دوال اختبار للتحسين

الموسوعة الحرة

في الرياضيات التطبيقية، تعتبر دوال الاختبار ، والمعروفة باسم المناظر الطبيعية الاصطناعية ، مفيدة لتقييم خصائص خوارزميات التحسين، مثل معدل التقارب والدقة والمتانة والأداء العام.

تُعرض هنا بعض دوال الاختبار بهدف إعطاء فكرة عن مختلف الحالات التي تواجهها خوارزميات التحسين عند التعامل مع هذا النوع من المشكلات. في الجزء الأول، تُعرض بعض دوال الهدف لحالات التحسين أحادي الهدف. أما في الجزء الثاني، فتُعرض دوال الاختبار مع جبهات باريتو الخاصة بها لمسائل التحسين متعدد الأهداف .

تم استخلاص المناظر الطبيعية الاصطناعية المعروضة هنا لمسائل التحسين أحادية الهدف من أعمال باك [ 1 ] ، وهاوبت وآخرون [ 2 ] ، وبرنامج رودي أولدنهويس [ 3 ] . ونظرًا لكثرة المسائل (55 مسألة إجمالًا)، فقد تم عرض عدد قليل منها فقط.

تم استخلاص دوال الاختبار المستخدمة لتقييم خوارزميات MOP من Deb، [ 4 ] و Binh et al. [ 5 ] وBinh. [ 6 ]. يمكن تنزيل البرنامج الذي طوره Deb، [ 7 ] والذي ينفذ إجراء NSGA-II باستخدام الخوارزميات الجينية، أو البرنامج المنشور على الإنترنت، [ 8 ] والذي ينفذ إجراء NSGA-II باستخدام ES.

يتم هنا تقديم شكل عام للمعادلة، ورسم بياني لدالة الهدف، وحدود متغيرات الكائن، وإحداثيات الحد الأدنى العالمي.

دوال الاختبار لتحسين الهدف الواحد

اسمحبكةصيغةالحد الأدنى العالمينطاق البحث
وظيفة الراستريجيندالة راستريجين لـ n=2و(x)=أن+∑أنا=1ن[xأنا2-أكوس⁡(2πxأنا)]{\displaystyle f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\right]}

أين: أ=10 و x∈Rن{\displaystyle {\text{حيث: }}A=10{\text{ و }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}

و(0،...،0)=0{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}-5.12≤xأنا≤5.12{\displaystyle -5.12\leq x_{i}\leq 5.12}
دالة أكليدالة أكلي لـ n=2و(x،y)=-20خبرة⁡[-0.20.5(x2+y2)]{\displaystyle f(x,y)=-20\exp \left[-0.2{\sqrt {0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\right]}

-خبرة⁡[0.5(كوس⁡2πx+كوس⁡2πy)]+هـ+20{\displaystyle -\exp \left[0.5\left(\cos 2\pi x+\cos 2\pi y\right)\right]+e+20}

و(0،0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}-5≤x،y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5} !!يجب أن يكون-∞≤x،y≤∞{\displaystyle -\infty \leq x,y\leq \infty } ??
دالة الكرةدالة الكرة لـ n=2و(x)=∑أنا=1نxأنا2{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}و(x1،...،xن)=و(0،...،0)=0{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(0,\dots ,0)=0}-∞≤xأنا≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n}
وظيفة روزنبروكدالة روزنبروك لـ n=2و(x)=∑أنا=1ن-1[100(xأنا+1-xأنا2)2+(1-xأنا)2]{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2}\right)^{2}+\left(1-x_{i}\right)^{2}\right]}مين={ن=2→و(1،1)=0،ن=3→و(1،1،1)=0،ن>3→و(1،...،1⏟ن أوقات)=0{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1)=0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}}-∞≤xأنا≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n} أين هوy{\displaystyle y}ما الذي يُستخدم في الحبكة؟
وظيفة بيلوظيفة بيلو(x،y)=(1.5-x+xy)2+(2.25-x+xy2)2{\displaystyle f(x,y)=\left(1.5-x+xy\right)^{2}+\left(2.25-x+xy^{2}\right)^{2}}

