معادلة دارسي-فايسباخ

في ديناميكا الموائع ، معادلة دارسي-فايسباخ هي معادلة تجريبية تربط بين فقدان الضغط ، أو فقدان الضغط ، بسبب الاحتكاك على طول معين من الأنبوب والسرعة المتوسطة لتدفق المائع لسائل غير قابل للانضغاط. سميت المعادلة على اسم هنري دارسي وجوليوس فايسباخ . حاليًا، لا توجد صيغة أكثر دقة أو قابلة للتطبيق عالميًا من معادلة دارسي-فايسباخ التي تكملها مخطط مودي أو معادلة كولبروك . ^[1]

تحتوي معادلة دارسي-فايسباخ على عامل احتكاك بلا أبعاد ، يُعرف بعامل احتكاك دارسي . ويُطلق عليه أيضًا اسم عامل احتكاك دارسي-فايسباخ، أو عامل الاحتكاك، أو معامل المقاومة، أو معامل التدفق. ^[أ]

تُنسب معادلة دارسي-فايسباخ، جنبًا إلى جنب مع مخطط مودي لحساب خسائر الضغط في الأنابيب، تقليديًا إلى هنري دارسي وجوليوس فايسباخ ولويس فيري مودي . ومع ذلك، فإن تطوير هذه الصيغ والمخططات شمل أيضًا علماء ومهندسين آخرين على مدار تطورها التاريخي. بشكل عام، توفر معادلة برنولي خسائر الضغط ولكن من حيث الكميات غير المعروفة مسبقًا، مثل الضغط. لذلك، تم البحث عن علاقات تجريبية لربط خسارة الضغط بكميات مثل قطر الأنبوب وسرعة السائل. ^[3]

لم يكن يوليوس فايزباخ بالتأكيد أول من قدم صيغة تربط بين طول وقطر الأنبوب ومربع سرعة السائل. في الواقع، نشر أنطوان شيزي (1718-1798) صيغة في عام 1770، على الرغم من إشارتها إلى القنوات المفتوحة (أي غير الخاضعة للضغط)، إلا أنها كانت متطابقة رسميًا مع الصيغة التي قدمها فايزباخ لاحقًا، شريطة إعادة صياغتها من حيث نصف القطر الهيدروليكي . ومع ذلك، فقدت صيغة شيزي حتى عام 1800، عندما نشر غاسبار دي بروني (أحد طلابه السابقين) تقريرًا يصف نتائجه. ومن المرجح أن فايزباخ كان على علم بصيغة شيزي من خلال منشورات بروني. ^[4]

تم اقتراح صيغة فايسباخ في عام 1845 بالشكل الذي نستخدمه حتى اليوم:

${\displaystyle \Delta H=f\cdot {LV^{2} \over {2gD}}}$

أين:

• ${\displaystyle \دلتا ه}$: فقدان الرأس.
• ${\displaystyle L}$:طول الأنبوب.
• ${\displaystyle D}$: قطر الأنبوب.
• ${\displaystyle V}$: سرعة السائل.
• ${\displaystyle g}$: تسارع الجاذبية الأرضية .

ومع ذلك، تم التعبير عن عامل الاحتكاك f بواسطة Weisbach من خلال الصيغة التجريبية التالية:

${\displaystyle f=\alpha +{\beta \over {\sqrt {V}}}}$

مع واعتمادًا على القطر ونوع جدار الأنبوب. ^[5] نُشر عمل فايسباخ في الولايات المتحدة الأمريكية عام 1848 وسرعان ما أصبح معروفًا هناك. على النقيض من ذلك، لم يكتسب في البداية الكثير من الجاذبية في فرنسا ، حيث استمر استخدام معادلة بروني ، التي كان لها شكل متعدد الحدود من حيث السرعة (غالبًا ما يتم تقريبها بمربع السرعة). وبعيدًا عن التطورات التاريخية، كان لصيغة فايسباخ ميزة موضوعية تتمثل في الالتزام بالتحليل الأبعادي ، مما أدى إلى عامل احتكاك بلا أبعاد f. تميل تعقيد f، الذي يعتمد على ميكانيكا الطبقة الحدودية ونظام التدفق (الرقائقي أو الانتقالي أو المضطرب)، إلى إخفاء اعتماده على الكميات في صيغة فايسباخ، مما دفع العديد من الباحثين إلى استنباط صيغ تجريبية غير منطقية وغير متسقة من حيث الأبعاد. ^[6] لم يمض وقت طويل بعد عمل فايسباخ حتى أصبح من المفهوم أن عامل الاحتكاك f يعتمد على نظام التدفق ولا يعتمد على رقم رينولدز (وبالتالي السرعة) فقط في حالة الأنابيب الخشنة في نظام تدفق مضطرب (معادلة براندتل-فون كارمان). ^[7]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

