وظيفة Griewank

دالة اختبار غريوانك هي دالة رياضية متعددة الأبعاد سلسة تُستخدم في التحسين غير المقيد. وهي شائعة الاستخدام لتقييم أداء خوارزميات التحسين الشامل . تُعرَّف الدالة ^{[ 1 ]} على النحو التالي:

${\displaystyle f(x)=1+{\tfrac {1}{4000}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\prod _{i=1}^{n}P_{i}(x_{i}){\text{ حيث }}P_{i}(x_{i})=\cos \left({\tfrac {x_{i}}{\sqrt {i}}}\right)}$

أين${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$هو متجه من المتغيرات ذات القيم الحقيقية. تتميز الدالة غير الخطية وغير المحدبة ببنيتها متعددة الأنماط الفريدة، والتي تتضمن العديد من القيم الصغرى والعظمى المحلية حول قيمتها الصغرى العالمية الوحيدة عند${\displaystyle x^{\ast }=0}$، حيث تكون للدالة قيمة دنيا ${\displaystyle f(x^{\ast })=0}$يزداد عدد النقاط الثابتة مع زيادة الأبعاد${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ينمو.

على سبيل المثال، دالة غريوانك أحادية البعد${\displaystyle f(x_{1}):=1+(1/4000)\cdot x_{1}^{2}-\cos(x_{1})}$ تحتوي الدالة على 6365 نقطة حرجة في الفترة [−10000,10000]، حيث تنعدم المشتقة الأولى. تحقق هذه النقاط المعادلة${\displaystyle \nabla f(x_{1})={\tfrac {1}{2000}}\cdot x_{1}+\sin(x_{1})=0}$.

يمثل التركيب متعدد الأنماط لدالة غريوانك تحديًا للعديد من خوارزميات التحسين الحتمية ، التي قد تقع في إحدى القيم الدنيا المحلية العديدة. ويُعدّ هذا الأمر إشكاليًا بشكل خاص بالنسبة للطرق القائمة على التدرج . تُستخدم دالة غريوانك عادةً لتقييم خوارزميات التحسين الشامل، مثل الخوارزميات الجينية أو تحسين سرب الجسيمات . بالإضافة إلى النسخة الأصلية، توجد عدة صيغ من دالة غريوانك مصممة خصيصًا لاختبار الخوارزميات في سيناريوهات التحسين عالية الأبعاد. ^{[ 2 ]}

تم تطوير نسخة غير سلسة من دالة غريوانك ^{[ 3 ]} لمحاكاة خصائص دوال الهدف التي تُصادف بكثرة في مسائل التحسين في مجال التعلم الآلي . غالبًا ما تُظهر هذه الدوال سلوكًا سلسًا جزئيًا أو غير سلس بسبب وجود حدود تنظيمية أو دوال تنشيط أو قيود في نماذج التعلم.

يُعدّ الشكل التالي أحد أشكال دالة Griewank غير السلسة:

${\displaystyle f(x)=1+{\frac {1}{4000}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\prod _{i=1}^{n}P_{i}(x_{i}){\text{ حيث }}P_{i}(x_{i})=\left|\cos \left({\frac {x_{i}}{2{\sqrt {i}}}}\right)\right|-\left|\sin \left({\frac {x_{i}}{2{\sqrt {i}}}}\right)\right|.}$

من خلال دمج عناصر غير ملساء، مثل القيم المطلقة في حدود الجيب وجيب التمام، تحاكي هذه الدالة عدم الانتظام الموجود في العديد من خرائط خسارة التعلم الآلي. وهي توفر معيارًا قويًا لتقييم خوارزميات التحسين، لا سيما تلك المصممة للتعامل مع تحديات المشكلات غير المحدبة أو غير الملساء أو عالية الأبعاد، بما في ذلك طرق التدرج الفرعي والطرق الهجينة والتطورية.

إن تشابه هذه الوظيفة مع وظائف الهدف العملية للتعلم الآلي يجعلها ذات قيمة خاصة لاختبار متانة وكفاءة الخوارزميات في مهام مثل ضبط المعلمات الفائقة وتدريب الشبكات العصبية والتحسين المقيد.