+(2.625-x+xy3)2{\displaystyle +\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}}

و(3،0.5)=0{\displaystyle f(3,0.5)=0}-4.5≤x،y≤4.5{\displaystyle -4.5\leq x,y\leq 4.5}
دالة غولدشتاين-برايسدالة غولدشتاين-برايسو(x،y)=[1+(x+y+1)2(19-14x+3x2-14y+6xy+3y2)]{\displaystyle f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{2}\right)\right]}

[30+(2x-3y)2(18-32x+12x2+48y-36xy+27y2)]{\displaystyle \left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]}

و(0،-1)=3{\displaystyle f(0,-1)=3}-2≤x،y≤2{\displaystyle -2\leq x,y\leq 2}
وظيفة الكشكوظيفة بوثو(x،y)=(x+2y-7)2+(2x+y-5)2{\displaystyle f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2}}و(1،3)=0{\displaystyle f(1,3)=0}-10≤x،y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
وظيفة بوكين رقم 6وظيفة بوكين رقم 6و(x،y)=100|y-0.01x2|+0.01|x+10|.{\displaystyle f(x,y)=100{\sqrt {\left|y-0.01x^{2}\right|}}+0.01\left|x+10\right|.\quad }و(-10،1)=0{\displaystyle f(-10,1)=0}-15≤x≤-5{\displaystyle -15\leq x\leq -5}،-3≤y≤3{\displaystyle -3\leq y\leq 3}
وظيفة ماتياسوظيفة ماتياسو(x،y)=0.26(x2+y2)-0.48xy{\displaystyle f(x,y)=0.26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0.48xy}و(0،0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}-10≤x،y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
دالة ليفي رقم 13دالة ليفي رقم 13و(x،y)=الخطيئة2⁡3πx+(x-1)2(1+الخطيئة2⁡3πy){\displaystyle f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right)}

+(y-1)2(1+الخطيئة2⁡2πy){\displaystyle +\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)}

