الحل المعياري (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة
توزيع كثافة الاحتمال لجسيم كمومي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تمثل النقاط في الصورة احتمال وجود الجسيم في تلك المواقع، حيث تشير الألوان الداكنة إلى احتمالات أعلى. ولتبسيط وتوضيح التمثيل المرئي، تم استبعاد المناطق ذات الاحتمالية المنخفضة. في الواقع، الاحتمالية الكلية 1 تعني أن الجسيم موجود في كل مكان في الفضاء بأكمله.

في الرياضيات، يُعرف الحل المعياري لمعادلة تفاضلية عادية أو جزئية بأنه حل ذو معيار محدد، أي حل يحقق شرطًا مثل∫Rشمال|u(x)|2دx=1.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{N}}|u(x)|^{2}\,dx=1.}في هذه المقالة، يُقدَّم الحل المُعَيَّر باستخدام معادلة شرودنغر غير الخطية . تُعدّ معادلة شرودنغر غير الخطية (NLSE) معادلةً أساسيةً في ميكانيكا الكمّ ومجالاتٍ أخرى مُتنوِّعةٍ في الفيزياء، إذ تصف تطوّر الدوال الموجية المُعقَّدة . في فيزياء الكمّ، يعني التعيير أنَّ الاحتمال الكليّ لوجود جسيم كمّي في أيّ مكانٍ في الكون يساوي واحدًا. [ 1 ]

التعريف والإطار التبايني

ولتوضيح هذا المفهوم، ضع في اعتبارك معادلة شرودنغر غير الخطية التالية ذات المعيار المحدد: [ 2 ]

-Δu+λu=و(u)،∫Rشمال|u|2دx=1،{\displaystyle -\Delta u+\lambda u=f(u),\quad \int _{\mathbb {R} ^{N}}|u|^{2}\,dx=1,}

أينΔ{\displaystyle \Delta }هو عامل لابلاس ،شمال≥1،λ∈R{\displaystyle N\geq 1,\lambda \in \mathbb {R} }هو مُضاعِف لاغرانج وو{\displaystyle f}هي دالة غير خطية. إذا أردنا إيجاد حل معياري للمعادلة، فنحن بحاجة إلى النظر في الدالة التالية : ليكنأنا:ح01(Rشمال)→R{\displaystyle I:H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N})\rightarrow \mathbb {R} }يتم تعريفها بواسطة

أنا(u)=12∫Rشمال|∇u|2دx-∫RشمالF(u)دx{\displaystyle I(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u|^{2}dx-\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(u)dx}

مع مراعاة القيد

م={u∈ح01(Rشمال):∫Rشمالu2=1}،    {\displaystyle {\mathcal {M}}=\{u\in H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N}):\int _{\mathbb {R} ^{N}}u^{2}=1\},\ \ \ \ }

أينح01(Rشمال){\displaystyle H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{N})}هو فضاء هيلبرت وF(s){\displaystyle F(s)}هو الشكل الأولي لـو(s){\displaystyle f(s)}.

إحدى الطرق الشائعة لإيجاد الحلول المعيارية هي الطرق التباينية ، أي إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة المقابلة ذات المعيار المحدد. وبذلك، يمكننا إيجاد الحل الضعيف للمعادلة. علاوة على ذلك، إذا حقق هذا الحل القيد، فهو حل معياري. [ 3 ]

مثال بسيط على الفضاء الإقليدي

مثال على المشكلة المقيدة

في الفضاء الإقليديR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، نُعرّف دالةو:R2→R:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} :}

و(x،y)=(x+y)2{\displaystyle f(x,y)=(x+y)^{2}}مع مراعاة القيدx2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}.

من خلال الحساب المباشر، ليس من الصعب استنتاج أن الحد الأقصى المقيد هوو=2{\displaystyle f=2}، مع الحلول(x،y)=(22،22){\displaystyle (x,y)=({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}})}و(x،y)=(-22،-22){\displaystyle (x,y)=({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}، بينما الحد الأدنى المقيد هوو=0{\displaystyle f=0}، مع الحلول(x،y)=(-22،22){\displaystyle (x,y)=({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}})}و(x،y)=(22،-22){\displaystyle (x,y)=({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}.

