تحليل المراسلات المتعددة

في الإحصاء ، يُعد تحليل التوافق المتعدد ( MCA ) أسلوبًا لتحليل البيانات الاسمية الفئوية، يُستخدم للكشف عن البنى الكامنة في مجموعة البيانات وتمثيلها. ويتم ذلك من خلال تمثيل البيانات كنقاط في فضاء إقليدي منخفض الأبعاد . وبالتالي، يبدو هذا الإجراء نظيرًا لتحليل المكونات الرئيسية للبيانات الفئوية. ويمكن اعتبار تحليل التوافق المتعدد امتدادًا لتحليل التوافق البسيط (CA) نظرًا لإمكانية تطبيقه على مجموعة كبيرة من المتغيرات الفئوية .

يُجرى تحليل التوافق المتعدد (MCA) بتطبيق خوارزمية تحليل التوافق (CA) على مصفوفة المؤشرات (وتُسمى أيضًا جدول الفصل الكامل - CDT) أو جدول بيرت المُشكَّل من هذه المتغيرات. مصفوفة المؤشرات هي مصفوفة من نوع الأفراد × المتغيرات، حيث تُمثل الصفوف الأفراد، بينما تُمثل الأعمدة متغيرات وهمية تُمثل فئات المتغيرات. ^{[ 1 ]} يُتيح تحليل مصفوفة المؤشرات التمثيل المباشر للأفراد كنقاط في الفضاء الهندسي. أما جدول بيرت فهو المصفوفة المتناظرة لجميع الجداول المتقاطعة ثنائية الاتجاه بين المتغيرات الفئوية، ويُشابه مصفوفة التغاير للمتغيرات المستمرة. يُعد تحليل جدول بيرت تعميمًا أكثر طبيعية لتحليل التوافق البسيط ، ويمكن إضافة الأفراد أو متوسطات مجموعات الأفراد كنقاط إضافية إلى التمثيل البياني.

في منهجية مصفوفة المؤشرات، تُكشف العلاقات بين المتغيرات بحساب مسافة مربع كاي بين فئات المتغيرات المختلفة وبين الأفراد (أو المستجيبين). ثم تُمثَّل هذه العلاقات بيانيًا على شكل "خرائط"، مما يُسهِّل تفسير هياكل البيانات. بعد ذلك، تُعظَّم التباينات بين الصفوف والأعمدة للكشف عن الأبعاد الكامنة الأنسب لوصف التباينات المركزية في البيانات. وكما هو الحال في تحليل العوامل أو تحليل المكونات الرئيسية ، يُمثِّل المحور الأول البُعد الأهم، والمحور الثاني البُعد الثاني من حيث الأهمية، وهكذا، من حيث مقدار التباين المُفسَّر. ويُحدَّد عدد المحاور التي سيتم الاحتفاظ بها للتحليل بحساب القيم الذاتية المُعدَّلة .

بما أن تحليل المراسلات المتعددة (MCA) مُكيَّف لاستخلاص استنتاجات إحصائية من المتغيرات الفئوية (مثل أسئلة الاختيار من متعدد)، فإن أول شيء يجب القيام به هو تحويل البيانات الكمية (مثل العمر، والحجم، والوزن، ووقت النهار، وما إلى ذلك) إلى فئات (باستخدام الكميات الإحصائية على سبيل المثال).

عندما يتم تمثيل مجموعة البيانات بالكامل كمتغيرات فئوية، يصبح بالإمكان بناء ما يسمى بالجدول الانفصالي الكامل المقابل. نرمز لهذا الجدول بـ${\displaystyle X}$. لو${\displaystyle I}$أجاب الأشخاص على استطلاع رأي بـ${\displaystyle J}$أسئلة اختيار من متعدد، لكل منها 4 إجابات.${\displaystyle X}$سوف يكون${\displaystyle I}$صفوف و${\displaystyle 4J}$أعمدة.