و(1،1)=0{\displaystyle f(1,1)=0}-10≤x،y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
وظيفة Griewankوظيفة غريوانكو(x)=1+14000∑أنا=1نxأنا2-∏أنا=1نPأنا(xأنا){\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=1+{\frac {1}{4000}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\prod _{i=1}^{n}P_{i}(x_{i})}، أينPأنا(xأنا)=كوس⁡(xأناأنا){\displaystyle P_{i}(x_{i})=\cos \left({\frac {x_{i}}{\sqrt {i}}}\right)}و(0،...،0)=0{\displaystyle f(0,\dots ,0)=0}-∞≤xأنا≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n}
وظيفة هيميلبلاووظيفة هيميلبلاوو(x،y)=(x2+y-11)2+(x+y2-7)2.{\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad }مين={و(3.0،2.0)=0.0و(-2.805118،3.131312)=0.0و(-3.779310،-3.283186)=0.0و(3.584428،-1.848126)=0.0{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\left(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}}-5≤x،y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
وظيفة الجمل ذي السنام الثلاثةوظيفة الجمل ذي السنام الثلاثةو(x،y)=2x2-1.05x4+x66+xy+y2{\displaystyle f(x,y)=2x^{2}-1.05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}}و(0،0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}-5≤x،y≤5{\displaystyle -5\leq x,y\leq 5}
وظيفة Easomوظيفة Easomو(x،y)=-كوس⁡(x)كوس⁡(y)خبرة⁡(-((x-π)2+(y-π)2)){\displaystyle f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{2}+\left(y-\pi \right)^{2}\right)\right)}و(π،π)=-1{\displaystyle f(\pi ,\pi )=-1}-100≤x،y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
وظيفة النقل بين الصفحاتوظيفة النقل بين الصفحاتو(x،y)=-0.0001[|الخطيئة⁡xالخطيئة⁡yخبرة⁡(|100-x2+y2π|)|+1]0.1{\displaystyle f(x,y)=-0.0001\left[\left|\sin x\sin y\exp \left(\left|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|+1\right]^{0.1}}مين={و(1.34941،-1.34941)=-2.06261و(1.34941،1.34941)=-2.06261و(-1.34941،1.34941)=-2.06261و(-1.34941،-1.34941)=-2.06261{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}}-10≤x،y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
وظيفة حامل البيض [ 9 ] [ 10 ]وظيفة حامل البيضو(x،y)=-(y+47)الخطيئة⁡|x2+(y+47)|-xالخطيئة⁡|x-(y+47)|{\displaystyle f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left|{\frac {x}{2}}+\left(y+47\right)\right|}}-x\sin {\sqrt {\left|x-\left(y+47\right)\right|}}}و(512،404.2319)=-959.6407{\displaystyle f(512,404.2319)=-959.6407}-512≤x،y≤512{\displaystyle -512\leq x,y\leq 512}
دالة جدول هولدروظيفة طاولة الحاملو(x،y)=-|الخطيئة⁡xكوس⁡yخبرة⁡(|1-x2+y2π|)|{\displaystyle f(x,y)=-\left|\sin x\cos y\exp \left(\left|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\right|\right)\right|}مين={و(8.05502،9.66459)=-19.2085و(-8.05502،9.66459)=-19.2085و(8.05502،-9.66459)=-19.2085و(-8.05502،-9.66459)=-19.2085{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}}-10≤x،y≤10{\displaystyle -10\leq x,y\leq 10}
دالة ماكورميكدالة ماكورميكو(x،y)=الخطيئة⁡(x+y)+(x-y)2-1.5x+2.5y+1{\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(x-y\right)^{2}-1.5x+2.5y+1}و(-0.54719،-1.54719)=-1.9133{\displaystyle f(-0.54719,-1.54719)=-1.9133}-1.5≤x≤4{\displaystyle -1.5\leq x\leq 4}،-3≤y≤4{\displaystyle -3\leq y\leq 4}
دالة شافر رقم 2دالة شافر رقم 2و(x،y)=0.5+الخطيئة2⁡(x2-y2)-0.5[1+0.001(x2+y2)]2{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}}و(0،0)=0{\displaystyle f(0,0)=0}-100≤x،y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
دالة شافر رقم 4دالة شافر رقم 4و(x،y)=0.5+كوس2⁡[الخطيئة⁡(|x2-y2|)]-0.5[1+0.001(x2+y2)]2{\displaystyle f(x,y)=0.5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left|x^{2}-y^{2}\right|\right)\right]-0.5}{\left[1+0.001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2}}}}مين={و(0،1.25313)=0.292579و(0،-1.25313)=0.292579و(1.25313،0)=0.292579و(-1.25313،0)=0.292579{\displaystyle {\text{Min}}={\begin{cases}f\left(0,1.25313\right)&=0.292579\\f\left(0,-1.25313\right)&=0.292579\\f\left(1.25313,0\right)&=0.292579\\f\left(-1.25313,0\right)&=0.292579\end{cases}}}-100≤x،y≤100{\displaystyle -100\leq x,y\leq 100}
دالة ستيبلينسكي-تانغدالة ستيبلينسكي-تانغو(x)=∑أنا=1نxأنا4-16xأنا2+5xأنا2{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{i}}{2}}}-39.16617ن<و(-2.903534،...،-2.903534⏟ن أوقات)<-39.16616ن{\displaystyle -39.16617n<f(\underbrace {-2.903534,\ldots ,-2.903534} _{n{\text{ times}}})<-39.16616n}-5≤xأنا≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n}..
وظيفة الشيكلدالة شيكل في بعدين ولها 10 قيم عظمىو(x)=∑أنا=1م(جأنا+∑ج=1ن(xج-أجأنا)2)-1{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{m}\;\left(c_{i}+\sum \limits _{j=1}^{n}(x_{j}-a_{ji})^{2}\right)^{-1}}-∞≤xأنا≤∞{\displaystyle -\infty \leq x_{i}\leq \infty }،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n} ???؟؟≤م≤؟؟{\displaystyle ??\leq m\leq  ??}

