نظرية ماهلر

في الرياضيات ، تُعبّر نظرية ماهلر ، التي وضعها كورت ماهلر ( 1958 ) ، عن أي دالة متصلة من الرتبة p -adic على شكل متسلسلة لانهائية من كثيرات حدود خاصة معينة . تُعرف هذه المتسلسلة باسم متسلسلة ماهلر ^{[ 1 ]} أو مفكوك ماهلر [ ^{2 ]} أو مفكوك ماهلر ^{[ 3 ]} . وهي النظير p -adic لنظرية ستون-فايرشتراس ^للدوال الحقيقية المتصلة على فترة مغلقة. 

يترك${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)}$ليكن عامل الفرق الأمامي . عندئذٍ لأي دالة p -adic${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Q} _{p}}$تنص نظرية ماهلر على أن${\displaystyle f}$تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت متسلسلة نيوتن الخاصة بها تتقارب في كل مكان إلى${\displaystyle f}$بحيث يكون ذلك للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {Z} _{p}}$لدينا

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\Delta ^{n}f)(0){x \choose n},}$

أين

${\displaystyle {x \choose n}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}{n!}}}$

هو${\displaystyle n}$معامل ثنائي الحد من الرتبة n في كثير الحدود. هنا،${\displaystyle n}$يتم حساب الفرق الأمامي من الرتبة n بواسطة التحويل ذي الحدين ، بحيث$${\displaystyle (\Delta ^{n}f)(0)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}{\binom {n}{k}}f(k).}$$علاوة على ذلك، لدينا ذلك$${\displaystyle f(x):=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}{\binom {x}{n}}}$$تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كانت المعاملات${\displaystyle a_{n}=(\Delta ^{n}f)(0)\to 0}$في${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$.

من اللافت للنظر أن فرضية ضعيفة كالاستمرارية تكفي في سياق p -adic لإثبات تقارب متسلسلات نيوتن. في المقابل، تخضع متسلسلات نيوتن على حقل الأعداد المركبة لقيود أكثر صرامة، وتتطلب صحة نظرية كارلسون .

• Mahler، K. (1958)، “سلسلة الاستيفاء للوظائف المستمرة لمتغير p-adic” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1958 (199): 23–34 ، doi : 10.1515/crll.1958.199.23 ، ISSN 0075-4102 ، MR 0095821 , S2CID 199546556