رقم لاغرانج

في الرياضيات ، تُعرف أعداد لاغرانج ( A382098 و A382099 في موسوعة OEIS ) بأنها سلسلة من الأعداد تظهر في حدود تتعلق بتقريب الأعداد غير النسبية بالأعداد النسبية . وهي مرتبطة بنظرية هورويتز .

قام هورويتز بتحسين معيار بيتر غوستاف ليجون ديريشليه بشأن اللاعقلانية ليصبح العبارة التالية: العدد الحقيقي${\displaystyle \alpha }$يكون العدد غير نسبي إذا وفقط إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد النسبية${\textstyle {\frac {p}{q}}}$مكتوبة بأبسط العبارات، بحيث

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}}$.

كان هذا تحسناً عن نتيجة ديريشليه التي كانت${\textstyle {\frac {1}{q^{2}}}}$على الجانب الأيمن. النتيجة المذكورة أعلاه هي الأفضل الممكنة، لأن النسبة الذهبية${\displaystyle \varphi }$غير منطقي. إذا استبدلنا${\displaystyle {\sqrt {5}}}$مع أي عدد أكبر في التعبير أعلاه، لن نتمكن إلا من إيجاد عدد محدود من الأعداد النسبية التي تحقق المتباينة لـ${\displaystyle \alpha =\varphi }$.

أظهر هورويتز أيضًا أنه إذا أغفلنا${\displaystyle \varphi }$(والأرقام المشتقة منها)، يمكننا زيادة${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ل${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ومرة أخرى ، هذا الربط الجديد هو الأفضل الممكن، وهذه المرة مع${\displaystyle {\sqrt {2}}}$المشكلة تكمن في ذلك. إذا أغفلنا${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، ويمكننا زيادة ذلك${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ل${\textstyle {\frac {\sqrt {221}}{5}}}$بتكرار هذه العملية نحصل على المتسلسلة اللانهائية${\textstyle {\sqrt {5}},\;2{\sqrt {2}},\;{\frac {\sqrt {221}}{5}},\;{\frac {\sqrt {1517}}{13}},\;\ldots }$والتي تتقارب إلى 3. ^{[ 1 ]} هذه هي أعداد لاغرانج ، ^{[ 2 ]} سميت على اسم جوزيف لويس لاغرانج .

ال${\displaystyle n}$رقم لاغرانج${\displaystyle L_{n}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{M_{n}^{2}}}}}}$

أين${\displaystyle M_{n}}$هو${\displaystyle n}$رقم ماركوف رقم ^{[ 3 ]} —${\displaystyle n}$أصغر عدد صحيح${\displaystyle m}$بحيث تكون المعادلة

${\displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy}$

لها حل في الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

• كاسيلز، جيه دبليو إس (1957). مقدمة في التقريب الديوفانتي . سلسلة كامبريدج في الرياضيات والفيزياء الرياضية. المجلد  45. مطبعة جامعة كامبريدج . Zbl 0077.04801 . 
• كونواي، جيه إتش ؛ جاي، آر كيه (1996). كتاب الأعداد . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-97993-X.

• عدد لاغرانج . من موقع MathWorld التابع لشركة Wolfram Research .
• مقدمة في طرق ديوفانتين اللاعقلانية والتجاوز مؤرشفة في 2012-02-09 على Wayback Machine - ملاحظات محاضرة عبر الإنترنت بقلم ميشيل فالدشميدت ، أعداد لاغرانج في الصفحات  24-26.