المشتق البارامتري

في حساب التفاضل والتكامل ، المشتق البارامتري هو مشتق لمتغير تابع بالنسبة لمتغير تابع آخر يتم أخذه عندما يعتمد كلا المتغيرين على متغير ثالث مستقل، والذي عادة ما يعتبر "الوقت" (أي عندما تكون المتغيرات التابعة هي x و y ويتم إعطاؤها بواسطة معادلات بارامترية في t ).

لنفترض أن x ( t ) و y ( t ) هما إحداثيات نقاط المنحنى المعبر عنها كدوال لمتغير t : $${\displaystyle y=y(t),\quad x=x(t).}$$ المشتقة الأولى التي تستلزمها هذه المعادلات البارامترية هي $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$$ حيث الترميز${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$يرمز إلى مشتقة x بالنسبة إلى t . ويمكن اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة السلسلة للمشتقات: $${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$$ وقسمة كلا الجانبين على${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$لإعطاء المعادلة أعلاه.

بشكل عام، جميع هذه المشتقات - dy / dt و dx / dt و dy / dx - هي نفسها دوال لـ t ، وبالتالي يمكن كتابتها بشكل أكثر وضوحًا على سبيل المثال،${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(t)}$.

المشتقة الثانية التي تستلزمها المعادلة البارامترية تُعطى بالصيغة التالية: $$\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\[1ex]&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}}$$ وذلك باستخدام قاعدة القسمة للمشتقات. وتُعد هذه النتيجة الأخيرة مفيدة في حساب الانحناء .

على سبيل المثال، لننظر إلى مجموعة الدوال حيث: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=4t^{2},&y(t)&=3t.\end{aligned}}}$$يؤدي اشتقاق الدالتين بالنسبة إلى t إلى الدوال $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=8t,&{\frac {dy}{dt}}&=3.\end{aligned}}}$$ وبإدخال هذه القيم في صيغة المشتقة البارامترية، نحصل على $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$$ أين${\displaystyle {\dot {x}}}$و${\displaystyle {\dot {y}}}$من المفهوم أنها دوال لـ t .

يمكننا أن نجد بالمثل${\displaystyle {\ddot {y}}}$.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}({\dot {y}})=0.}$$وبإدخال هذه القيم في صيغة المشتقة البارامترية الثانية، نحصل على$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {(8t)(0)-(3)(8)}{(8t)^{3}}}&={\frac {-3}{64t^{3}}}\end{aligned}}}$$

• تعميمات المشتقة