في أنبوب أسطواني بقطر موحد D ، يتدفق بالكامل، فإن فقدان الضغط بسبب التأثيرات اللزجة Δ p يتناسب مع الطول L ويمكن وصفه بمعادلة دارسي-فايسباخ: ^[8]

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle } ^{2}}{D_{H}}},}$

حيث فقدان الضغط لكل وحدة طولΔ ص/ل(وحدات النظام الدولي للوحدات : Pa / m2 ) هي دالة لـ:

${\displaystyle \rho }$، كثافة السائل (كجم/م ³ )؛

${\displaystyle D_{H}}$، القطر الهيدروليكي للأنبوب (بالنسبة للأنبوب ذي المقطع الدائري، يساوي هذا D ؛ وإلا فإن D _H = 4A/P بالنسبة للأنبوب ذي مساحة المقطع العرضي A والمحيط P ) (م)؛

${\displaystyle \langle v\rangle }$متوسط ​​سرعة التدفق ، تم قياسه تجريبياً باعتباره معدل التدفق الحجمي Q لكل وحدة مساحة مقطعية مبللة (م/ثانية)؛

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$، عامل احتكاك دارسي (يسمى أيضًا معامل التدفق λ ^{[9] [10]} ).

بالنسبة للتدفق الرقائقي في أنبوب دائري بقطر ، فإن عامل الاحتكاك يتناسب عكسياً مع رقم رينولدز وحده ( f _D  =  ⁠${\displaystyle D_{c}}$64/يكرر) والتي يمكن التعبير عنها من حيث الكميات الفيزيائية التي يمكن قياسها أو نشرها بسهولة (انظر القسم أدناه). من خلال إجراء هذا الاستبدال، تتم إعادة كتابة معادلة دارسي-فايسباخ على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

أين

μ هي اللزوجة الديناميكية للسائل(Pa·s = N·s/m ² = kg/(m·s)) ;

Q هو معدل التدفق الحجمي ، المستخدم هنا لقياس التدفق بدلاً من متوسط ​​السرعة وفقًا لـ Q =π/4⁠ د _ج ² < ف > (م ³ /ث).

لاحظ أن هذا الشكل الرقائقي لدارسي-فايسباخ يعادل معادلة هاجن-بوازويل ، والتي تم اشتقاقها تحليليًا من معادلات نافير-ستوكس .

يعبر فقدان الرأس Δ h (أو h _f ) عن فقدان الضغط بسبب الاحتكاك من حيث الارتفاع المكافئ لعمود من السائل العامل، وبالتالي فإن انخفاض الضغط هو

${\displaystyle \دلتا p=\rho g\,\دلتا h,}$

أين:

Δ h = فقدان الضغط بسبب احتكاك الأنبوب على طول الأنبوب المحدد (وحدات النظام الدولي للوحدات: م)؛ ^[ب]

g = التسارع المحلي بسبب الجاذبية (م/ث ² ).

من المفيد تقديم خسارة الرأس لكل طول الأنبوب (بدون أبعاد):

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

حيث L هو طول الأنبوب ( م ).

لذلك، يمكن أيضًا كتابة معادلة دارسي-فايسباخ من حيث خسارة الرأس: ^[11]

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

العلاقة بين متوسط ​​سرعة التدفق <v> ومعدل التدفق الحجمي Q هي

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

أين:

س = التدفق الحجمي (م ³ / ثانية)،

أ = مساحة المقطع المبللة (م ² ).

في أنبوب دائري كامل التدفق بقطر ، ${\displaystyle D_{c}}$

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

ثم معادلة دارسي-فايسباخ من حيث Q هي

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

يتم التعبير عن متوسط ​​إجهاد القص الجداري τ في الأنبوب أو القناة المفتوحة من حيث عامل احتكاك دارسي-فايسباخ على النحو التالي ^[12]

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.}$

تبلغ وحدة قياس إجهاد القص الجداري في النظام الدولي للوحدات باسكال (Pa).

