لغز MU

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

لغز MU هو لغز طرحه دوغلاس هوفستاتر، وهو موجود في كتاب غودل وإيشر وباخ، ويتضمن نظامًا صوريًا بسيطًا يُسمى "MIU". يكمن دافع هوفستاتر في المقارنة بين الاستدلال داخل النظام الصوري (أي استنباط النظريات) والاستدلال حول النظام الصوري نفسه. يُعد MIU مثالًا على نظام ما بعد النظام الكلاسيكي ، ويمكن إعادة صياغته كنظام لإعادة كتابة السلاسل النصية .

اللغز

لنفترض وجود الرموز M، I، و Uالتي يمكن دمجها لإنتاج سلاسل من الرموز. يطلب لغز MU البدء بالسلسلة "الأساسية" MIوتحويلها إلى السلسلة MUباستخدام إحدى قواعد التحويل التالية في كل خطوة: [ 1 ] [ 2 ]

رقم     قاعدة رسمية [ ملاحظة 1 ]شرح غير رسميمثال
1.xI→xIUأضف حرف "a" Uإلى نهاية أي سلسلة نصية تنتهي بـIMIلMIU
2.Mx→Mxxxضاعف السلسلة بعدMMIUلMIUIU
3.س IIIص→س Uصاستبدل أيًا منها IIIبـUMUIIIUلMUUU
4.س UUص→xyقم بإزالة أيUUMUUUلMU

حل

لا يمكن حل اللغز: فمن المستحيل تغيير السلسلة MIبتطبيق MUالقواعد المعطاة بشكل متكرر. بعبارة أخرى، فإن MU ليست نظريةً من نظريات النظام الرسمي MIU. لإثبات ذلك، يجب الخروج من النظام الرسمي نفسه.

لإثبات مثل هذه الادعاءات، من المفيد غالبًا البحث عن ثابت ؛ أي كمية أو خاصية لا تتغير أثناء تطبيق القواعد.

في هذه الحالة، يمكن النظر إلى العدد الإجمالي لـ Iفي سلسلة نصية. فقط القاعدتان الثانية والثالثة تُغيران هذا العدد. تحديدًا، القاعدة الثانية تُضاعفه بينما القاعدة الثالثة تُنقصه بمقدار 3. الآن، الخاصية الثابتة هي أنه في أي سلسلة نصية ناتجة عن البدء بـ MI، فإن عدد Iلا يقبل القسمة على 3.

  • في البداية، كان عدد Is هو 1 وهو غير قابل للقسمة على 3.
  • مضاعفة عدد لا يقبل القسمة على 3 لا يجعله يقبل القسمة على 3.
  • إن طرح 3 من عدد لا يقبل القسمة على 3 لا يجعله يقبل القسمة على 3 أيضاً.

وبالتالي، لا يمكن تحقيق الهدف المتمثل MUفي الصفر لأن الصفر يقبل القسمة على 3.I

في لغة الحساب النمطي ، يخضع العدد nI للتطابق.

ن≡2أ≢0(تعديل3).{\displaystyle n\equiv 2^{a}\not \equiv 0{\pmod {3}}.\,}

حيث يمثل a عدد مرات تطبيق القاعدة الثانية.

معيار قابل للتحديد للاشتقاق

وبشكل أعم، يمكن اشتقاق سلسلة xMI معينة بشكل عشوائي من خلال القواعد الأربع المذكورة أعلاه إذا، وفقط إذا ، كانت x تحترم الخصائص الثلاث التالية:

  1. يتكون xM من عنصر واحد فقط وأي عدد من العناصر Iو U.
  2. يبدأ الحرف x بـ M، و
  3. عدد العناصر Iفي x لا يقبل القسمة على 3.

دليل

فقط في حال: لم تُحرّك أي قاعدة العنصر M، أو تُغيّر عدده M، أو تُدخل أي حرف خارجه M. لذلك، فإن كل عنصر x مُشتق من يحترم الخاصيتين 1 و2. وكما ذُكر Iسابقًا ، فإنه يحترم أيضًا الخاصية 3.UMI

