مؤثر التكامل التذبذبي

في الرياضيات ، وفي مجال التحليل التوافقي ، يُعرف المؤثر التكاملي التذبذبي بأنه مؤثر تكاملي على الشكل التالي:

${\displaystyle T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbb {R} ^{m},\quad y\in \mathbb {R} ^{n},}$

حيث تُسمى الدالة S ( x , y ) طور المؤثر، وتُسمى الدالة a ( x , y ) رمز المؤثر. λ هو مُعامل. يُفترض عادةً أن S ( x , y ) دالة حقيقية القيمة وسلسة، وأن a ( x , y ) دالة سلسة وذات دعم مُدمج . عادةً ما يكون الاهتمام مُنصبًا على سلوك Tλ عند القيم الكبيرة لـ _λ .

تظهر المؤثرات التكاملية التذبذبية بشكل متكرر في العديد من مجالات الرياضيات ( التحليل ، المعادلات التفاضلية الجزئية ، الهندسة التكاملية ، نظرية الأعداد ) وفي الفيزياء. وقد درس إلياس شتاين ومدرسته خصائص المؤثرات التكاملية التذبذبية. ^{[ 1 ]}

تم الحصول على الحد التالي على تأثير L ² → L ² للمؤثرات التكاملية المتذبذبة (أو معيار المؤثر L ² → L ² ) بواسطة لارس هورماندر في ورقته البحثية حول مؤثرات فورييه التكاملية : ^{[ 2 ]}

لنفترض أن x و y ∈ R ⁿ ، حيث n ≥ 1. ولتكن S ( x , y ) دالة حقيقية القيمة وسلسة، ولتكن a ( x , y ) دالة سلسة ومحدودة الدعم . إذا${\textstyle \det _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\,\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$في كل مكان على حامل a ( x , y )، يوجد ثابت C بحيث أن Tλ _، المعرف مبدئيًا على الدوال الملساء ، يمتد إلى مؤثر متصل من L² ⁽ Rⁿ ⁾ إلى L² ( Rⁿ ⁾ ، مع معيار محدود ^بـ${\displaystyle C\lambda ^{-n/2}}$، لكل λ ≥ 1:   

${\displaystyle \|T_{\lambda }\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}.}$

• التكامل التذبذبي
• التحليل الميكرولوكي