عامل الاحتكاك f _D ليس ثابتًا: فهو يعتمد على أشياء مثل خصائص الأنبوب (القطر D وارتفاع الخشونة ε ) وخصائص السائل (اللزوجة الحركية ν [nu]) وسرعة تدفق السائل ⟨ v ⟩ . وقد تم قياسه بدقة عالية في أنظمة تدفق معينة ويمكن تقييمه باستخدام علاقات تجريبية مختلفة، أو يمكن قراءته من الرسوم البيانية المنشورة. غالبًا ما يشار إلى هذه الرسوم البيانية باسم مخططات مودي ، بعد LF Moody ، وبالتالي يُطلق على العامل نفسه أحيانًا خطأً عامل احتكاك مودي . ويُطلق عليه أحيانًا أيضًا عامل احتكاك بلاسيوس ، بعد الصيغة التقريبية التي اقترحها.

يوضح الشكل 1 قيمة f _D كما تم قياسها بواسطة المجربين للعديد من السوائل المختلفة، على مدى مجموعة واسعة من أرقام رينولدز، وللأنابيب ذات ارتفاعات خشونة مختلفة. هناك ثلاثة أنظمة عريضة لتدفق السوائل التي تم مواجهتها في هذه البيانات: الصفائحي، والحرج، والمضطرب.

بالنسبة للتدفقات الصفائحية (السلسة) ، فهي نتيجة لقانون بوازويل (الذي ينبع من حل كلاسيكي دقيق لتدفق السوائل)

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

حيث Re هو رقم رينولدز

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},}$

وحيث μ هي لزوجة السائل و

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

تُعرف باللزوجة الحركية . في هذا التعبير عن رقم رينولدز، يُؤخذ الطول المميز D على أنه القطر الهيدروليكي للأنبوب، والذي يساوي القطر الداخلي لأنبوب أسطواني يتدفق بالكامل. في الشكلين 1 و2 لعامل الاحتكاك مقابل رقم رينولدز، يوضح النظام Re < 2000 التدفق الصفحي؛ يتم تمثيل عامل الاحتكاك بشكل جيد بالمعادلة أعلاه. ^[ج]

في الواقع، يمكن وصف خسارة الاحتكاك في النظام الصفائحي بشكل أكثر دقة بأنها تتناسب مع سرعة التدفق، وليس متناسبة مع مربع تلك السرعة: يمكن للمرء أن يعتبر معادلة دارسي-فايسباخ غير قابلة للتطبيق حقًا في نظام التدفق الصفائحي.

في التدفق الرقائقي، تنشأ خسارة الاحتكاك من انتقال الزخم من السائل في مركز التدفق إلى جدار الأنبوب عبر لزوجة السائل؛ ولا توجد دوامات في التدفق. لاحظ أن خسارة الاحتكاك غير حساسة لارتفاع خشونة الأنبوب ε : سرعة التدفق في جوار جدار الأنبوب تساوي صفرًا.

بالنسبة لأرقام رينولدز في النطاق 2000 < Re < 4000 ، يكون التدفق غير مستقر (يتغير بشكل كبير مع الوقت) ويختلف من قسم إلى آخر من الأنبوب (لم يتم "تطويره بالكامل"). يتضمن التدفق التكوين الأولي للدوامات؛ وهو أمر غير مفهوم جيدًا.

بالنسبة لرقم رينولدز الأكبر من 4000، يكون التدفق مضطربًا؛ تتبع مقاومة التدفق معادلة دارسي-فايسباخ: فهي تتناسب مع مربع متوسط ​​سرعة التدفق. على مدى العديد من أوامر الحجم من Re ( 4000 < Re < 10 ⁸ )، يختلف عامل الاحتكاك بأقل من مرتبة واحدة من حيث الحجم ( 0.006 < f _D < 0.06 ). داخل نظام التدفق المضطرب، يمكن تقسيم طبيعة التدفق إلى نظام حيث يكون جدار الأنبوب أملسًا بشكل فعال، ونظام حيث يكون ارتفاع خشونة السطح بارزًا.

