طريقة المصفوفة الهندسية

في نظرية الاحتمالات ، تُعدّ طريقة المصفوفة الهندسية أسلوبًا لتحليل عمليات شبه الولادة والوفاة ، وهي سلسلة ماركوف ذات زمن مستمر ، حيث تتميز مصفوفة معدل الانتقال فيها ببنية كتلية متكررة. ^{[ 1 ]} وقد طُوّرت هذه الطريقة "بشكل كبير على يد مارسيل ف. نوتس وطلابه بدءًا من عام 1975 تقريبًا". ^{[ 2 ]}

تتطلب هذه الطريقة مصفوفة معدل انتقال ذات بنية كتلية ثلاثية الأقطار كما يلي

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}}$

حيث أن كلًا من B00 _و B01 و B10 و _A0 و _{A1 و} A2 عبارة عن مصفوفات _. لحساب التوزيع الثابت π، بكتابة πQ = 0 ، _تُؤخذ معادلات التوازن في _{الاعتبار} للمتجهات الفرعية πi   

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}B_{00}+\pi _{1}B_{10}&=0\\\pi _{0}B_{01}+\pi _{1}A_{1}+\pi _{2}A_{0}&=0\\\pi _{1}A_{2}+\pi _{2}A_{1}+\pi _{3}A_{0}&=0\\&\vdots \\\pi _{i-1}A_{2}+\pi _{i}A_{1}+\pi _{i+1}A_{0}&=0\\&\vdots \\\end{aligned}}}$

لاحظ أن العلاقة

${\displaystyle \pi _{i}=\pi _{1}R^{i-1}}$

يتحقق ذلك حيث R هي مصفوفة معدل نيوتس، ^{[ 3 ]} والتي يمكن حسابها عدديًا. باستخدام هذا نكتب

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\pi _{0}&\pi _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}+RA_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

والتي يمكن حلها لإيجاد π ₀ و π ₁ وبالتالي بشكل تكراري جميع قيم π _i .

يمكن حساب المصفوفة R باستخدام الاختزال الدوري ^{[ 4 ]} أو الاختزال اللوغاريتمي. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

^{تُعدّ طريقة} التحليل المصفوفي نسخةً أكثر تعقيدًا من طريقة الحل الهندسي المصفوفي _، وتُستخدم لتحليل النماذج ذات المصفوفات الكتلية M/G/1 ^{. [ 7 ] وتُعتبر} هذه النماذج أكثر صعوبةً لعدم وجود علاقة مثل _πᵢ = π₁Rᵢ₋₁ المذكورة أعلاه. ^{[ 8 ]}     

• نمذجة الأداء وسلاسل ماركوف (الجزء الثاني) بقلم ويليام ج. ستيوارت في الدورة الدولية السابعة حول الأساليب الرسمية لتصميم أنظمة الحاسوب والاتصالات والبرمجيات: تقييم الأداء