من الناحية النظرية، ^{[ 2 ]} افترض${\displaystyle X}$هو الجدول المنفصل تمامًا لـ${\displaystyle I}$ملاحظات حول${\displaystyle K}$المتغيرات الفئوية. افترض أيضًا أن${\displaystyle k}$المتغير رقم -th له${\displaystyle J_{k}}$مستويات (فئات) مختلفة ومجموعة${\displaystyle J=\sum _{k=1}^{K}J_{k}}$الجدول${\displaystyle X}$ثم يكون${\displaystyle I\times J}$مصفوفة جميع معاملاتها${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$حدد مجموع جميع عناصر${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle N}$وتقديم${\displaystyle Z=X/N}$في تحليل المراسلات المتعددة (MCA)، يوجد أيضًا متجهان خاصان: الأول${\displaystyle r}$، الذي يحتوي على المجاميع على طول صفوف${\displaystyle Z}$، و${\displaystyle c}$، الذي يحتوي على المجاميع على طول أعمدة${\displaystyle Z}$. ملحوظة${\displaystyle D_{r}={\text{diag}}(r)}$و${\displaystyle D_{c}={\text{diag}}(c)}$، المصفوفات القطرية التي تحتوي${\displaystyle r}$و${\displaystyle c}$على التوالي كقطري. باستخدام هذه الرموز، يتكون حساب MCA بشكل أساسي من تحليل القيم المفردة للمصفوفة:

${\displaystyle M=D_{r}^{-1/2}(Z-rc^{T})D_{c}^{-1/2}}$

تحلل${\displaystyle M}$يمنحك${\displaystyle P}$،${\displaystyle \Delta }$و${\displaystyle Q}$بحيث${\displaystyle M=P\Delta Q^{T}}$مع P و Q مصفوفتين وحدويتين و${\displaystyle \Delta }$هي المصفوفة القطرية المعممة للقيم المفردة (بنفس شكل${\displaystyle Z}$). المعاملات الموجبة لـ${\displaystyle \Delta ^{2}}$هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle Z}$.

تكمن أهمية تحليل المراسلات المتعددة (MCA) في الطريقة التي يتم بها تمثيل الملاحظات (الصفوف) والمتغيرات (الأعمدة) في${\displaystyle Z}$يمكن تحليلها. يُسمى هذا التحليل بتحليل العوامل. تُعطى إحداثيات المشاهدات في فضاء العوامل بواسطة

${\displaystyle F=D_{r}^{-1/2}P\Delta }$

ال${\displaystyle i}$الصفوف رقم - من${\displaystyle F}$يمثل${\displaystyle i}$المشاهدة رقم n في فضاء العوامل. وبالمثل، تُعطى إحداثيات المتغيرات (في نفس فضاء العوامل للمشاهدات!) بواسطة

${\displaystyle G=D_{c}^{-1/2}Q\Delta }$

في السنوات الأخيرة، قام العديد من طلاب جان بول بنزكري بتطوير تحليل المراسلات المتعددة (MCA) ودمجه في إطار تحليل بيانات أكثر شمولاً يُعرف باسم تحليل البيانات الهندسي . ويتضمن ذلك تطوير روابط مباشرة بين تحليل المراسلات البسيط ، وتحليل المكونات الرئيسية ، وتحليل المراسلات المتعددة (MCA) مع شكل من أشكال تحليل التجميع يُعرف باسم التصنيف الإقليدي. ^{[ 3 ]}

يتمتع ملحقان بفائدة عملية كبيرة.

• من الممكن تضمين عدة متغيرات كمية كعناصر فعالة في تحليل المراسلات المتعددة. يُطلق على هذا التوسع اسم تحليل العوامل للبيانات المختلطة (انظر أدناه).
• في كثير من الأحيان، تُصاغ الأسئلة في الاستبيانات ضمن عدة محاور. ومن الضروري في التحليل الإحصائي مراعاة هذا الهيكل. هذا هو هدف تحليل العوامل المتعددة، الذي يوازن بين المحاور المختلفة (أي مجموعات المتغيرات المختلفة) ضمن تحليل شامل، ويُقدّم، بالإضافة إلى النتائج التقليدية لتحليل العوامل (وخاصةً الرسوم البيانية للأفراد والفئات)، نتائج متعددة (مؤشرات ورسوم بيانية) خاصة بهيكل المجموعة.