عندما يكون سطح الأنبوب أملسًا (منحنى "الأنبوب الأملس" في الشكل 2)، يمكن نمذجة تغير عامل الاحتكاك مع Re بواسطة معادلة مقاومة كارمان-براندل للتدفق المضطرب في الأنابيب الملساء ^[9] مع ضبط المعلمات بشكل مناسب

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.}$

الأرقام 1.930 و 0.537 هي ظاهراتية؛ توفر هذه القيم المحددة ملاءمة جيدة إلى حد ما للبيانات. ^[13] يمكن اعتبار حاصل الضرب Re √ f _D (المسمى "رقم رينولدز الاحتكاكي")، مثل رقم رينولدز، معلمة (بدون أبعاد) للتدفق: عند قيم ثابتة لـ Re √ f _D ، يكون عامل الاحتكاك ثابتًا أيضًا.

في معادلة مقاومة كارمان-براندل، يمكن التعبير عن f _D في شكل مغلق كدالة تحليلية لـ Re من خلال استخدام دالة لامبرت W :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}$

في نظام التدفق هذا، تكون العديد من الدوامات الصغيرة مسؤولة عن نقل الزخم بين كتلة السائل وجدار الأنبوب. ومع زيادة رقم رينولدز للاحتكاك Re √ f _D ، يقترب شكل سرعة السائل من الجدار بشكل مقارب، وبالتالي نقل المزيد من الزخم إلى جدار الأنبوب، كما هو موضح في نظرية طبقة حدود بلاسيوس .

عندما يكون ارتفاع خشونة سطح الأنبوب ε كبيرًا (عادةً عند رقم رينولدز مرتفع)، ينحرف عامل الاحتكاك عن منحنى الأنبوب الأملس، ويقترب في النهاية من قيمة مقاربة (نظام "الأنبوب الخشن"). في هذا النظام، تختلف مقاومة التدفق وفقًا لمربع متوسط ​​سرعة التدفق ولا تتأثر برقم رينولدز. هنا، من المفيد استخدام معلمة أخرى بلا أبعاد للتدفق، وهي رقم رينولدز للخشونة ^[14]

${\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}}$

حيث يتم قياس ارتفاع الخشونة ε إلى قطر الأنبوب D.

من المفيد رسم دالة الخشونة B : ^[17]

${\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

يوضح الشكل 3 B مقابل R _∗ لبيانات الأنابيب الخشنة لـ Nikuradse، ^[14] Shockling، ^[18] و Langelandsvik. ^[19]

في هذا العرض، البيانات عند نسبة خشونة مختلفةي/دتتساقط معًا عند رسمها مقابل R _∗ ، مما يوضح التدرج في المتغير R _∗ . تتوفر الميزات التالية:

• عندما يكون ε = 0 ، فإن R _∗ يساوي صفرًا تمامًا: يكون التدفق دائمًا في نظام الأنبوب الأملس. تقع بيانات هذه النقاط في أقصى يسار المحور السيني ولا تقع ضمن إطار الرسم البياني.
• عندما يكون R _∗ < 5 ، تقع البيانات على الخط B ( R _∗ ) = R _∗ ؛ يكون التدفق في نظام الأنابيب السلس.
• عندما تكون R _∗ > 100 ، تقترب البيانات بشكل مقارب من خط أفقي؛ فهي مستقلة عن Re و f _D و⁠ي/د⁠ .
• يشكل النطاق المتوسط ​​5 < R _∗ < 100 انتقالًا من سلوك إلى آخر. تنطلق البيانات من الخط B ( R _∗ ) = R _∗ ببطء شديد، وتصل إلى أقصى حد بالقرب من R _∗ = 10 ، ثم تنخفض إلى قيمة ثابتة.

يستخدم ملاءمة أفزال لهذه البيانات في الانتقال من تدفق الأنابيب السلس إلى تدفق الأنابيب الخشنة تعبيرًا أسيًا في R _∗ يضمن السلوك السليم لـ 1 < R _∗ < 50 (الانتقال من نظام الأنابيب السلس إلى نظام الأنابيب الخشنة): ^{[15] [20] [21]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}\left(1+0.305R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

و

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

تشترك هذه الدالة في نفس القيم الخاصة بمصطلحها مع معادلة مقاومة كارمان-براندل، بالإضافة إلى معامل واحد 0.305 أو 0.34 لتناسب السلوك المقارب لـ R _∗ → ∞ بالإضافة إلى معامل آخر، 11، للتحكم في الانتقال من التدفق السلس إلى التدفق الخشن. وهو موضح في الشكل 3.