تاريخ

يمكن إرجاع استكشاف الحلول المعيارية لمعادلة شرودنغر غير الخطية إلى دراسة حلول الموجات المستقرة ذات القيم المحددة مسبقًا.ل2{\displaystyle L^{2}}قدم يورغن موزر [ 4 ] مفهوم الحلول المعيارية لأول مرة في دراسة خصائص انتظام حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية . وعلى وجه التحديد، استخدم متواليات الدوال المعيارية لإثبات نتائج الانتظام لحلول المعادلات الإهليلجية، وهو ما شكل إسهامًا هامًا في هذا المجال. ولعبت المتباينات التي طورها إميليو غالياردو ولويس نيرنبرغ دورًا حاسمًا في دراسة حلول المعادلات التفاضلية الجزئية .لص{\displaystyle L^{p}}المساحات. وفرت هذه المتباينات أدوات وخلفية مهمة لتحديد وفهم الحلول المعيارية. [ 5 ] [ 6 ]

بالنسبة للمسألة التباينية، تشمل الأعمال التأسيسية المبكرة في هذا المجال مبدأ التركيز والتراص الذي قدمه بيير لويس ليونز في عام 1984، والذي وفر تقنيات أساسية لحل هذه المشكلات. [ 7 ]

بالنسبة للمسائل التباينية ذات الكتلة المحددة، لم تعد العديد من الطرق الشائعة الاستخدام للتعامل مع المسائل التباينية غير المقيدة متاحة. وفي الوقت نفسه، ظهر أس حرج جديد، وهول2{\displaystyle L^{2}}الأس الحرج. من متباينة غالياردو-نيرنبرغ ، يمكننا أن نجد أن اللاخطية التي تحققل2{\displaystyle L^{2}}يؤدي كون الدالة دون الحرجة أو حرجة أو فوق الحرجة إلى هندسة مختلفة للدالة. في حالة كون الدالة محدودة من الأسفل، أيل2{\displaystyle L^{2}}في الحالة دون الحرجة، حصل تشارلز-ألكسندر ستيوارت [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] على أول نتيجة في هذا الشأن باستخدام طرق التشعب لإثبات وجود الحلول. لاحقًا، حصل تيري كازيناف وبيير-لويس ليونز [ 11 ] على نتائج وجود الحلول باستخدام طرق التصغير. ثم درس ماساتاكا شيباتا معادلات شرودنغر ذات الحد غير الخطي العام. [ 12 ]

في حالة عدم وجود حدود دنيا للدالة، أيل2{\displaystyle L^{2}}في الحالة فوق الحرجة، تظهر بعض الصعوبات الجديدة. أولاً، بما أنλ{\displaystyle \lambda }إذا كانت قيمة غير معروفة، فمن المستحيل إنشاء مشعب نهاري المقابل . ثانيًا، ليس من السهل إثبات محدودية متتالية باليه-سميل. علاوة على ذلك، يُعد التحقق من تماسك متتالية باليه-سميل أمرًا صعبًا نظرًا لتعقيد عملية التضمين.ح1(Rشمال)↪ل2(Rشمال){\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{N})}ليست مضغوطة. في عام 1997، استخدم لويس جانجان التحويل التالي:

(s⋆u)(x):=هـشمالs2u(هـsx).{\displaystyle (s\star u)(x):=e^{\frac {Ns}{2}}u(e^{s}x).}

وبالتالي، يكون لدينا الوظيفة التالية:

أنا~(u،s):=أنا(s⋆u)=هـ2s∫Rشمال|∇u(x)|2دx-1هـsشمال∫RشمالF(هـشمالs2u(x))دx.{\displaystyle {\tilde {I}}(u,s):=I(s\star u)=e^{2s}\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u(x)|^{2}dx-{\frac {1}{e^{sN}}}\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(e^{\frac {Ns}{2}}u(x))dx.}