دوال الاختبار للتحسين المقيد

اسمحبكةصيغةالحد الأدنى العالمينطاق البحث
دالة روزنبروك مقيدة بقرص [ 11 ]دالة روزنبروك مقيدة بقرصو(x،y)=(1-x)2+100(y-x2)2{\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}}،

يخضع لـ:x2+y2≤2{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 2}

و(1.0،1.0)=0{\displaystyle f(1.0,1.0)=0}-1.5≤x≤1.5{\displaystyle -1.5\leq x\leq 1.5}،-1.5≤y≤1.5{\displaystyle -1.5\leq y\leq 1.5}
دالة بيرد لميشرا - مقيدة [ 12 ] [ 13 ]وظيفة الطائر (مقيدة)و(x،y)=الخطيئة⁡(y)هـ[(1-كوس⁡x)2]+كوس⁡(x)هـ[(1-الخطيئة⁡y)2]+(x-y)2{\displaystyle f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1-\sin y)^{2}\right]}+(x-y)^{2}}،

يخضع لـ:(x+5)2+(y+5)2<25{\displaystyle (x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25}

و(-3.1302468،-1.5821422)=-106.7645367{\displaystyle f(-3.1302468,-1.5821422)=-106.7645367}-10≤x≤0{\displaystyle -10\leq x\leq 0}،-6.5≤y≤0{\displaystyle -6.5\leq y\leq 0}
دالة تاونسند (معدلة) [ 14 ]وظيفة متعددة الوسائط مقيدة بالقلبو(x،y)=-[كوس⁡((x-0.1)y)]2-xالخطيئة⁡(3x+y){\displaystyle f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)}،

يخضع لـ:x2+y2<[2كوس⁡ت-12كوس⁡2ت-14كوس⁡3ت-18كوس⁡4ت]2+[2الخطيئة⁡ت]2{\displaystyle x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t-{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}} حيث: t = Atan2(x,y)

و(2.0052938،1.1944509)=-2.0239884{\displaystyle f(2.0052938,1.1944509)=-2.0239884}-2.25≤x≤2.25{\displaystyle -2.25\leq x\leq 2.25}،-2.5≤y≤1.75{\displaystyle -2.5\leq y\leq 1.75}
وظيفة النتوء في كين[ 15 ]وظيفة النتوء في كينو(x)=-|[∑أنا=1مكوس4⁡(xأنا)-2∏أنا=1مكوس2⁡(xأنا)](∑أنا=1مأناxأنا2)0.5|{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=-\left|{\frac {\left[\sum _{i=1}^{m}\cos ^{4}(x_{i})-2\prod _{i=1}^{m}\cos ^{2}(x_{i})\right]}{{\left(\sum _{i=1}^{m}ix_{i}^{2}\right)}^{0.5}}}\right|}،

يخضع لـ:0.75-∏أنا=1مxأنا<0{\displaystyle 0.75-\prod _{i=1}^{m}x_{i}<0}، و ∑أنا=1مxأنا-7.5م<0{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}-7.5m<0}

و((1.60025376،0.468675907))=-0.364979746{\displaystyle f((1.60025376,0.468675907))=-0.364979746}0<xأنا<10{\displaystyle 0<x_{i}<10}