يصبح عامل الاحتكاك لخشونة مماثلة أخرى

 :${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.0\,\log _{10}\left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}\left\{1+0.305R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

و

:${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\,\log _{10}\left({\frac {1.91}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}\left\{1+0.34R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

تتقاسم هذه الدالة نفس القيم الخاصة بمصطلحها بشكل مشترك مع معادلة مقاومة كارمان-برانتل، بالإضافة إلى معامل واحد 0.305 أو 0.34 لتناسب السلوك المقارب لـ R _∗ → ∞ بالإضافة إلى معامل آخر، 26، للتحكم في الانتقال من التدفق السلس إلى التدفق الخشن.

تتناسب علاقة كولبروك-وايت ^[16] مع عامل الاحتكاك مع دالة من النموذج

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}$^[د]

تتمتع هذه العلاقة بالسلوك الصحيح عند القيم القصوى لـ R _∗ ، كما هو موضح بالمنحنى المسمى في الشكل 3: عندما تكون R _∗ صغيرة، فإنها تتوافق مع تدفق الأنابيب السلس، وعندما تكون كبيرة، فإنها تتوافق مع تدفق الأنابيب الخشنة. ومع ذلك، فإن أداءها في المجال الانتقالي يبالغ في تقدير عامل الاحتكاك بهامش كبير. ^[18] يعترف كولبروك بالتناقض مع بيانات نيكورادسه ولكنه يزعم أن علاقته تتوافق مع القياسات على الأنابيب التجارية. في الواقع، تختلف هذه الأنابيب كثيرًا عن تلك التي أعدها نيكورادسه بعناية: تتميز أسطحها بارتفاعات خشونة مختلفة وتوزيع مكاني عشوائي لنقاط الخشونة، في حين أن أنابيب نيكورادسه لها أسطح بارتفاع خشونة موحد، مع نقاط مضغوطة بشكل وثيق للغاية.

بالنسبة للتدفق المضطرب ، تتضمن طرق إيجاد عامل الاحتكاك f _D استخدام مخطط، مثل مخطط مودي ، أو حل معادلات مثل معادلة كولبروك-وايت (التي يستند إليها مخطط مودي)، أو معادلة سوامي-جين . في حين أن علاقة كولبروك-وايت هي، في الحالة العامة، طريقة تكرارية، فإن معادلة سوامي-جين تسمح بإيجاد f _D مباشرة للتدفق الكامل في أنبوب دائري. ^[11]

في التطبيقات الهندسية النموذجية، ستكون هناك مجموعة من الكميات المعطاة أو المعروفة. تسارع الجاذبية g واللزوجة الحركية للسائل ν معروفان، وكذلك قطر الأنبوب D وارتفاع خشونة الأنبوب ε . إذا كانت خسارة الضغط لكل وحدة طول S كمية معروفة أيضًا ، فيمكن حساب عامل الاحتكاك f _D مباشرة من دالة التركيب المختارة. حل معادلة دارسي-فايسباخ لـ √ f _D ،

${\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}}$

يمكننا الآن التعبير عن Re √ f _D :

${\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}$

التعبير عن خشونة رقم رينولدز R _∗ ،

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}$

لدينا المعلمتان المطلوبتان للاستبدال في علاقة كولبروك-وايت، أو أي دالة أخرى، لعامل الاحتكاك f _D ، وسرعة التدفق ⟨ v ⟩ ، ومعدل التدفق الحجمي Q.

معامل احتكاك دارسي-فايسباخ f _D أكبر بأربع مرات من معامل احتكاك فانينج f ، لذا يجب الانتباه إلى أي منهما المقصود في أي مخطط أو معادلة "لمعامل الاحتكاك" قيد الاستخدام. من بين الاثنين، يُستخدم معامل دارسي-فايسباخ f _D بشكل أكثر شيوعًا من قبل المهندسين المدنيين والميكانيكيين، ومعامل فانينج f من قبل المهندسين الكيميائيين، ولكن يجب توخي الحذر لتحديد العامل الصحيح بغض النظر عن مصدر المخطط أو الصيغة.

لاحظ أن

${\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}$

تشير معظم المخططات أو الجداول إلى نوع عامل الاحتكاك، أو على الأقل توفر صيغة لعامل الاحتكاك مع التدفق الرقائقي. إذا كانت صيغة التدفق الرقائقي هي f = ⁠16/يكرر⁠ ، هو عامل التهوية f ، وإذا كانت صيغة التدفق الرقائقي هي f _D = ⁠64/يكرر، هو عامل دارسي-فايسباخ f _D .