في العلوم الاجتماعية، يُعرف تحليل المراسلات المتعددة (MCA) على نطاق واسع بفضل تطبيق بيير بورديو له ، ^{[ 4 ]} لا سيما في كتبه "التمييز" و "الإنسان الأكاديمي" و "نبلاء الدولة" . جادل بورديو بوجود صلة جوهرية بين رؤيته للمجتمع بوصفه مكانيًا وعلاقيًا - والذي يُجسده مفهوم الحقل - والخصائص الهندسية لتحليل المراسلات المتعددة. ^{[ 5 ]} غالبًا ما يختار علماء الاجتماع الذين يتبعون أعمال بورديو تحليل مصفوفة المؤشرات، بدلًا من جدول بيرت، ويعود ذلك أساسًا إلى الأهمية المركزية التي تُعطى لتحليل "سحابة الأفراد". ^{[ 6 ]}

يمكن أيضًا اعتبار تحليل المكونات الرئيسية (MCA) بمثابة تحليل المكونات الرئيسية (PCA) المطبق على جدول الفصل الكامل. وللقيام بذلك، يجب تحويل جدول الفصل الكامل (CDT) على النحو التالي.${\displaystyle y_{ik}}$يشير إلى المصطلح العام لـ CDT.${\displaystyle y_{ik}}$يساوي 1 إذا كان الفرد${\displaystyle i}$يمتلك الفئة${\displaystyle k}$و صفر إذا لم يكن كذلك. لنرمز إلى${\displaystyle p_{k}}$نسبة الأفراد الذين ينتمون إلى هذه الفئة${\displaystyle k}$. يُطلق على CDT المُحوَّل (TCDT) مصطلح عام:

${\displaystyle x_{ik}=y_{ik}/p_{k}-1}$

تم تطبيق تحليل المكونات الرئيسية غير المعياري على TCDT، العمود${\displaystyle k}$امتلاك الوزن${\displaystyle p_{k}}$، مما يؤدي إلى نتائج تحليل متعدد المعايير (MCA).

تم شرح هذا التكافؤ بالتفصيل في كتاب جيروم باجيس. ^{[ 7 ]} ويلعب دورًا نظريًا هامًا لأنه يفتح المجال للمعالجة المتزامنة للمتغيرات الكمية والنوعية. هناك طريقتان لتحليل هذين النوعين من المتغيرات في آن واحد: تحليل العوامل للبيانات المختلطة ، وعندما تُقسّم المتغيرات النشطة إلى عدة مجموعات: تحليل العوامل المتعددة.

لا يعني هذا التكافؤ أن تحليل المراسلات المتعددة (MCA) حالة خاصة من تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، كما أنه ليس حالة خاصة من تحليل المراسلات (CA). إنما يعني فقط أن هاتين الطريقتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا، لأنهما تنتميان إلى نفس العائلة: الطرق العاملية.

توجد العديد من برامج تحليل البيانات التي تتضمن تحليل المراسلات المتعددة (MCA)، مثل STATA وSPSS. كما تتضمن حزمة FactoMineR في لغة R خاصية MCA. ويرتبط هذا البرنامج بكتاب يشرح الطرق الأساسية لإجراء تحليل المراسلات المتعددة. ^{[ 8 ]} كما توجد حزمة Python لـوالتي تعمل مع مصفوفات numpy؛ لم يتم تنفيذ الحزمة بعد لإطارات بيانات Spark.

• Le Roux, B. and H. Rouanet (2004), Geometric Data Analysis, From Corrisding Analysis to Structured Data Analysis at Google Books:
• برنامج FactoMineR AR مخصص لتحليل البيانات الاستكشافي.