ثم،

P(u):=∂sأنا~(u،s)|s=0=∫Rشمال|∇u|2-شمال∫Rشمال(12و(u)u-F(u)){\displaystyle P(u):=\partial _{s}{\tilde {I}}(u,s)|_{s=0}=\int _{\mathbb {R} ^{N}}|\nabla u|^{2}-N\int _{\mathbb {R} ^{N}}\left({\frac {1}{2}}f(u)u-F(u)\right)}

وهو ما يتطابق تمامًا مع متطابقة بوخوزاييف للمعادلة. استخدم جانجان هذا الشرط الإضافي لضمان محدودية متتالية باليه-سميل، متجاوزًا بذلك الصعوبات المذكورة سابقًا. وباعتبارها أول طريقة لمعالجة مسألة الحلول المعيارية في الدوال غير المحدودة، فقد أصبح منهج جانجان أسلوبًا شائعًا للتعامل مع هذه المشكلات، وقد تم تقليده وتطويره من قبل باحثين لاحقين. [ 2 ]

في العقود اللاحقة، وسّع الباحثون نطاق هذه النتائج الأساسية. فقد بحث توماس بارتش وسيباستيان دي فاليريولا [ 13 ] في وجود حلول معيارية متعددة لمعادلات شرودنغر غير الخطية. ويركز الباحثان على إيجاد حلول تحقق شرطًا محددًا.ل2{\displaystyle L^{2}}قيد المعيار. تشمل التطورات الحديثة دراسة الحالات الأرضية المعيارية لمعادلات شرودنغر غير الخطية ذات اللاخطية المركبة، والتي أجراها نيكولا سوافي عام 2020، حيث فحص الحالات دون الحرجة والحرجة. وقد سلط هذا البحث الضوء على التوازن الدقيق بين أنواع اللاخطية المختلفة وتأثيرها على وجود الحلول وتعددها. [ 14 ] [ 15 ]

في المجال المحدود ، يختلف الوضع تمامًا. لنُعرّفو(s)=|s|ص-2s{\displaystyle f(s)=|s|^{p-2}s}أينص∈(2،2*){\displaystyle p\in (2,2^{*})}. الرجوع إلى هوية Pokhozhaev،

2-شمال2∫Ω|∇u|2دx-λشمال2∫Ωu2دx+شمالص∫Ω|u|صدx-12∫∂Ω|∂u∂ν|2x⋅νدσ=0.{\displaystyle {\frac {2-N}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx-{\frac {\lambda N}{2}}\int _{\Omega }u^{2}\,dx+{\frac {N}{p}}\int _{\Omega }|u|^{p}\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{\partial \Omega }|{\frac {\partial u}{\partial \nu }}|^{2}x\cdot \nu \,d\sigma =0.}

سيجعل وجود حدٍّ حدودي تطبيق طريقة جانجان مستحيلاً. وقد دفع هذا العديد من الباحثين إلى استكشاف مشكلة الحلول المعيارية على المجالات المحدودة في السنوات الأخيرة. إضافةً إلى ذلك، ظهرت في السنوات الأخيرة نتائج مثيرة للاهتمام حول الحلول المعيارية في نظام شرودنغر، ومعادلة شوكارد ، ومعادلة ديراك . [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

بعض المفاهيم الموسعة

الكتلة الحرجة، أو دون الحرجة، أو فوق الحرجة

لنفترض أن الحد غير الخطي متجانس، أي لنُعرّفو(s)=|s|ص-2s{\displaystyle f(s)=|s|^{p-2}s}أينص∈(2،2*){\displaystyle p\in (2,2^{*})}. ارجع إلى عدم المساواة بين جاجلياردو ونيرنبرج: حدد

γص:=شمال(ص-2)2ص،{\displaystyle \gamma _{p}:={\frac {N(p-2)}{2p}},}

إذن يوجد ثابتجشمال،ص{\displaystyle C_{N,p}}بحيث يكون لأيu∈ح1(Rشمال){\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{N})}، يتحقق التباين التالي:

|u|ص≤جشمال،ص|∇u|2γص|u|21-γص.{\displaystyle |u|_{p}\leq C_{N,p}|\nabla u|_{2}^{\gamma _{p}}|u|_{2}^{1-\gamma _{p}}.}