يمكن تحديد عامل الاحتكاك الموضح في مخطط مودي عن طريق الفحص إذا لم يدرج الناشر الصيغة الموضحة أعلاه:

1. لاحظ قيمة عامل الاحتكاك للتدفق الرقائقي عند رقم رينولدز 1000.
2. إذا كانت قيمة عامل الاحتكاك 0.064، فسيتم رسم عامل احتكاك دارسي في مخطط مودي. لاحظ أن الأرقام غير الصفرية في 0.064 هي البسط في صيغة عامل احتكاك دارسي الصفائحي: f _D = ⁠64/يكرر⁠ .
3. إذا كانت قيمة عامل الاحتكاك 0.016، فسيتم رسم عامل احتكاك فانينج في مخطط مودي. لاحظ أن الأرقام غير الصفرية في 0.016 هي البسط في صيغة عامل احتكاك فانينج الصفائحي: f = ⁠16/يكرر⁠ .

الإجراء المذكور أعلاه مماثل لأي عدد رينولدز متاح يكون قوة صحيحة للرقم عشرة. ليس من الضروري تذكر القيمة 1000 لهذا الإجراء - فقط أن القوة الصحيحة للرقم عشرة مهمة لهذا الغرض.

نشأت هذه المعادلة تاريخيًا كمتغير لمعادلة بروني ؛ وقد طور هذا المتغير هنري دارسي من فرنسا، وتم تحسينه بشكل أكبر إلى الشكل المستخدم اليوم من قبل يوليوس فايسباخ من ساكسونيا في عام 1845. في البداية، كانت البيانات حول تغير f _D مع السرعة مفقودة، لذلك تفوقت معادلة بروني التجريبية في البداية على معادلة دارسي-فايسباخ في العديد من الحالات. في السنوات اللاحقة، تم تجنبها في العديد من حالات الحالات الخاصة لصالح مجموعة متنوعة من المعادلات التجريبية الصالحة فقط لأنظمة تدفق معينة، ولا سيما معادلة هازن ويليامز أو معادلة مانينغ ، والتي كان معظمها أسهل بكثير في الاستخدام في الحسابات. ومع ذلك، منذ ظهور الآلة الحاسبة ، لم تعد سهولة الحساب مشكلة كبيرة، وبالتالي فإن عمومية معادلة دارسي-فايسباخ جعلتها المفضلة. ^[22]

بعيدًا عن أطراف الأنبوب، تكون خصائص التدفق مستقلة عن الموضع على طول الأنبوب. تكون الكميات الأساسية بعد ذلك هي انخفاض الضغط على طول الأنبوب لكل وحدة طول ،Δ ص/ل⁠ ومعدل التدفق الحجمي. يمكن تحويل معدل التدفق إلى متوسط ​​سرعة التدفق V عن طريق القسمة على المساحة المبللة للتدفق (والتي تساوي مساحة المقطع العرضي للأنبوب إذا كان الأنبوب ممتلئًا بالسائل).

للضغط أبعاد طاقة لكل وحدة حجم، وبالتالي فإن انخفاض الضغط بين نقطتين يجب أن يكون متناسبًا مع الضغط الديناميكي q. نعلم أيضًا أن الضغط يجب أن يكون متناسبًا مع طول الأنبوب بين النقطتين L حيث أن انخفاض الضغط لكل وحدة طول هو ثابت. لتحويل العلاقة إلى معامل تناسب لكمية بلا أبعاد، يمكننا القسمة على القطر الهيدروليكي للأنبوب، D ، وهو ثابت أيضًا على طول الأنبوب. لذلك،

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q={\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\langle v\rangle }^{2}}$

معامل التناسب هو " معامل احتكاك دارسي " أو "معامل التدفق" عديم الأبعاد. سيكون هذا المعامل عديم الأبعاد عبارة عن مجموعة من العوامل الهندسية مثل π ورقم رينولدز و(خارج النظام الصفحي) الخشونة النسبية للأنبوب (نسبة ارتفاع الخشونة إلى القطر الهيدروليكي ).

