تصميم السوق

لنفترض أن كل مشترٍ من بين n مشترٍ يتلقى إشارة خاصة${\displaystyle {{x}_{i}}}$قيمة المشتري i${\displaystyle \phi ({{x}_{i}},{{x}_{-i}})}$يتزايد بشكل ملحوظ في${\displaystyle {{x}_{i}}}$ وهي دالة متناظرة متزايدة لـ${\displaystyle {{x}_{-i}}}$إذا كانت الإشارات مرتبطة، فإن دالة عرض التوازن في مزاد مغلق ذي سعر أول${\displaystyle {{b}_{i}}=B({{x}_{i}})}$وهو أصغر من قيمة الدفعة المتوقعة عند التوازن في مزاد السعر الثاني المغلق. ^{[ 5 ]}

يكمن تفسير هذه النتيجة فيما يلي: في مزاد السعر الثاني المغلق، يعتمد المبلغ المتوقع للفائز ذي القيمة v على معلوماته الخاصة. وبحسب نظرية تكافؤ الإيرادات، لو كانت لدى جميع المشترين نفس المعتقدات، لكانت الإيرادات متكافئة. ولكن، إذا كانت القيم متقاربة، فإن المشتري ذو القيمة v يعلم أن المشترين ذوي القيم الأقل لديهم معتقدات أكثر تشاؤمًا بشأن توزيع القيم. لذلك، في مزاد العرض الأعلى المغلق، يقدم هؤلاء المشترون ذوو القيم المنخفضة عروضًا أقل مما كانوا سيقدمونه لو كانت لديهم نفس المعتقدات. وبالتالي، لا يضطر المشتري ذو القيمة v إلى المنافسة بشدة، فيقدم عرضًا أقل أيضًا. ومن ثم، يؤدي تأثير المعلومات إلى خفض مبلغ التوازن للفائز في مزاد السعر الأول المغلق.

سنناقش هنا أبسط الحالات التي يوجد فيها مشتريان وقيمة كل مشتري${\displaystyle {{v} _ {i}}=\phi ({{x}_{i}})}$يعتمد الأمر فقط على إشارته الخاصة. عندئذٍ، تكون قيم المشترين خاصة ومرتبطة. في مزاد السعر الثاني المغلق (أو مزاد فيكري )، تُعدّ استراتيجية المزايدة لكل مشترٍ هي المهيمنة. إذا فعل كلا المشترين ذلك، فإن المشتري ذو القيمة v يكون لديه دفعة متوقعة قدرها

${\displaystyle e(v)={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}yf(y|v)dy}{F(v|v)}}}$ (2) .

في مزاد السعر الأول المغلق، تُعتبر دالة العرض المتزايد B ( v ) حالة توازن إذا كانت استراتيجيات المزايدة هي أفضل استجابات متبادلة. أي، إذا كانت قيمة المشتري 1 هي v ، فإن أفضل استجابة له هي المزايدة b = B ( v ) إذا كان يعتقد أن خصمه يستخدم نفس دالة العرض. لنفترض أن المشتري 1 انحرف عن مساره وقدم عرضًا b = B ( z ) بدلًا من B ( v ). ولتكن U(z) هي عائده الناتج. لكي تكون B ( v ) دالة عرض توازن، يجب أن تصل U ( z ) إلى قيمتها القصوى عند x = v . مع عرض b = B ( z )، يفوز المشتري 1 إذا

${\displaystyle B({{v}_{2}})<B(z)}$أي إذا${\displaystyle {{v}_{2}}<z}$ .

ثم يكون احتمال الفوز${\displaystyle w=F(z|v)}$ بحيث يكون العائد المتوقع للمشتري الأول هو

${\displaystyle U(z)=w(vB(z))=F(z|v)(vB(z))}$.

بأخذ اللوغاريتمات والتفاضل بالنسبة إلى z ،

$$$(3)

يمثل الحد الأول على الجانب الأيمن الزيادة النسبية في احتمالية الفوز عندما يرفع المشتري عرضه من ${\displaystyle B(z)}$ ل ${\displaystyle B(z+\Delta z)}$الحد الثاني هو الانخفاض النسبي في العائد في حال فوز المشتري. وقد أوضحنا أنه لتحقيق التوازن، يجب أن تصل دالة U ( z ) إلى قيمتها القصوى عند z = v . وبالتعويض عن z في المعادلة (3) ومساواة المشتقة بالصفر، نحصل على الشرط الضروري التالي.

