توزيع ويشارت الطبيعي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد توزيع ويشارت الطبيعي (أو توزيع ويشارت الغاوسي ) عائلة متعددة المتغيرات ذات أربعة معلمات من التوزيعات الاحتمالية المستمرة . وهو التوزيع المسبق المترافق لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​غير معروف ومصفوفة دقة (معكوس مصفوفة التباين ). ^{[ 1 ]}

يفترض

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}$

له توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$ومصفوفة التغاير${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$، أين

${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

لديها توزيع ويشارت . ثم${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})}$ له توزيع ويشارت الطبيعي، ويرمز له بـ

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu ).}$

بعد صنع${\displaystyle n}$الملاحظات${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$، التوزيع الاحتمالي اللاحق للمعلمات هو

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n},\mathbf {W} _{n},\nu _{n}),}$

أين

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\lambda +n}},}$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n,}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.}$^{[ 2 ]}

توليد المتغيرات العشوائية أمر بسيط:

1. عينة${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$من توزيع ويشارت ذي المعلمات${\displaystyle \mathbf {W} }$و${\displaystyle \nu }$
2. عينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$والتباين${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

• إن توزيع ويشارت الطبيعي المعكوس هو في الأساس نفس التوزيع الذي يتم تحديده بواسطة التباين بدلاً من الدقة.
• يُعد التوزيع الطبيعي -غاما هو المكافئ أحادي البعد.
• يُعد التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات وتوزيع ويشارت من التوزيعات المكونة التي يتكون منها هذا التوزيع.

• بيشوب، كريستوفر م. (2006). التعرف على الأنماط والتعلم الآلي. سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا.