رقم هيرميت

في الرياضيات ، تُعرف أعداد هيرميت بأنها قيم كثيرات حدود هيرميت عند الوسيط الصفري. وعادةً ما تُعرَّف هذه الأعداد بالنسبة لكثيرات حدود هيرميت المستخدمة في الفيزياء.

يمكن تسمية الأعداد H _n = H _n (0)، حيث H _n ( x ) هي متعددة حدود هيرميت من الدرجة n ، بأعداد هيرميت. ^{[ 1 ]}

الأرقام الأولى لهيرميت هي:

${\displaystyle H_{0}=1\,}$

${\displaystyle H_{1}=0\,}$

${\displaystyle H_{2}=-2\,}$

${\displaystyle H_{3}=0\,}$

${\displaystyle H_{4}=+12\,}$

${\displaystyle H_{5}=0\,}$

${\displaystyle H_{6}=-120\,}$

${\displaystyle H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

يتم الحصول عليها من علاقات التكرار لكثيرات الحدود الهرميتية لـ x = 0:

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

بما أن H ₀ = 1 و H ₁ = 0، يمكن للمرء أن يبني صيغة مغلقة لـ H _n :

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{إذا كان }}n{\mbox{ فرديًا}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{إذا كان }}n{\mbox{ زوجيًا}}\end{cases}}}$

حيث ( ن - 1)!! = 1 × 3 × ... × ( ن - 1).

من الدالة المولدة لكثيرات الحدود الهرميتية يتبين أن

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$

يقدم المرجع ^{[ 1 ]} سلسلة قوى رسمية :

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

حيث أن القوة النونية لـ H ، H ⁿ ، هي العدد الهيرميتي النوني ، H _n . (انظر حساب الظلال .)