مخطط المزاج

في الهندسة، يُعد مخطط مودي ( أو مخطط ستانتون ) رسمًا بيانيًا غير بُعدي يربط بين معامل الاحتكاك دارسي-وايزباخ ( fD ₎ ورقم رينولدز ( Re) وخشونة السطح لتدفق متطور بالكامل في أنبوب دائري. ويمكن استخدامه للتنبؤ بانخفاض الضغط أو معدل التدفق في هذا الأنبوب.

في عام 1944، رسم لويس فيري مودي معامل احتكاك دارسي-وايزباخ مقابل عدد رينولدز (Re) لقيم مختلفة للخشونة النسبية ( ε/ D) . ^{[ 1 ]} أصبح هذا الرسم البياني يُعرف باسم مخطط مودي. وهو مُقتبس من عمل هنتر راوس ^{[ 2 ]،} ولكنه يستخدم الإحداثيات الأكثر عملية التي اعتمدها آر. جيه. إس. بيجوت ^{[ 3 ]،} والذي استند عمله إلى تحليل حوالي 10000 تجربة من مصادر مختلفة. ^{[ 4 ]} كانت قياسات تدفق السوائل في الأنابيب ذات الأسطح الخشنة صناعيًا التي أجراها جيه. نيكورادزه ^{[ 5 ]} حديثة جدًا في ذلك الوقت بحيث لم تُدرج في مخطط بيجوت.

كان الغرض من الرسم البياني هو توفير تمثيل بياني لوظيفة CF Colebrook بالتعاون مع CM White، ^{[ 6 ]} والذي وفر شكلاً عمليًا لمنحنى الانتقال لسد منطقة الانتقال بين الأنابيب الملساء والخشنة، وهي منطقة الاضطراب غير الكامل.

استخدم فريق مودي البيانات المتاحة (بما في ذلك بيانات نيكورادزه) لإثبات أن تدفق السوائل في الأنابيب الخشنة يمكن وصفه بأربع كميات لا بُعدية: عدد رينولدز، ومعامل فقدان الضغط، ونسبة قطر الأنبوب، والخشونة النسبية للأنبوب. ثم قاموا بإنشاء رسم بياني واحد يُظهر أن جميع هذه الكميات تتجمع في سلسلة من الخطوط، تُعرف الآن باسم مخطط مودي. يُستخدم هذا المخطط اللا بُعدي لحساب انخفاض الضغط.${\displaystyle \Delta p}$(Pa) (أو فقدان الرأس،${\displaystyle h_{f}}$(م)) ومعدل التدفق عبر الأنابيب. يمكن حساب فقدان الضغط باستخدام معادلة دارسي-وايزباخ حيث معامل احتكاك دارسي${\displaystyle f_{D}}$يظهر  :

${\displaystyle h_{f}=f_{D}{\frac {L}{D}}{\frac {V^{2}}{2\,g}};}$

ويمكن بعد ذلك تقييم انخفاض الضغط على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta p=\rho \,g\,h_{f}}$

أو مباشرة من

${\displaystyle \Delta p=f_{D}{\frac {\rho V^{2}}{2}}{\frac {L}{D}},}$

أين${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل،${\displaystyle V}$هي متوسط ​​السرعة في الأنبوب،${\displaystyle f_{D}}$هو عامل الاحتكاك من مخطط مودي،${\displaystyle L}$هو طول الأنبوب و${\displaystyle D}$هو قطر الأنبوب.

يوضح الرسم البياني معامل الاحتكاك دارسي-وايزباخ${\displaystyle f_{D}}$مقابل رقم رينولدز Re لمجموعة متنوعة من الخشونة النسبية، نسبة متوسط ​​ارتفاع خشونة الأنبوب إلى قطر الأنبوب أو${\displaystyle \epsilon /D}$.

يمكن تقسيم مخطط مودي إلى نظامين للتدفق: التدفق الصفائحي والتدفق المضطرب . بالنسبة لنظام التدفق الصفائحي (${\displaystyle Re}$(< 3000 تقريبًا)، لا يكون للخشونة تأثير ملحوظ، ومعامل احتكاك دارسي-وايزباخ${\displaystyle f_{D}}$تم تحديده تحليليًا بواسطة بويزوي :

${\displaystyle f_{D}=64/\mathrm {Re} ,{\text{للتدفق الصفائحي}}.}$

بالنسبة لنظام التدفق المضطرب، فإن العلاقة بين معامل الاحتكاك${\displaystyle f_{D}}$رقم رينولدز Re، والخشونة النسبية${\displaystyle \epsilon /D}$الأمر أكثر تعقيدًا. أحد النماذج التي تصف هذه العلاقة هو معادلة كولبروك (وهي معادلة ضمنية في${\displaystyle f_{D}}$):

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {f_{D}}}}=-2.0\log _{10}\left({\frac {\epsilon /D}{3.7}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{D}}}}}\right),{\text{للتدفق المضطرب}}.}$

يجب عدم الخلط بين هذه الصيغة ومعادلة فانينغ ، التي تستخدم معامل احتكاك فانينغ.${\displaystyle f}$، يساوي ربع معامل احتكاك دارسي-وايزباخ${\displaystyle f_{D}}$هنا يكون انخفاض الضغط كالتالي:

${\displaystyle \Delta p={\frac {\rho V^{2}}{2}}{\frac {4fL}{D}},}$

فقدان الاحتكاك

صيغ معامل الاحتكاك دارسي