وبالتالي، يوجد مفهوم الأس الحرج للكتلة،

ص:=2+4شمال.{\displaystyle p:=2+{\frac {4}{N}}.}

ومن هذا، يمكننا استخلاص مفاهيم مختلفة حول الكتلة دون الحرجة والكتلة فوق الحرجة. كما أنه من المفيد معرفة ما إذا كانت الدالة محدودة من الأسفل أم لا. [ 2 ]

تسلسل باليه-سميل

يتركX{\displaystyle X}كن مساحة باناش وأنا:X→R{\displaystyle I:X\to \mathbb {R} }أن تكون دالة. متسلسلة(uن)ن⊂X{\displaystyle (u_{n})_{n}\subset X}يُطلق عليها اسم متتالية باليه-سميل لـأنا{\displaystyle I}على المستوىج∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} }إذا استوفى الشروط التالية:

1. مرتبط بالطاقة:رشفةنأنا(uن)<∞{\displaystyle \sup _{n}I(u_{n})<\infty }.

2. حالة التدرج:⟨أنا′(uن)،uن-u⟩→0{\displaystyle \langle I'(u_{n}),u_{n}-u\rangle \to 0}مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }بالنسبة للبعضu∈X{\displaystyle u\in X}.

هنا،أنا′{\displaystyle I'}يدل على مشتق فريشيهأنا{\displaystyle I}، و⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }يشير إلى الضرب الداخلي فيX{\displaystyle X}. تسلسل Palais-Smale سمي على اسم ريتشارد باليه وستيفن سميل . [ 20 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بيرستيكي، هـ.؛ ليونز، ب.-ل. (1983). "معادلات المجال القياسي غير الخطي. الجزء الأول: وجود حالة أساسية". أرشيف التحليل الميكانيكي العقلاني 82 (4): 313-345 . Bibcode : 1983ArRMA..82..313B . doi : 10.1007/BF00250555 . MR 0695535 . 
  2. 1 2 3 جانجان، ل. (1997). "وجود حلول بمعيار محدد لمعادلات إهليلجية شبه خطية". التحليل غير الخطي: النظرية والأساليب والتطبيقات . 28 (10): 1633-1659 . doi : 10.1016/S0362-546X(96)00021-1 . MR 1430506 . 
  3. ↑ ليب، إي إتش؛ لوس، إم. (2001). التحليل . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد 14. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN  978-0-8218-2783-3.
  4. ↑ موسر، ج. (1960). "برهان جديد لنظرية دي جورجي المتعلقة بمسألة الانتظام للمعادلات التفاضلية الإهليلجية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 13 (3): 457-468 . doi : 10.1002/cpa.3160130308 . MR 0170091 . 
  5. ^ جالياردو، إي. (1959). "الملكية الإضافية لبعض فئات الوظائف الأكثر تنوعًا". بحث في الرياضيات . 8 : 24 – 51 .ر .0109295 . 
  6. ^ نيرنبرج، إل. (1959). “على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية”. مدرسة بيزا العليا للأساتذة، الدرجة 3 . 13 : 115 – 162. ر 0109940 . 
  7. ↑ ليونز، ب. ل. (1984). "مبدأ التركيز والتراص في حساب التفاضل والتكامل. الحالة المتراصة محليًا، الجزء 1" . حوليات معهد هنري بوانكاريه ج . 1 (2): 109-145 . doi : 10.1016/s0294-1449(16)30428-0 . MR 0778970 . 
  8. ↑ ستيوارت، سي. أ. (1980). "التشعب في مسائل التباين عندما لا يكون للخطية قيم ذاتية" . مجلة التحليل الوظيفي . 38 (2): 169-187 . doi : 10.1016/0022-1236(80)90063-4 . MR 0587907 . 