دوال اختبار لتحسين الأهداف المتعددة

اسمحبكةالوظائفقيودنطاق البحث
دالة بينه وكورن : [ 5 ]دالة بينه وكورنالتقليل={و1(x،y)=4x2+4y2و2(x،y)=(x-5)2+(y-5)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}}شارع={ز1(x،y)=(x-5)2+y2≤25ز2(x،y)=(x-8)2+(y+3)2≥7.7{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=\left(x-5\right)^{2}+y^{2}\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cases}}}0≤x≤5{\displaystyle 0\leq x\leq 5}،0≤y≤3{\displaystyle 0\leq y\leq 3}
وظيفة تشانكونغ وهايمز : [ 16 ]وظيفة تشاكونغ وهايمزالتقليل={و1(x،y)=2+(x-2)2+(y-1)2و2(x،y)=9x-(y-1)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=2+\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases}}}شارع={ز1(x،y)=x2+y2≤225ز2(x،y)=x-3y+10≤0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{2}\left(x,y\right)=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}}-20≤x،y≤20{\displaystyle -20\leq x,y\leq 20}
دالة فونسيكا-فليمنج : [ 17 ]وظيفة فونسيكا وفليمنجالتقليل={و1(x)=1-خبرة⁡[-∑أنا=1ن(xأنا-1ن)2]و2(x)=1-خبرة⁡[-∑أنا=1ن(xأنا+1ن)2]{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left[-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)^{2}\right]\\\end{cases}}}-4≤xأنا≤4{\displaystyle -4\leq x_{i}\leq 4}،1≤أنا≤ن{\displaystyle 1\leq i\leq n}
دالة الاختبار 4: [ 6 ]اختبار الوظيفة 4.التقليل={و1(x،y)=x2-yو2(x،y)=-0.5x-y-1{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x^{2}-y\\f_{2}\left(x,y\right)=-0.5x-y-1\\\end{cases}}}شارع={ز1(x،y)=6.5-x6-y≥0ز2(x،y)=7.5-0.5x-y≥0ز3(x،y)=30-5x-y≥0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=6.5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\\g_{2}\left(x,y\right)=7.5-0.5x-y\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)=30-5x-y\geq 0\\\end{cases}}}-7≤x،y≤4{\displaystyle -7\leq x,y\leq 4}
دالة كورساوي : [ 18 ]وظيفة كورساويالتقليل={و1(x)=∑أنا=12[-10خبرة⁡(-0.2xأنا2+xأنا+12)]و2(x)=∑أنا=13[|xأنا|0.8+5الخطيئة⁡(xأنا3)]{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left[-10\exp \left(-0.2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}\left[\left|x_{i}\right|^{0.8}+5\sin \left(x_{i}^{3}\right)\right]\\\end{cases}}}-5≤xأنا≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}،1≤أنا≤3{\displaystyle 1\leq i\leq 3}.
دالة شافر رقم 1: [ 19 ]دالة شافر رقم 1التقليل={و1(x)=x2و2(x)=(x-2)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}}-أ≤x≤أ{\displaystyle -A\leq x\leq A}قيمأ{\displaystyle A}من10{\displaystyle 10}ل105{\displaystyle 10^{5}}وقد تم استخدامها بنجاح. القيم الأعلى منأ{\displaystyle A}زيادة صعوبة المسألة.
دالة شافر رقم 2:دالة شافر رقم 2التقليل={و1(x)={-x،لو x≤1x-2،لو 1<x≤34-x،لو 3<x≤4x-4،لو x>4و2(x)=(x-5)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\text{if }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases}}}-5≤x≤10{\displaystyle -5\leq x\leq 10}.
دالتا الهدف لبولوني:دالة الهدف المزدوجة لبولونيالتقليل={و1(x،y)=[1+(أ1-ب1(x،y))2+(أ2-ب2(x،y))2]و2(x،y)=(x+3)2+(y+1)2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\left(x,y\right)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}}

