طريقة مونت كارلو متعددة المستويات

تُعدّ طرق مونت كارلو متعددة المستويات (MLMC) في التحليل العددي خوارزميات لحساب التوقعات التي تنشأ في عمليات المحاكاة العشوائية . وكما هو الحال في طرق مونت كارلو ، تعتمد هذه الطرق على أخذ عينات عشوائية متكررة ، ولكن يتم أخذ هذه العينات بمستويات دقة مختلفة. تستطيع طرق MLMC تقليل التكلفة الحسابية لطرق مونت كارلو القياسية بشكل كبير، وذلك من خلال أخذ معظم العينات بدقة منخفضة وتكلفة منخفضة، بينما يتم أخذ عدد قليل جدًا من العينات بدقة عالية وتكلفة عالية.

الهدف من طريقة مونت كارلو متعددة المستويات هو تقريب القيمة المتوقعة${\displaystyle \operatorname {E} [G]}$المتغير العشوائي${\displaystyle G}$هذا هو ناتج محاكاة عشوائية . لنفترض أن هذا المتغير العشوائي لا يمكن محاكاته بدقة، ولكن توجد سلسلة من التقريبات.${\displaystyle G_{0},G_{1},\ldots ,G_{L}}$مع زيادة الدقة، ولكن أيضًا مع زيادة التكلفة، والتي تتقارب إلى${\displaystyle G}$مثل${\displaystyle L\rightarrow \infty }$. أساس الطريقة متعددة المستويات هو متطابقة المجموع التلسكوبي ، ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [G_{L}]=\operatorname {E} [G_{0}]+\sum _{\ell =1}^{L}\operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}],}$

يتحقق ذلك بشكل بديهي بسبب خطية عامل التوقع. كل من التوقعات${\displaystyle \operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]}$ثم يتم تقريبها باستخدام طريقة مونت كارلو، مما ينتج عنه طريقة مونت كارلو متعددة المستويات. لاحظ أنه يتم أخذ عينة من الفرق${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$على مستوى${\displaystyle \ell }$يتطلب الأمر محاكاة لكليهما${\displaystyle G_{\ell }}$و${\displaystyle G_{\ell -1}}$.

تنجح طريقة MLMC إذا كانت التباينات${\displaystyle \operatorname {V} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]\rightarrow 0}$مثل${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$، وهو ما سيحدث إذا كان كلاهما${\displaystyle G_{\ell }}$و${\displaystyle G_{\ell -1}}$تقريب نفس المتغير العشوائي${\displaystyle G}$وبحسب نظرية النهاية المركزية ، فإن هذا يعني أننا نحتاج إلى عدد أقل فأقل من العينات لتقريب القيمة المتوقعة للفرق بدقة.${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$مثل${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$وبالتالي، سيتم أخذ معظم العينات على مستوى${\displaystyle 0}$حيث تكون العينات رخيصة، ولن تكون هناك حاجة إلا لعدد قليل جدًا من العينات على أدق مستوى${\displaystyle L}$وبهذا المعنى، يمكن اعتبار MLMC استراتيجية متغير تحكم متكررة .

يُنسب أول تطبيق لتقنية MLMC إلى مايك جايلز، ^{[ 2 ]} في سياق المعادلات التفاضلية العشوائية (SDEs) لتسعير الخيارات ، ومع ذلك، توجد آثار سابقة لها في أعمال هاينريش في سياق التكامل البارامتري. ^{[ 3 ]} هنا، المتغير العشوائي${\displaystyle G=f(X(T))}$تُعرف باسم دالة العائد، وتسلسل التقريبات${\displaystyle G_{\ell }}$،${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$استخدم تقريبًا لمسار العينة${\displaystyle X(t)}$مع خطوة زمنية${\displaystyle h_{\ell }=2^{-\ell }T}$.

يُعدّ تطبيق طريقة مونت كارلو متعددة الحدود (MLMC) على مشاكل تحديد كمية عدم اليقين (UQ) مجالًا بحثيًا نشطًا. ^{[ 4 ] [ 5 ]} ومن الأمثلة النموذجية المهمة لهذه المشاكل المعادلات التفاضلية الجزئية ذات المعاملات العشوائية . في هذا السياق، المتغير العشوائي${\displaystyle G}$يُعرف باسم الكمية محل الاهتمام، ويتوافق تسلسل التقريبات مع تجزئة المعادلة التفاضلية الجزئية بأحجام شبكة مختلفة.

فيما يلي خوارزمية بسيطة للتكيف مع المستوى لمحاكاة MLMC مكتوبة بلغة شبه رمزية.

${\displaystyle L\gets 0}$كرر أخذ عينات التسخين عند مستوى${\displaystyle L}$ احسب تباين العينة على جميع المستويات${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$ حدد العدد الأمثل للعينات${\displaystyle N_{\ell }}$على جميع المستويات${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$ خذ عينات إضافية في كل مستوى${\displaystyle \ell }$وفق${\displaystyle N_{\ell }}$لو${\displaystyle L\geq 2}$ثم اختبار التقارب إذا لم يتم التقارب، فقم بإنهاء العملية.${\displaystyle L\gets L+1}$ينتهي حتى التقارب

تشمل التوسعات الحديثة لطريقة مونت كارلو متعددة المستويات طريقة مونت كارلو متعددة المؤشرات، ^{[ 6 ]} حيث يتم النظر في أكثر من اتجاه واحد للتحسين، ودمج طريقة مونت كارلو متعددة المستويات مع طريقة شبه مونت كارلو . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• طريقة مونت كارلو
• أساليب مونت كارلو في التمويل
• أساليب شبه مونت كارلو في التمويل
• تحديد كمية عدم اليقين
• المعادلات التفاضلية الجزئية ذات المعاملات العشوائية