${\displaystyle {B}'(v)={\frac {f(v|v)}{F(v|v)}}(v-B(v))}$(4)

المشتري رقم 1 بقيمة x لديه ملف PDF مشروط${\displaystyle f({{v}_{2}}|x)}$لنفترض أنه يعتقد ببساطة أن جميع المشترين الآخرين لديهم نفس المعتقدات. في مزاد العطاءات العالية المغلق، يحسب دالة عرض التوازن باستخدام هذه المعتقدات البسيطة. وبناءً على ما سبق، يصبح الشرط (3)

${\displaystyle {\frac {{{U}^{\prime }}(z)}{U(z)}}={\frac {f(z|x)}{F(z|x)}}-{\frac {{B}'(z)}{v-B(z)}}}$(3')

بما أن x > v، فإنه يترتب على ذلك، بحسب الانتماء (انظر الشرط (1))، أن المكسب النسبي من المزايدة الأعلى يكون أكبر في ظل المعتقدات الساذجة التي تُعطي وزنًا أكبر للقيم الأعلى. وكما سبق ذكره، فإن الشرط الضروري للتوازن هو أن تكون (3') صفرًا عند x = v . وبالتالي، فإن دالة المزايدة عند التوازن هي${\displaystyle {{B}_{x}}(v)}$تحقق المعادلة التفاضلية التالية.

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)={\frac {f(v|x)}{F(v|x)}}(v-{{B}_{x}}(v))}$(5)

بالاستناد إلى نظرية تكافؤ الإيرادات، إذا كانت قيم جميع المشترين عبارة عن سحوبات مستقلة من نفس التوزيع، فإن المبلغ المتوقع للفائز يكون متساوياً في المزادين. لذلك، ${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$وبالتالي، لإكمال البرهان، نحتاج إلى إثبات أن${\displaystyle B(x)\leq {{B}_{x}}(x)}$. بالرجوع إلى (1)، يتبع من (4) و (5) أنه لجميع v < x .

${\displaystyle {{B}_{x}}^{\prime }(v)\geq \left({\frac {v-{{B}_{x}}(v)}{v-B(v)}}\right)B(v)}$

لذلك، لأي قيمة v في الفترة [0,x]

${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)>{{0}_{}}{{\Rightarrow }_{}}{B}'(v)-{{B}_{x}}^{\prime }(v)<0}$.

لنفترض أن ${\displaystyle B(x)>{{B}_{x}}(x)}$بما أن عرض التوازن لمشترٍ بقيمة 0 يساوي صفرًا، فلا بد من وجود قيمة y < x بحيث

1. ${\displaystyle {}B(y)-{{B}_{x}}(y)={{0}_{}}}$و
2. ${\displaystyle {}B(v)-{{B}_{x}}(v)>0{{,}_{}}\ \forall v\in [y,x]}$.

لكن هذا مستحيل لأننا أثبتنا للتو أنه خلال هذه الفترة،${\displaystyle B(v)-{{B}_{x}}(v)}$يتناقص. منذ${\displaystyle {{B}_{x}}(x)=e(x)}$ويترتب على ذلك أن المبلغ المتوقع دفعه للفائز بالمزاد يكون أقل في مزاد العروض العالية المغلقة.

ساهم ميلغروم أيضًا في فهم المزادات التوافقية. في عمله مع لاري أوسوبل (أوسوبل وميلغروم، 2002)، تناول مزادات سلع متعددة، قد تكون بدائل أو مكملات. وقد عرّفا آليةً تُسمى "مزاد الوكالة التصاعدي"، تُبنى على النحو التالي: يُبلغ كل مُزايد عن قيمه لوكيل وكيل لجميع الحزم التي يهتم بها. ويمكن أيضًا الإبلاغ عن قيود الميزانية. ثم يُزايد وكيل الوكالة في مزاد تصاعدي مع تقديم عروض الحزم نيابةً عن المُزايد الحقيقي، مُقدمًا بشكل متكرر العرض المسموح به الذي، في حال قبوله، يُعظم ربح المُزايد الحقيقي (القيمة مطروحًا منها السعر)، بناءً على القيم المُبلغ عنها. يُجرى المزاد بزيادات ضئيلة جدًا في العروض. بعد كل جولة، تُحدد العروض الفائزة مؤقتًا التي تُعظم إجمالي الإيرادات من التوليفات الممكنة للعروض. تبقى جميع عروض المُزايد سارية طوال فترة المزاد وتُعامل على أنها عروض حصرية متبادلة. ينتهي المزاد بعد انتهاء جولة دون أي عروض جديدة. يمكن النظر إلى مزاد الوكالة التصاعدي إما على أنه تمثيل مضغوط لمزاد توافقي ديناميكي أو كآلية مباشرة عملية، وهو المثال الأول لما سيطلق عليه ميلجروم لاحقًا "مزاد اختيار النواة".