أين={أ1=0.5الخطيئة⁡(1)-2كوس⁡(1)+الخطيئة⁡(2)-1.5كوس⁡(2)أ2=1.5الخطيئة⁡(1)-كوس⁡(1)+2الخطيئة⁡(2)-0.5كوس⁡(2)ب1(x،y)=0.5الخطيئة⁡(x)-2كوس⁡(x)+الخطيئة⁡(y)-1.5كوس⁡(y)ب2(x،y)=1.5الخطيئة⁡(x)-كوس⁡(x)+2الخطيئة⁡(y)-0.5كوس⁡(y){\displaystyle {\text{where}}={\begin{cases}A_{1}=0.5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left(2\right)-1.5\cos \left(2\right)\\A_{2}=1.5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left(2\right)-0.5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)=0.5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x\right)+\sin \left(y\right)-1.5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)=1.5\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0.5\cos \left(y\right)\end{cases}}}

-π≤x،y≤π{\displaystyle -\pi \leq x,y\leq \pi }
دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 1: [ 20 ]دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 1التقليل={و1(x)=x1و2(x)=ز(x)ح(و1(x)،ز(x))ز(x)=1+929∑أنا=230xأناح(و1(x)،ز(x))=1-و1(x)ز(x){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\\\end{cases}}}0≤xأنا≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}،1≤أنا≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}.
دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 2: [ 20 ]دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 2التقليل={و1(x)=x1و2(x)=ز(x)ح(و1(x)،ز(x))ز(x)=1+929∑أنا=230xأناح(و1(x)،ز(x))=1-(و1(x)ز(x))2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}0≤xأنا≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}،1≤أنا≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}.
دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 3: [ 20 ]دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 3التقليل={و1(x)=x1و2(x)=ز(x)ح(و1(x)،ز(x))ز(x)=1+929∑أنا=230xأناح(و1(x)،ز(x))=1-و1(x)ز(x)-(و1(x)ز(x))الخطيئة⁡(10πو1(x)){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i=2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)\sin \left(10\pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}}0≤xأنا≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}،1≤أنا≤30{\displaystyle 1\leq i\leq 30}.
دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 4: [ 20 ]دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 4التقليل={و1(x)=x1و2(x)=ز(x)ح(و1(x)،ز(x))ز(x)=91+∑أنا=210(xأنا2-10كوس⁡(4πxأنا))ح(و1(x)،ز(x))=1-و1(x)ز(x){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_{i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}}0≤x1≤1{\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 1}،-5≤xأنا≤5{\displaystyle -5\leq x_{i}\leq 5}،2≤أنا≤10{\displaystyle 2\leq i\leq 10}
دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 6: [ 20 ]دالة زيتزلر-ديب-ثيلي رقم 6التقليل={و1(x)=1-خبرة⁡(-4x1)الخطيئة6⁡(6πx1)و2(x)=ز(x)ح(و1(x)،ز(x))ز(x)=1+9[∑أنا=210xأنا9]0.25ح(و1(x)،ز(x))=1-(و1(x)ز(x))2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=1-\exp \left(-4x_{1}\right)\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0.25}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)=1-\left({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{cases}}}0≤xأنا≤1{\displaystyle 0\leq x_{i}\leq 1}،1≤أنا≤10{\displaystyle 1\leq i\leq 10}.
وظيفة Osyczka و Kundu: [ 21 ]وظيفة Osyczka و Kunduالتقليل={و1(x)=-25(x1-2)2-(x2-2)2-(x3-1)2-(x4-4)2-(x5-1)2و2(x)=∑أنا=16xأنا2{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right)^{2}\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}}شارع={ز1(x)=x1+x2-2≥0ز2(x)=6-x1-x2≥0ز3(x)=2-x2+x1≥0ز4(x)=2-x1+3x2≥0ز5(x)=4-(x3-3)2-x4≥0ز6(x)=(x5-3)2+x6-4≥0{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)=x_{1}+x_{2}-2\geq 0\\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)=2-x_{1}+3x_{2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\end{cases}}}0≤x1،x2،x6≤10{\displaystyle 0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10}،1≤x3،x5≤5{\displaystyle 1\leq x_{3},x_{5}\leq 5}،0≤x4≤6{\displaystyle 0\leq x_{4}\leq 6}.
دالة CTP1 (متغيران): [ 4 ] [ 22 ]دالة CTP1 (متغيران).التقليل={و1(x،y)=xو2(x،y)=(1+y)خبرة⁡(-x1+y){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)=\left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}}شارع={ز1(x،y)=و2(x،y)0.858خبرة⁡(-0.541و1(x،y))≥1ز2(x،y)=و2(x،y)0.728خبرة⁡(-0.295و1(x،y))≥1{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.858\exp \left(-0.541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{2}\left(x,y\right)={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0.728\exp \left(-0.295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases}}}0≤x،y≤1{\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}.
مشكلة Constr-Ex: [ 4 ]مشكلة الإنشاء والتعبير.التقليل={و1(x،y)=xو2(x،y)=1+yx{\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=x\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {1+y}{x}}\\\end{cases}}}شارع={ز1(x،y)=y+9x≥6ز2(x،y)=-y+9x≥1{\displaystyle {\text{s.t.}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)=y+9x\geq 6\\g_{2}\left(x,y\right)=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}}0.1≤x≤1{\displaystyle 0.1\leq x\leq 1}،0≤y≤5{\displaystyle 0\leq y\leq 5}
وظيفة فيينيه:وظيفة فيينيتالتقليل={و1(x،y)=0.5(x2+y2)+الخطيئة⁡(x2+y2)و2(x،y)=(3x-2y+4)28+(x-y+1)227+15و3(x،y)=1x2+y2+1-1.1خبرة⁡(-(x2+y2)){\displaystyle {\text{Minimize}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)=0.5\left(x^{2}+y^{2}\right)+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)={\frac {\left(3x-2y+4\right)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1.1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\\\end{cases}}}-3≤x،y≤3{\displaystyle -3\leq x,y\leq 3}.