إذا: إذا كان x يحقق الخصائص من 1 إلى 3، فليكنشمالأنا{\displaystyle N_{I}}وشماليو{\displaystyle N_{U}}ليكن عدد Iو Uفي x على التوالي، وليكنشمال=شمالأنا+3شماليو{\displaystyle N=N_{I}+3N_{U}}بحسب الخاصية 3، العددشمالأنا{\displaystyle N_{I}}لا يمكن أن يكون قابلاً للقسمة على 3، وبالتالي،شمال{\displaystyle N}ولا يمكن أن يكون كذلك أيضاً. أي،شمال≡1 أو شمال≡2(تعديل3){\displaystyle N\equiv 1{\text{ or }}N\equiv 2{\pmod {3}}}. يتركن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }بحيث2ن>شمال{\displaystyle 2^{n}>N}و2ن≡شمال(تعديل3){\displaystyle 2^{n}\equiv N{\pmod {3}}}[ ملاحظة 2 ] بدءًا من البديهية MI، بتطبيق القاعدة الثانيةن{\displaystyle n}الأوقات تحصل MIII... Iمع2ن{\displaystyle 2^{n}}I. منذ2ن-شمال{\displaystyle 2^{n}-N}يقبل القسمة على 3، بحسب تعريفن{\displaystyle n}بتطبيق القاعدة الثالثة2ن-شمال3{\displaystyle {\frac {2^{n}-N}{3}}}ستتحقق الأوقات MIII... IU... U، بالضبطشمال{\displaystyle N}I، متبوعًا بعدد من U. Uيمكن دائمًا جعل العدد زوجيًا، بتطبيق القاعدة الأولى مرة واحدة، إذا لزم الأمر. بتطبيق القاعدة الرابعة بشكل متكرر بما فيه الكفاية، Uيمكن حذف جميعها، وبالتالي الحصول على MIII... Iمعشمالأنا+3شماليو{\displaystyle N_{I}+3N_{U}}Iبتطبيق القاعدة الثالثة لاختزال الثلاثيات إلى Iعنصر Uفي المواضع الصحيحة، نحصل على x . إجمالاً، تم اشتقاق xMI من .

مثال

لتوضيح البنية في جزء "إذا" من البرهان، فإن السلسلة MIIUIIالتي تحترم الخصائص من 1 إلى 3 تؤدي إلىشمالأنا=4{\displaystyle N_{I}=4}،شماليو=1{\displaystyle N_{U}=1}،شمال=7{\displaystyle N=7}،ن=4{\displaystyle n=4}وبالتالي يمكن استنتاج ذلك على النحو التالي:

MI2 →MII 2 →MIIII 2 →MIIIIIIII 2 →MIIIIIIIIIIIIIIII 3 →MIIIIIIIUIIIIII 3 →MIIIIIIIUUIII 1 →MIIIIIIIUUIIIU 3 →MIIIIIIIUUUU 4 →MIIIIIIIUU 4 →MIIIIIII 3 →MIIUII .

الحساب

يُقدّم الفصل التاسع عشر من كتاب غودل، إيشر، باخ، ربطًا بين نظام MIU والحساب، كما يلي: أولًا، يمكن ترجمة أي سلسلة نصية في MIU إلى عدد صحيح عن طريق ربط الأحرف Mو Iو و بالأعداد 3 و1 و0 على التوالي. (على سبيل المثال، تُربط Uالسلسلة النصية بالعدد 31010).MIUIU

ثانياً، تصبح البديهية الوحيدة لنظام MIU، وهي السلسلة MI، هي الرقم 31.

ثالثًا، تصبح القواعد الرسمية الأربع المذكورة أعلاه كما يلي:

رقم     القاعدة الرسمية [ ملاحظة 3 ]مثال 
1.ك × 10 + 1 → 10 × ( k × 10 + 1)     31 → 310 ( k = 3)
2.3 × 10 م + ن → 10 م × (3 × 10 م + ن ) + ن310 → 31010 ( م = 2، ن = 10)
3.k × 10 م + 3 + 111 × 10 م + ن → k × 10 م + 1 + ن3111011 → 30011 ( k = 3, m = 3, n = 11)
4.k × 10 م +2 + ن → k × 10 م + ن30011 → 311 ( k = 3, m = 2, n = 11)

( ملاحظة: يختلف صياغة القاعدة الأولى أعلاه اختلافًا طفيفًا عن صياغتها في الكتاب، حيث كُتبت على النحو التالي: "إذا تمكّنا من تكوين 10 م  +  1، فيمكننا تكوين 10 × (10 م + 1)". لكن هنا، تم تخصيص المتغير م للاستخدام في أسس العدد 10 فقط، ولذلك استُبدل بالمتغير ك في القاعدة الأولى. كذلك، في هذه الصياغة، تم توحيد ترتيب العوامل في هذه القاعدة مع ترتيبها في القواعد الثلاث الأخرى.)    