تُثبت هذه النتائج أنه بالنسبة لأي مجموعة قيم مُبلغ عنها، يُنتج مزاد الوكالة التصاعدي دائمًا نتيجة أساسية ، أي نتيجة ممكنة وغير مُعاقة. علاوة على ذلك، إذا استوفت قيم المُزايدين شرط البدائل، فإن المزايدة الصادقة تُمثل توازن ناش لمزاد الوكالة التصاعدي وتُؤدي إلى نفس نتيجة آلية فيكري-كلارك-غروفز (VCG) . مع ذلك، يُعد شرط البدائل شرطًا ضروريًا وكافيًا في آنٍ واحد: فإذا انتهكت قيم مُزايد واحد فقط شرط البدائل، فمع اختيار مناسب لثلاثة مُزايدين آخرين بقيم قابلة للفصل الجمعي، تقع نتيجة آلية VCG خارج النطاق الأساسي؛ وبالتالي لا يُمكن أن يتطابق مزاد الوكالة التصاعدي مع آلية VCG، ولا يُمكن أن تكون المزايدة الصادقة توازن ناش. كما تُقدم هذه النتائج توصيفًا كاملًا لتفضيلات البدائل: تُعتبر السلع بدائل إذا وفقط إذا كانت دالة المنفعة غير المباشرة شبه معيارية.

يشرح أوسوبل وميلغروم (2006أ، 2006ب) هذه الأفكار ويفصّلانها. وقد طرحت المقالة الأولى، بعنوان "مزاد فيكري الجميل ولكن الوحيد"، نقطةً مهمةً في تصميم السوق. فآلية VCG، على الرغم من جاذبيتها النظرية، تعاني من عدد من نقاط الضعف المحتملة عند انتهاك شرط البدائل، مما يجعلها غير مناسبة للتطبيقات العملية. وعلى وجه الخصوص، قد تُظهر آلية VCG ما يلي: انخفاض (أو انعدام) إيرادات البائع؛ وعدم انتظام إيرادات البائع في مجموعة المزايدين والمبالغ المعروضة؛ وقابلية التواطؤ من قِبل تحالف من المزايدين الخاسرين؛ وقابلية استخدام هويات مزايدة متعددة من قِبل مزايد واحد. وهذا قد يفسر سبب كون تصميم مزاد VCG، على الرغم من جاذبيته النظرية، وحيدًا جدًا في الواقع.

كان للجهود الإضافية التي بذلها ميلغروم بالتعاون مع لاري أوسوبيل وبيتر كرامتون في هذا المجال أثرٌ بالغٌ في تصميم السوق العملي. فقد اقترح أوسوبيل وكرامتون وميلغروم (2006) معًا صيغةً جديدةً للمزاد تُعرف الآن باسم مزاد الساعة التوافقي (CCA)، وتتألف من مرحلة مزاد الساعة تليها جولة تكميلية لتقديم العطاءات المغلقة. تُفسَّر جميع العطاءات على أنها عطاءات حزمية، ويُحدَّد الناتج النهائي للمزاد باستخدام آلية اختيار أساسية. استُخدم مزاد الساعة التوافقي لأول مرة في  مزاد طيف الترددات 10-40 جيجاهرتز في المملكة المتحدة عام 2008. ومنذ ذلك الحين، أصبح معيارًا جديدًا لمزادات الطيف الترددي، حيث استُخدم في مزادات طيف رئيسية في النمسا والدنمارك وأيرلندا وهولندا وسويسرا والمملكة المتحدة، ومن المقرر استخدامه في المزادات القادمة في أستراليا وكندا.

في مؤتمر جائزة نيمرز لعام 2008، سلط الخبير الاقتصادي فيجاي كريشنا ^{[ 6 ]} ولاري أوسوبيل ^{[ 7 ]} من جامعة ولاية بنسلفانيا الضوء على مساهمات ميلجروم في نظرية المزاد وتأثيرها اللاحق على تصميم المزاد.

كما ذُكر، قد لا تُخصّص آلية التسعير الموارد على النحو الأمثل في بعض الأسواق. ومن هذه الأسواق سوق العمل. ففي العادة، لا يُخفّض أصحاب العمل أو الشركات الأجور المعروضة إلى الحد الذي يُساوي بين العرض والطلب في سوق العمل. ما يهم الشركات هو اختيار "العامل الأنسب" تحديدًا. وفي بعض أسواق العمل، يُعدّ اختيار "صاحب العمل الأنسب" مهمًا أيضًا للباحثين عن عمل. ونظرًا لتعطل عملية إبلاغ المشاركين في السوق بتفضيلات بعضهم البعض، ينبغي وضع قواعد لتحسين أداء السوق.