  9. ↑ ستيوارت، كاليفورنيا (1981). "التشعب من الطيف المستمر فيل*{\displaystyle L^{*}}- نظرية المعادلات الإهليلجيةRشمال{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}" الأساليب الحديثة في التحليل غير الخطي وتطبيقاته . ليغوري، نابولي. MR 0819032. " 
  10. ↑ ستيوارت، سي. أ. (1989). "التشعب من الطيف الأساسي لبعض اللاخطيات غير المدمجة" . الأساليب الرياضية في العلوم التطبيقية . 11 (4): 525-542 . Bibcode : 1989MMAS...11..525S . doi : 10.1002/mma.1670110408 . MR 1001101 . 
  11. ↑ كازيناف، ت.؛ ليونز، ب. ل. (1982). "الاستقرار المداري للموجات المستقرة لبعض معادلات شرودنغر غير الخطية". الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 85 (4): 549-561 . Bibcode : 1982CMaPh..85..549C . doi : 10.1007/BF01403504 . MR 0677997 . 
  12. ↑ شيباتا، م. (2014). "الموجات المستقرة لمعادلات شرودنغر غير الخطية ذات الحد غير الخطي العام". مخطوطات الرياضيات . 143 ( 1-2 ): 221-237 . doi : 10.1007/s00229-013-0627-9 . MR 3147450 . 
  13. ^ بارتش، ت. دي فاليريولا، س. (2013). “الحلول الطبيعية لمعادلات شرودنغر غير الخطية”. أرشيف دير ماثيماتيك (بازل) . 100 : 75 – 83. أرخايف : 1209.0950 . دوى : 10.1007/s00013-012-0468-x . السيد 3009665 . 
  14. ↑ سواف، ن. (2020). "الحالات الأرضية المعيارية لمعادلة شرودنغر غير الخطية مع اللاخطية المدمجة". مجلة المعادلات التفاضلية . 269 (9): 6941-6987 . arXiv : 1904.03174 . doi : 10.1016/j.jde.2020.05.012 . MR 4107073 . 
  15. ↑ سوافي، ن. (2020). "الحالات الأرضية المعيارية لمعادلة شرودنغر غير الخطية مع اللاخطية المدمجة: حالة سوبوليف الحرجة". مجلة التحليل الوظيفي . 279 (6) 108610. arXiv : 1901.02003 . doi : 10.1016/j.jfa.2020.108610 . MR 4096725 . 
  16. ↑ نوريس، بينيديتا؛ تافاريس، هوغو؛ فيرزيني، جيانماريا (2014). "وجود واستقرار المدارات للحالات الأرضية ذات الكتلة المحددة لمعادلة شرودنغر غير الخطية الحرجة وفوق الحرجة من النوع L2 على نطاقات محدودة". Anal. PDE . 7 (8): 1807–1838 . arXiv : 1307.3981 . doi : 10.2140/apde.2014.7.1807 . MR 3318740 . 
  17. ↑ بارتش، توماس؛ جانجان، لويس؛ سوافي، نيكولا (2016). "حلول مُعَيَّرة لنظام من معادلات شرودنغر التكعيبية المترابطة على R3". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية (9) . 106 (4): 583-614 . doi : 10.1016/j.matpur.2016.03.004 . hdl : 11311/1007043 . MR 3539467 . 
  18. ↑ بارتش، توماس؛ ليو، يانيان؛ ليو، تشاولي (2020). "حلول معيارية لفئة من معادلات شوكارد غير الخطية". المعادلات التفاضلية الجزئية وتطبيقاتها 1 ( 5): ورقة بحثية رقم 34، 25 صفحة. doi : 10.1007/s42985-020-00036-w . MR 4309842 . 
  19. ↑ نولاسكو، مارغريتا (2021). "حل موجة منفردة معيارية لمعادلات ماكسويل-ديراك". حوليات معهد هنري بوانكاريه، الجزء ج: التحليل غير الخطي . 38 ( 6): 1681-1702 . arXiv : 2010.14310 . Bibcode : 2021AIHPC..38.1681N . doi : 10.1016/j.anihpc.2020.12.006 . MR 4327893 . 
  20. ↑ باليه، آر إس؛ سميل، إس. (1964). "نظرية مورس المعممة" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 70 : 165-172 . doi : 10.1090/S0002-9904-1964-11062-4 . MR 0158411 . 

للمزيد من القراءة