27}+27,}$^{[ 3 ]} إذن الأساس يساوي${\displaystyle n\cdot 2^{n}-1,}$رقم وودال مع${\displaystyle n=3\cdot 2^{27}.}$

على سبيل المثال،${\displaystyle G_{19}}$يزداد بشكل أسرع بكثير ويبدأ على النحو التالي:

التدوين الوراثي	قيمة
${\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{1}+1}$	19
${\displaystyle 3^{3^{3}}+3^{1}}$	7 625 597 484 990
${\displaystyle 4^{4^{4}}+3}$	${\displaystyle \approx 1.3\times 10^{154}}$
${\displaystyle 5^{5^{5}}+2}$	${\displaystyle \approx 1.8\times 10^{2\,184}}$
${\displaystyle 6^{6^{6}}+1}$	${\displaystyle \approx 2.6\times 10^{36\,305}}$
${\displaystyle 7^{7^{7}}}$	${\displaystyle \approx 3.8\times 10^{695\,974}}$
${\displaystyle 8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7}}$${\displaystyle {}+7\cdot 8^{7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+6}+\cdots }$${\displaystyle {}+7\cdot 8^{8+2}+7\cdot 8^{8+1}+7\cdot 8^{8}}$${\displaystyle {}+7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}}$${\displaystyle {}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8^{1}+7}$	${\displaystyle \approx 6.0\times 10^{15\,151\,335}}$
${\displaystyle 7\cdot 9^{7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+7}}$${\displaystyle {}+7\cdot 9^{7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6}+\cdots }$${\displaystyle {}+7\cdot 9^{9+2}+7\cdot 9^{9+1}+7\cdot 9^{9}}$${\displaystyle {}+7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}}$${\displaystyle {}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9^{1}+6}$	${\displaystyle \approx 5.6\times 10^{35\,942\,384}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$

على الرغم من هذا النمو السريع، تنص نظرية جودشتاين على أن كل متتالية جودشتاين تنتهي في النهاية عند 0، بغض النظر عن القيمة الابتدائية.

يمكن إثبات نظرية غودستين (باستخدام تقنيات خارج حساب بيانو، انظر أدناه) على النحو التالي: بالنظر إلى متتالية غودستين${\displaystyle G_{m}}$، نقوم بإنشاء تسلسل متوازٍ${\displaystyle P_{m}}$من الأعداد الترتيبية في الصيغة الطبيعية لكانتور، وهي متناقصة تمامًا وتنتهي. من المفاهيم الخاطئة الشائعة لهذا البرهان الاعتقاد بأن${\displaystyle G_{m}}$يذهب إلى${\displaystyle 0}$لأنها تهيمن عليها${\displaystyle P_{m}}$في الواقع، حقيقة أن${\displaystyle P_{m}}$يهيمن${\displaystyle G_{m}}$لا يلعب أي دور على الإطلاق. النقطة المهمة هي:${\displaystyle G_{m}(k)}$يوجد إذا وفقط إذا${\displaystyle P_{m}(k)}$يوجد (التوازي)، والمقارنة بين عضوين من${\displaystyle G_{m}}$يتم الحفاظ على ذلك عند مقارنة المدخلات المتناظرة لـ${\displaystyle P_{m}}$[ ^{4 ] ثم} إذا${\displaystyle P_{m}}$ينتهي، وكذلك${\displaystyle G_{m}}$بالتسلسل اللانهائي ،${\displaystyle G_{m}}$يجب الوصول${\displaystyle 0}$، مما يضمن الإنهاء.

نُعرّف دالة${\displaystyle f=f(u,k)}$التي تحسب الأساس الوراثي${\displaystyle k}$تمثيل لـ${\displaystyle u}$ثم يستبدل كل ظهور للأساس${\displaystyle k}$مع أول عدد ترتيبي لانهائي${\displaystyle \omega }$. على سبيل المثال،${\displaystyle f(100,3)=f(3^{3^{1}+1}+2\cdot 3^{2}+1,3)=\omega ^{\omega ^{1}+1}+\omega ^{2}\cdot 2+1=\omega ^{\omega +1}+\omega ^{2}\cdot 2+1}$.

كل فصل دراسي${\displaystyle P_{m}(n)}$من التسلسل${\displaystyle P_{m}}$ثم يُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle f(G_{m}(n),n+1)}$. على سبيل المثال،${\displaystyle G_{3}(1)=3=2^{1}+2^{0}}$و${\displaystyle P_{3}(1)=f(2^{1}+2^{0},2)=\omega ^{1}+\omega ^{0}=\omega +1}$عمليات الجمع والضرب والرفع إلى الأسس للأعداد الترتيبية محددة بشكل جيد.