لاحظ أن الضغط الديناميكي ليس هو الطاقة الحركية للسائل لكل وحدة حجم، ^{[ بحاجة لمصدر ]} للأسباب التالية. حتى في حالة التدفق الصفحي ، حيث تكون جميع خطوط التدفق موازية لطول الأنبوب، فإن سرعة السائل على السطح الداخلي للأنبوب تساوي صفرًا بسبب اللزوجة، وبالتالي يجب أن تكون السرعة في وسط الأنبوب أكبر من متوسط ​​السرعة التي تم الحصول عليها عن طريق قسمة معدل التدفق الحجمي على المساحة الرطبة. ثم تتضمن الطاقة الحركية المتوسطة جذر متوسط ​​مربع السرعة ، والذي يتجاوز دائمًا متوسط ​​السرعة. في حالة التدفق المضطرب ، يكتسب السائل مكونات سرعة عشوائية في جميع الاتجاهات، بما في ذلك الاتجاه العمودي على طول الأنبوب، وبالتالي تساهم الاضطرابات في الطاقة الحركية لكل وحدة حجم ولكن ليس في متوسط ​​السرعة الطولية للسائل.

في تطبيق الهندسة الهيدروليكية ، من المعتاد أن يكون التدفق الحجمي Q داخل الأنبوب (أي إنتاجيته) وفقدان الضغط لكل وحدة طول S (استهلاك الطاقة المصاحب) من العوامل المهمة الحاسمة. والنتيجة العملية هي أنه بالنسبة لمعدل تدفق حجمي ثابت Q ، فإن فقدان الضغط S يتناقص مع القوة الخامسة العكسية لقطر الأنبوب، D. إن مضاعفة قطر الأنبوب وفقًا لجدول زمني معين (على سبيل المثال، جدول ANSI 40) يضاعف تقريبًا كمية المواد المطلوبة لكل وحدة طول وبالتالي تكلفة تركيبه. وفي الوقت نفسه، يتم تقليل فقدان الضغط بعامل 32 (انخفاض بنسبة 97٪ تقريبًا). وبالتالي يتم تقليل الطاقة المستهلكة في تحريك تدفق حجمي معين من السائل بشكل كبير مقابل زيادة متواضعة في تكلفة رأس المال.

إن دقة معادلة دارسي-فايسباخ وإمكانية تطبيقها على نطاق واسع تجعلها الصيغة المثالية للتدفق في الأنابيب. وتتلخص مزايا المعادلة فيما يلي: ^[1]

• فهو يعتمد على الأساسيات.
• فهو متسق الأبعاد.
• فهو مفيد لأي سائل، بما في ذلك النفط والغاز والمحلول الملحي والطين.
• يمكن اشتقاقها تحليليًا في منطقة التدفق الرقائقي.
• فهو مفيد في منطقة الانتقال بين التدفق الصفحي والتدفق المضطرب المتطور بالكامل.
• تم توثيق تغير عامل الاحتكاك بشكل جيد.

• مبدأ برنولي
• صيغة معامل احتكاك دارسي
• رقم أويلر
• فقدان الاحتكاك
• معادلة هازن-ويليامز
• معادلة هاجن-بوازويل
• أنبوب الماء

18. أفزال، نور (2013) "تأثيرات خشونة الأنابيب الفولاذية التجارية في التدفق المضطرب: القياس الشامل". المجلة الكندية للهندسة المدنية 40، 188-193.

• دي نيفيرز (1970). ميكانيكا الموائع . أديسون ويسلي. ISBN 0-201-01497-1.
• شاه، ر. ك.؛ لندن، ألاباما (1978). "التدفق الصفحي القسري للحمل الحراري في القنوات". الملحق 1 إلى التطورات في نقل الحرارة . نيويورك: أكاديميك.
• Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganić, EN (1985). Handbook of Heat Transfer Fundamentals (الطبعة الثانية). McGraw–Hill Book Company. ISBN 0-07-053554-X.
• جلين أو. براون (2002). "تاريخ معادلة دارسي-فايسباخ لمقاومة تدفق الأنابيب". researchgate.net .

• تاريخ معادلة دارسي-فايسباخ محفوظ في 2011-07-20 على موقع واي باك مشين
• حاسبة معادلة دارسي-فايسباخ
• حاسبة انخفاض ضغط الأنابيب مؤرشفة 2019-07-13 على موقع Wayback Machine للتدفقات أحادية الطور.
• حاسبة انخفاض ضغط الأنابيب للتدفقات ثنائية الطور. أرشيف 2019-07-13 على موقع Wayback Machine
• حاسبة انخفاض ضغط الأنابيب مفتوحة المصدر.
• تطبيق ويب لحساب انخفاض الضغط للأنابيب والقنوات
• ThermoTurb – تطبيق ويب لتحليل التدفق الحراري والمضطرب