نظام متعدد الأبعاد

في نظرية الأنظمة الرياضية ، النظام متعدد الأبعاد أو نظام mD هو نظام لا يوجد فيه متغير مستقل واحد فقط (مثل الوقت)، ولكن توجد فيه عدة متغيرات مستقلة.

حظيت مسائل هامة، مثل تحليل واستقرار الأنظمة متعددة الأبعاد ( حيث m > 1) ، باهتمام كبير من الباحثين والممارسين مؤخرًا. والسبب في ذلك هو أن تحليل واستقرار الأنظمة متعددة الأبعاد ليسا امتدادًا مباشرًا لتحليل واستقرار الأنظمة أحادية البعد، لأن النظرية الأساسية للجبر ، على سبيل المثال، غير موجودة في حلقة كثيرات الحدود متعددة الأبعاد ( حيث m > 1) .    

تُعدّ الأنظمة متعددة الأبعاد، أو أنظمة m -D، الأساس الرياضي الضروري لمعالجة الصور الرقمية الحديثة، ولها تطبيقات عديدة في الطب الحيوي ، وتقنية الأشعة السينية ، والاتصالات عبر الأقمار الصناعية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} كما توجد بعض الدراسات التي تجمع بين أنظمة m -D والمعادلات التفاضلية الجزئية .

نموذج فضاء الحالة هو تمثيل لنظام يحتوي فيه متجه الحالة على تأثير جميع قيم الإدخال "السابقة". في حالة نظام متعدد الأبعاد (m -d)، يمتلك كل بُعد متجه حالة يحتوي على تأثير المدخلات السابقة بالنسبة لذلك البُعد. وتشكل مجموعة جميع متجهات الحالة هذه عند نقطة ما متجه الحالة الكلي عند تلك النقطة.

لنفترض نظامًا خطيًا ثنائي الأبعاد (2d) منتظمًا في فضاء منفصل، وهو نظام ثابت مكانيًا وسببي. يمكن تمثيله في صورة مصفوفة-متجه كما يلي: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

مثّل متجه الإدخال عند كل نقطة${\displaystyle (i,j)}$بواسطة${\displaystyle u(i,j)}$، متجه الإخراج بواسطة${\displaystyle y(i,j)}$متجه الحالة الأفقي بواسطة${\displaystyle R(i,j)}$ومتجه الحالة الرأسي بواسطة${\displaystyle S(i,j)}$ثم يتم تعريف العملية عند كل نقطة على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$و${\displaystyle D}$هي مصفوفات ذات أبعاد مناسبة.

يمكن كتابة هذه المعادلات بشكل أكثر إيجازًا عن طريق دمج المصفوفات:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

متجهات الإدخال المعطاة${\displaystyle u(i,j)}$عند كل نقطة وقيم الحالة الأولية، يمكن حساب قيمة كل متجه إخراج من خلال تنفيذ العملية المذكورة أعلاه بشكل متكرر.

غالبًا ما يتم وصف النظام الخطي المنفصل ثنائي الأبعاد بمعادلة فرق جزئية على النحو التالي: ${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

أين${\displaystyle x(i,j)}$المدخل و${\displaystyle y(i,j)}$هو الناتج عند النقطة${\displaystyle (i,j)}$و${\displaystyle a_{p,q}}$و${\displaystyle b_{p,q}}$هي معاملات ثابتة.

لاستنتاج دالة نقل للنظام، يتم تطبيق تحويل Z ثنائي الأبعاد على كلا جانبي المعادلة أعلاه.

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

ينتج عن عملية النقل دالة التحويل${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$:

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

لذا، عند إعطاء أي نمط من قيم الإدخال، يتم حساب تحويل Z ثنائي الأبعاد للنمط ثم ضربه بدالة التحويل.${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$لإنتاج تحويل Z لمخرجات النظام.

غالبًا ما تُوصف معالجة الصور أو أي مهمة حسابية أخرى في مجال الديناميكا الجزيئية بدالة نقل ذات خصائص ترشيح معينة، ولكن يُراد تحويلها إلى صيغة فضاء الحالة لإجراء حسابات أكثر مباشرة. ويُشار إلى هذا التحويل بتحقيق دالة النقل.

لنفترض نظامًا سببيًا خطيًا ثنائي الأبعاد ثابتًا مكانيًا، وله علاقة بين المدخلات والمخرجات موصوفة بما يلي:

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

تُدرس حالتان بشكل منفصل: 1) يكون المجموع السفلي هو الثابت 1، 2) يكون المجموع العلوي ثابتًا.${\displaystyle k}$تُسمى الحالة الأولى غالبًا حالة "الاستجابة الصفرية" أو "الاستجابة النبضية المحدودة"، بينما تُسمى الحالة الثانية حالة "الاستجابة القطبية" أو " الاستجابة النبضية اللانهائية ". يمكن تطبيق الحالة العامة كسلسلة من الحالتين المنفصلتين. حل الحالة الأولى أبسط بكثير من حل الحالة الثانية، وهو موضح أدناه.