يُعدّ سوق زراعة الكلى تطبيقًا هامًا آخر للمطابقة. فكثيرًا ما يواجه المتقدمون لزراعة الكلى مشكلة نقص الكلى المتوافقة. ويسعى مصممو السوق إلى جعل سوق تبادل الكلى أكثر كفاءة من خلال تصميم أنظمة لمطابقة المتقدمين والمتبرعين. وهناك نوعان رئيسيان من التواصل بين المتقدمين والمتبرعين: نظام التبادل المتسلسل ونظام التبادل الدوري. في التبادل الدوري، يشكّل المتبرعون والمتلقون دورة لتبادل الكلى. ^{[ 15 ]}

ساهم ميلغروم في فهم أثر تبسيط مساحة الرسائل في تصميم السوق العملي. فقد لاحظ وطوّر مفهوم الدمج كعنصر تصميمي هام في العديد من الأسواق، وهو فكرة تقييد قدرة المشارك على التعبير عن تفضيلات متنوعة بإجباره على إدخال القيمة نفسها لتفضيلات مختلفة. ويظهر مثال على الدمج في خوارزمية القبول المؤجل لغيل وشابلي لمطابقة المستشفيات والأطباء، حيث يُسمح للمستشفيات بتقديم تفضيلات محددة فقط (مثل تصنيف الأطباء وقدراتهم)، على الرغم من إمكانية مطالبتها بتقديم تفضيلات بديلة عامة. وفي مزادات البحث المدعوم على الإنترنت، يُسمح للمعلنين بتقديم عرض سعر واحد لكل نقرة، بغض النظر عن مواقع الإعلانات التي يفوزون بها. يُعدّ مفهوم مزاد العناصر العامة المدمجة، وهو مفهوم مشابه وسابق، عنصرًا هامًا في مزاد الساعة التوافقي (أوسوبل، كرامتون، وميلغروم، 2006)، والذي يُستخدم على نطاق واسع في مزادات الطيف الترددي، بما في ذلك مزاد المملكة المتحدة الأخير لتردد 800  ميجاهرتز/2.6  جيجاهرتز، كما تم اقتراحه أيضًا لمزادات الحوافز. ^{[ 16 ]} يُسمح للمزايدين بتحديد كمية الترددات فقط في مرحلة تخصيص المزاد، دون النظر إلى التخصيص المحدد (الذي يُقرر في مرحلة تخصيص لاحقة). يُبين ميلغروم (2010) أنه مع خاصية "إغلاق النتائج" المُحددة، لا يُضيف الدمج أي نتيجة غير مقصودة جديدة كحالة توازن، ويُجادل بأن زيادة كثافة الأسواق قد تُؤدي إلى تكثيف المنافسة السعرية وزيادة الإيرادات.

كتطبيق عملي لفكرة تبسيط الرسائل، يُعرّف ميلغروم (2009) رسائل تخصيص التفضيلات. في هذه الرسائل، يستطيع الوكيل ترميز تفضيلات غير خطية معينة، تتضمن احتمالات استبدال متعددة، إلى أهداف خطية، وذلك بالسماح للوكلاء بوصف "أدوار" متعددة يمكن أن تؤديها العناصر في توليد المنفعة، حيث تُجمع هذه المنفعة. يُمثل تقييم مجموعة من العناصر القيمة القصوى التي يمكن تحقيقها من خلال تخصيصها الأمثل لأدوار مختلفة. يمكن أيضًا تطبيق رسائل التخصيص على تخصيص الموارد دون استخدام المال؛ انظر، على سبيل المثال، مشكلة تخصيص المقررات الدراسية في المدارس، كما حللها بوديش، تشي، كوجيما، وميلغروم (2013). في هذا السياق، قدمت الورقة تعميمًا لنظرية بيركوف-فون نيومان (وهي خاصية رياضية تتعلق بالمصفوفات العشوائية المزدوجة ) وطبقتها لتحليل متى يمكن "تنفيذ" تخصيص عشوائي معين كقرعة على نتائج حتمية ممكنة.

وقد درس هاتفيلد وميلغروم (2005) لغةً أكثر عمومية، وهي رسالة التخصيص الممنوحة . ويقدم ميلغروم نظرة عامة على هذه القضايا في كتابه (2011).