مراجع

  1. ↑ باك، توماس (1995). الخوارزميات التطورية نظريًا وعمليًا  : استراتيجيات التطور، البرمجة التطورية، الخوارزميات الجينية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ص  328. ISBN 978-0-19-509971-3.
  2. ↑ هاوبت، راندي ل. هاوبت، سو إيلين (2004). الخوارزميات الجينية العملية مع قرص مضغوط ( الطبعة الثانية). نيويورك: جون وايلي. ISBN  978-0-471-45565-3.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. ↑ أولدنهويس، رودي. "العديد من دوال الاختبار للمحسّنات العالمية" . ماث ووركس . تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2012 .
  4. 1 2 3 ديب، كاليانموي (2002) التحسين متعدد الأهداف باستخدام الخوارزميات التطورية (طبعة مُعاد طباعتها). تشيتشستر [ua]: وايلي. ISBN 0-471-87339-X.
  5. 1 2 بينه تي. وكورن يو. (1997) موبيس: استراتيجية تطور متعددة الأهداف لمسائل التحسين المقيدة . في: وقائع المؤتمر الدولي الثالث حول الخوارزميات الجينية. جمهورية التشيك. ص 176-182
  6. 1 2 بينه ت. (1999) خوارزمية تطورية متعددة الأهداف. دراسات الحالة. تقرير فني. معهد الأتمتة والاتصالات. بارليبن، ألمانيا
  7. ↑ ديب ك. (2011) برنامج لرمز NSGA-II متعدد الأهداف بلغة C. متاح على الرابط التالي: https://www.iitk.ac.in/kangal/codes.shtml
  8. ↑ أورتيز، جيلبرتو أ. "التحسين متعدد الأهداف باستخدام خوارزمية التطور" . ماث ووركس . تم الاسترجاع في 1 نوفمبر 2012 .
  9. ↑ ويتلي، داريل؛ رانا، ثريا؛ دزوبرا، جون؛ ماثياس، كيث إي. (1996). "تقييم الخوارزميات التطورية" . الذكاء الاصطناعي . 85 ( 1-2 ). إلسيفير بي في: 264. doi : 10.1016/0004-3702(95)00124-7 . ISSN 0004-3702 . 
  10. ↑ فاناريه سي. (2015) تهجين أساليب الفترات والخوارزميات التطورية لحل مسائل التحسين الصعبة. أطروحة دكتوراه. المدرسة الوطنية للطيران المدني. المعهد الوطني للفنون التطبيقية في تولوز، فرنسا.
  11. ↑ "حل مسألة غير خطية مقيدة - MATLAB و Simulink" . www.mathworks.com . تاريخ الاسترجاع: 29 أغسطس 2017 .
  12. ↑ "مسألة الطيور (المقيدة) | تكامل فينيكس" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 29-12-2016 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2017 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  13. ↑ ميشرا، سودانشو (2006). "بعض دوال الاختبار الجديدة للتحسين العالمي وأداء طريقة سرب الجسيمات التنافرية" . ورقة بحثية منشورة في مجلة MPRA .