ندعي أن${\displaystyle f(G_{m}(n),n+1)>f(G_{m}(n+1),n+2)}$:

يترك${\displaystyle G'_{m}(n)}$يكون${\displaystyle G_{m}(n)}$بعد تطبيق عملية تغيير الأساس الأولى في توليد العنصر التالي من متتالية غودستين، ولكن قبل عملية الطرح الثانية (-1) في هذا التوليد. لاحظ أن${\displaystyle G_{m}(n+1)=G'_{m}(n)-1}$.

ثم${\displaystyle f(G_{m}(n),n+1)=f(G'_{m}(n),n+2)}$^{[ ملاحظة 1 ]} الآن نطبق عملية الطرح 1 ، و${\displaystyle f(G'_{m}(n),n+2)>f(G_{m}(n+1),n+2)}$، مثل${\displaystyle G'_{m}(n)=G_{m}(n+1)+1}$[ ^{ملاحظة 2 ]}

على سبيل المثال،${\displaystyle G_{4}(1)=2^{2}}$و${\displaystyle G_{4}(2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2}$، لذا${\displaystyle f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }}$و${\displaystyle f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=\omega ^{2}\cdot 2+\omega \cdot 2+2}$وهو أصغر بكثير. لاحظ أنه من أجل حساب${\displaystyle f(G_{m}(n),n+1)}$، نحتاج أولاً إلى الكتابة ${\displaystyle G_{m}(n)}$على أساس وراثي${\displaystyle n+1}$الترميز، على سبيل المثال التعبير${\displaystyle \omega ^{\omega }-1}$ليس عددًا ترتيبيًا.

وبالتالي التسلسل${\displaystyle P_{m}}$هي متناقصة تمامًا. بما أن الترتيب القياسي < على الأعداد الترتيبية له أساس متين ، فلا يمكن أن توجد متتالية متناقصة تمامًا لانهائية، أو بصورة مكافئة، فإن كل متتالية متناقصة تمامًا من الأعداد الترتيبية تنتهي (ولا يمكن أن تكون لانهائية). لكن${\displaystyle P_{m}(n)}$يتم حسابها مباشرة من${\displaystyle G_{m}(n)}$ومن ثم التسلسل${\displaystyle G_{m}}$يجب أن تنتهي أيضًا، مما يعني أنه يجب أن تصل${\displaystyle 0}$.

بينما يُعدّ برهان نظرية غودشتاين سهلاً نسبياً، فإنّ نظرية كيربي-باريس ^{[ 1 ]} ، التي تُبيّن أنّ نظرية غودشتاين ليست نظريةً في حساب بيانو، تُعتبر تقنيةً وأكثر صعوبةً بكثير. وهي تستخدم نماذج غير قياسية قابلة للعدّ في حساب بيانو.

دالة غودستين ،${\displaystyle {\mathcal {G}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$، يتم تعريفها بحيث${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}$يمثل طول متتالية غودستين التي تبدأ بالعدد n . (وهي دالة كلية لأن كل متتالية غودستين تنتهي). معدل النمو المرتفع للغاية لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يمكن معايرتها من خلال ربطها بتسلسلات هرمية قياسية مختلفة للوظائف المفهرسة ترتيبيًا، مثل الوظائف${\displaystyle H_{\alpha }}$في التسلسل الهرمي لهاردي ، والوظائف${\displaystyle f_{\alpha }}$في التسلسل الهرمي سريع النمو للوب وواينر:

• أثبت كيربي وباريس (1982) أن

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$له معدل نمو مماثل تقريبًا لـ${\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}$(وهو نفس ما ينطبق على${\displaystyle f_{\epsilon _{0}}}$)؛ وبشكل أدق،${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يهيمن${\displaystyle H_{\alpha }}$لكل${\displaystyle \alpha <\epsilon _{0}}$، و${\displaystyle H_{\epsilon _{0}}}$يهيمن${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\!.}$

(لأي دالتين)${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$،${\displaystyle f}$يقال إنه يهيمن${\displaystyle g}$لو${\displaystyle f(n)>g(n)}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle n}$.)

• أظهر سيتشون (1983) أن

${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=H_{R_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,}$

أين${\displaystyle R_{2}^{\omega }(n)}$وهي نتيجة وضع n في تدوين الأساس 2 الوراثي ثم استبدال جميع 2 بـ ω (كما تم في إثبات نظرية جودستين).

• أظهر كايسيدو (2007) أنه إذا${\displaystyle n=2^{m_{1}}+2^{m_{2}}+\cdots +2^{m_{k}}}$مع${\displaystyle m_{1}>m_{2}>\cdots >m_{k},}$ثم

${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=f_{R_{2}^{\omega }(m_{1})}(f_{R_{2}^{\omega }(m_{2})}(\cdots (f_{R_{2}^{\omega }(m_{k})}(3))\cdots ))-2}$.