العلاقة بالمنطق

يوضح نظام MIU العديد من المفاهيم المهمة في المنطق عن طريق القياس.

يمكن تفسير ذلك على أنه تشبيه لنظام رسمي - تغليف للمفاهيم الرياضية والمنطقية باستخدام الرموز. سلسلة MI تشبه بديهية واحدة ، وقواعد التحويل الأربعة تشبه قواعد الاستدلال .

إن سلسلة MU واستحالة اشتقاقها تشبه بيانًا للمنطق الرياضي لا يمكن إثباته أو دحضه بواسطة النظام الرسمي.

يُظهر هذا أيضًا التباين بين التفسير على المستوى "النحوي" للرموز والتفسير على المستوى "الدلالي" للمعاني. على المستوى النحوي، لا توجد معرفة باستحالة حل لغز MU. فالنظام لا يشير إلى أي شيء: إنه ببساطة لعبة تتضمن سلاسل لا معنى لها. بالعمل ضمن هذا النظام، يمكن لخوارزمية أن تُولّد تباعًا كل سلسلة رموز صالحة في محاولة لتوليد MU، ورغم أنها لن تنجح أبدًا، إلا أنها ستستمر في البحث إلى ما لا نهاية، دون أن تستنتج أبدًا أن البحث عبثي. أما بالنسبة للاعب البشري، فبعد عدد من المحاولات، يبدأ المرء سريعًا في الشك في أن اللغز قد يكون مستحيلاً. عندها "يخرج من النظام" ويبدأ في التفكير فيه ، بدلاً من العمل ضمنه. في النهاية، يُدرك المرء أن النظام يتعلق بطريقة ما بالقسمة على ثلاثة. هذا هو المستوى "الدلالي" للنظام - وهو مستوى من المعنى يصل إليه النظام بشكل طبيعي. على هذا المستوى، يمكن اعتبار لغز MU مستحيلاً.

إن عجز نظام MIU عن التعبير عن حقائق تخصه أو استنتاجها، كعجزه عن استنتاج MU، هو نتيجة لبساطته. مع ذلك، قد تمتلك أنظمة صورية أكثر تعقيدًا، كأنظمة المنطق الرياضي، هذه القدرة. هذه هي الفكرة الأساسية وراء نظرية عدم الاكتمال لغودل .

الاستخدامات التربوية

في كتابها المدرسي، الرياضيات المتقطعة مع التطبيقات ، تستخدم سوزانا إس. إيب لغز MU لتقديم مفهوم التعريفات المتكررة ، وتبدأ الفصل ذي الصلة باقتباس من GEB. [ 3 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هنا، x و y متغيران يمثلان سلاسل من الرموز. لا يمكن تطبيق القاعدة إلا على السلسلة بأكملها، وليس على أي جزء منها.
  2. ↑ مثل هذان{\displaystyle n}موجود دائمًا، لأن قوى العدد 2 تُقيّم بالتناوب إلى 1 و 2، بتردد 3.
  3. هنا، يرمز k و m إلى أعداد طبيعية اختيارية، و n هو أي عدد طبيعي أصغر من 10 m . يجب قراءة كل قاعدة من الشكل " x → y " على النحو التالي: "إذا صنعنا x، فيمكننا صنع y ". كما يوضح عمود المثال، لا يمكن تطبيق القاعدة إلا على عدد MIU كامل، وليس على جزء اختياري من تمثيله العشري.  

مراجع

  1. ↑ جاستن كاري / كوران كيليهر (2007).غودل، إيشر، باخ: رحلة ذهنية في الفضاء. MIT OpenCourseWare .
  2. ↑ هوفستاتر، دوغلاس ر. (1999) [1979]، غودل، إيشر، باخ: ضفيرة ذهبية أبدية ، بيسيك بوكس، رقم ISBN 0-465-02656-7 هنا: الفصل الأول.
  3. ↑ الرياضيات المتقطعة مع التطبيقات ، الطبعة الثالثة، بروكس/كول، 2004. الفصل 8.4، "التعريفات التكرارية العامة"، ص 501.
  • "نظام هوفستاتر لوحدات الاستخبارات العسكرية" . مؤرشف من الأصل في 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 29 نوفمبر 2016 .واجهة عبر الإنترنت لإنتاج الاشتقاقات في نظام MIU.
  • "لغز MU" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 مايو 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مايو 2018 .تطبيق جافا سكريبت عبر الإنترنت لنظام إنتاج MIU.