  14. ↑ تاونسند، أليكس (يناير 2014). "التحسين المقيد في Chebfun" . chebfun.org . تم الاسترجاع في 29 أغسطس 2017 .
  15. ↑ ميشرا، سودانشو (5 مايو 2007). "تقليل دالة كين للنتوءات باستخدام سرب الجسيمات التنافرية وطرق التطور التفاضلي" . ورقة بحثية مقدمة إلى MPRA . مكتبة جامعة ميونخ، ألمانيا.
  16. ↑ شانكونغ، فيرا؛ هايمز، ياكوف ي. (1983). اتخاذ القرارات متعددة الأهداف: النظرية والمنهجية . نورث هولاند. ISBN 0-444-00710-5.
  17. ↑ فونسيكا، سي إم؛ فليمنج، بي جيه (1995). "نظرة عامة على الخوارزميات التطورية في التحسين متعدد الأهداف". الحوسبة التطورية . 3 (1): 1-16 . CiteSeerX 10.1.1.50.7779 . doi : 10.1162/evco.1995.3.1.1 . S2CID 8530790 .  
  18. ↑ F. Kursawe, “ A variant of evolution strategies for vector optimization ,” in PPSN I, Vol 496 Lect Notes in Comput Sc. Springer-Verlag, 1991, pp. 193–197.
  19. ↑ شافير، ج. ديفيد (1984). "تحسين الأهداف المتعددة باستخدام الخوارزميات الجينية ذات التقييم المتجهي". في: ج. ج. إ. غريفينسيت؛ ج. ج. لورانس إيرلبروم (محرران). وقائع المؤتمر الدولي الأول حول الخوارزميات الجينية . OCLC 20004572 . 
  20. 1 2 3 4 5 ديب، كاليان؛ ثيل، ل.؛ لاومانز، ماركو؛ زيتزلر، إيكارت (2002). "مسائل اختبار التحسين متعدد الأهداف القابلة للتوسع". وقائع مؤتمر الحوسبة التطورية لعام 2002. CEC'02 (رقم التصنيف 02TH8600) . المجلد 1. الصفحات 825-830 . doi : 10.1109/CEC.2002.1007032 . ISBN   0-7803-7282-4. S2CID 61001583 . 
  21. ↑ أوسيتشكا، أ.؛ كوندو، س. (1 أكتوبر 1995). "طريقة جديدة لحل مسائل التحسين متعددة المعايير المعممة باستخدام الخوارزمية الجينية البسيطة". التحسين الهيكلي . 10 (2): 94-99 . doi : 10.1007/BF01743536 . ISSN 1615-1488 . S2CID 123433499 .  
  22. ↑ خيمينيز، ف.؛ غوميز-سكارميتا، أ.ف.؛ سانشيز، ج.؛ ديب، ك. (مايو 2002). "خوارزمية تطورية لتحسين متعدد الأهداف مقيد". وقائع مؤتمر الحوسبة التطورية لعام 2002. CEC'02 (رقم التصنيف 02TH8600) . المجلد 2. الصفحات 1133-1138 . doi : 10.1109/CEC.2002.1004402 . ISBN   0-7803-7282-4. S2CID 56563996 .