بعض الأمثلة:

ن			${\displaystyle {\mathcal {G}}(n)}$
1	${\displaystyle 2^{0}}$	${\displaystyle 2-1}$	${\displaystyle H_{\omega }(1)-1}$	${\displaystyle f_{0}(3)-2}$	2
2	${\displaystyle 2^{1}}$	${\displaystyle 2^{1}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega +1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{1}(3)-2}$	4
3	${\displaystyle 2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }}(1)-1}$	${\displaystyle f_{1}(f_{0}(3))-2}$	6
4	${\displaystyle 2^{2}}$	${\displaystyle 2^{2}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(3)-2}$	3.2 402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10 121210694
5	${\displaystyle 2^{2}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2}+2-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega }(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{0}(3))-2}$	> A (4,4) > 10 10 10 19727
6	${\displaystyle 2^{2}+2^{1}}$	${\displaystyle 2^{2}+2+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega }+\omega +1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(3))-2}$	> أ (6،6)
7	${\displaystyle 2^{2}+2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2+1}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega }(f_{1}(f_{0}(3)))-2}$	> أ (8،8)
8	${\displaystyle 2^{2+1}}$	${\displaystyle 2^{2+1}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(3)-2}$	> A 3 (3,3) = A ( A (61, 61), A (61, 61))
${\displaystyle \vdots }$
12	${\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}}$	${\displaystyle 2^{2+1}+2^{2}+1-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }+1}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega +1}(f_{\omega }(3))-2}$	> f ω+1 (64) > عدد غراهام
${\displaystyle \vdots }$
19	${\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{1}+2^{0}}$	${\displaystyle 2^{2^{2}}+2^{2}-1}$	${\displaystyle H_{\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }}(1)-1}$	${\displaystyle f_{\omega ^{\omega }}(f_{1}(f_{0}(3)))-2}$

(للاطلاع على دالة أكرمان وحدود عدد غراهام ، انظر التسلسل الهرمي سريع النمو §  الدوال في التسلسلات الهرمية سريعة النمو .)

يمكن استخدام نظرية غودستين لإنشاء دالة قابلة للحساب كليًا ، والتي لا يمكن إثبات كليتها باستخدام حساب بيانو. يمكن تعداد متتالية غودستين لأي عدد بكفاءة باستخدام آلة تورينغ ؛ وبالتالي، فإن الدالة التي تربط n بعدد الخطوات اللازمة لإنهاء متتالية غودستين n قابلة للحساب بواسطة آلة تورينغ معينة. تقوم هذه الآلة ببساطة بتعداد متتالية غودستين n ، وعندما تصل المتتالية إلى 0، تُعيد طولها. ولأن كل متتالية غودستين تنتهي في النهاية، فإن هذه الدالة كلية. ولكن لأن حساب بيانو لا يُثبت أن كل متتالية غودستين تنتهي، فإنه لا يُثبت أن آلة تورينغ هذه تحسب دالة كلية.

• نموذج غير قياسي للحساب
• التسلسل الهرمي سريع النمو
• نظرية باريس-هارينغتون
• نظرية كاناموري-ماكالون
• نظرية كروسكال الشجرية
• لغز حرق الحبل

• كيربي، ل.؛ باريس، ج. (1982). "نتائج الاستقلال المتاحة لحسابات بيانو" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية بلندن . 14 (4): 285. CiteSeerX 10.1.1.107.3303 . doi : 10.1112/blms/14.4.285 . 
• راثجين، مايكل (2014). “إعادة النظر في جودستين”. أرخايف : 1405.4484 [ math.LO ].
• جودستين، ر. (1944). " حول نظرية الترتيب المقيد". مجلة المنطق الرمزي . 9 (2): 33-41 . doi : 10.2307/2268019 . JSTOR 2268019. S2CID 235597 .  
• سيشون، إي. (1983). "برهان مختصر لنتيجتين حديثتين حول الاستقلال باستخدام أساليب نظرية تكرارية" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 87 (4): 704-706 . doi : 10.2307/2043364 . JSTOR 2043364 . 
• كايسيدو، أ. (2007). “وظيفة جودشتاين” (PDF) . Revista كولومبيانا دي Matemáticas . 41 (2): 381 – 391.

• وايسستين، إريك دبليو. “تسلسل جودشتاين” . عالم الرياضيات .
• بعض عناصر برهان أن نظرية غودستين ليست نظرية في PA، من أطروحة جامعية لجاستن تي ميلر
• تصنيف النماذج غير القياسية لحساب بيانو باستخدام نظرية جودشتاين - أطروحة دان كابلان، مكتبة كلية فرانكلان ومارشال
• تعريف متواليات غودشتاين في لغة هاسكل وحساب لامدا
• متواليات غودستين: قوة الالتفاف عبر اللانهاية - عرض جيد مع رسوم توضيحية لمتواليات غودستين ولعبة الهيدرا.
• آلة حاسبة جودستين ( مؤرشفة بتاريخ 4 فبراير 2017) على موقع Wayback Machine