تقريب القطع المخروطي المُرقع

في تقريب المخروط المرقع، يتم نمذجة مسار المركبة الفضائية كسلسلة من مسائل الجسمين. ضمن مجال تأثير جسم ذي معامل جاذبية${\displaystyle \mu }$، حركة المركبة الفضائية تحقق ما يلي:$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\mathbf {r} }$$الحل في كل منطقة هو قطع مخروطي (إهليلجي، أو مكافئ، أو زائدي)، والذي يمكن التعبير عنه باستخدام عناصر مدارية كلاسيكية أو متجهات الحالة. عند الحدود بين مجالات التأثير، يتم "ترقيع" أجزاء المسار من خلال فرض استمرارية الموضع والسرعة.$${\displaystyle \mathbf {r} _{-}=\mathbf {r} _{+},\qquad \mathbf {v} _{-}=\mathbf {v} _{+}}$$فعلى سبيل المثال، عند مغادرة كوكب ما، تتبع المركبة الفضائية مسار هروب زائدي بسرعة زائدة زائدية${\displaystyle \mathbf {v} _{\infty }}$ثم تُستخدم هذه السرعة كشرط ابتدائي للمسار الشمسي المركزي:$${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{helio}}=\mathbf {v} _{\text{planet}}+\mathbf {v} _{\infty }}$$تتكرر هذه العملية عند كل حدود نطاق التأثير لإنشاء مسار تقريبي متعدد الأجسام.

يمكن إجراء حساب بسيط للمدار المخروطي المرقع بين الأرض والمريخ بافتراض مدارات كوكبية دائرية ومستوية، ومدار نقل هوهمان بين متوسط ​​نصف قطر مدار الأرض والمريخ. ^{[ 1 ]} لنفترض$${\displaystyle r_{E}=1.496\times 10^{8}\ {\text{km}},\qquad r_{M}=2.279\times 10^{8}\ {\text{km}},\qquad \mu _{\odot }=1.327\times 10^{11}\ {\text{km}}^{3}/{\text{s}}^{2}}$$المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص الانتقالي المركزي الشمسي هو$${\displaystyle a_{t}={\frac {r_{E}+r_{M}}{2}}=1.888\times 10^{8}\ {\text{km}}}$$السرعات الدائرية المركزية للأرض والمريخ هي$$//$$باستخدام معادلة فيس-فيفا ، تكون سرعة المركبة الفضائية على القطع الناقص الانتقالي في مدار الأرض هي$${\displaystyle v_{t,E}={\sqrt {\mu _{\odot }\left({\frac {2}{r_{E}}}-{\frac {1}{a_{t}}}\right)}}=32.7\ {\text{كم/ث}}}$$بالنسبة لهذا الانتقال المماسي والاتجاهي، فإن السرعة الزائدة القطعية المطلوبة عند مغادرة الأرض هي$${\displaystyle v_{\infty ,E}=v_{t,E} -v_{E}=2.94\ {\text{km/s}}}$$في تقريب القطع المخروطي المُرقع، تصبح هذه الكمية هي السرعة الزائدة الزائدية لقطع زائد مغادرة الأرض. إذا غادرت المركبة الفضائية من مدار ركن دائري منخفض حول الأرض بنصف قطر${\displaystyle r_{p}=6,578\ {\text{km}}}$إذن، فإن الاحتراق الاندفاعي المطلوب يكون تقريبًا$${\displaystyle \Delta v_{E}={\sqrt {v_{\infty ,E}^{2}+{\frac {2\mu _{E}}{r_{p}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu _{E}}{r_{p}}}}=3.61\ {\text{km/s}}}$$أين${\displaystyle \mu _{E}=398,600\ {\text{km}}^{3}/{\text{s}}^{2}}$عند المريخ، تكون سرعة المركبة الفضائية على مسار الانتقال الإهليلجي هي$${\displaystyle v_{t,M}={\sqrt {\mu _{\odot }\left({\frac {2}{r_{M}}}-{\frac {1}{a_{t}}}\right)}}=21.5\ {\text{km/s}}}$$بالنسبة لهذا الانتقال المماسي، فإن السرعة الزائدة القطعية لوصول المريخ هي مقدار الفرق بين سرعة المريخ الدائرية وسرعة مدار الانتقال$${\displaystyle v_{\infty ,M}=v_{M}-v_{t,M}=2.65\ {\text{km/s}}}$$تُصبح هذه السرعة الزائدة القطعية لمسار وصول المركبة إلى المريخ. ولإدخالها في مدار دائري على ارتفاع 200 كيلومتر فوق سطح المريخ، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle r_{p}=3,596\ {\text{km}}}$و${\displaystyle \mu _{M}=42,828\ {\text{km}}^{3}/{\text{s}}^{2}}$، معدل الاحتراق التقريبي للاستحواذ هو$${\displaystyle \Delta v_{M}={\sqrt {v_{\infty ,M}^{2}+{\frac {2\mu _{M}}{r_{p}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu _{M}}{r_{p}}}}=2.10\ {\text{km/s}}}$$زمن الرحلة المركزي الشمسي لانتقال هوهمان هو نصف فترة القطع الناقص للانتقال :$${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{t}^{3}}{\mu _{\odot }}}}=2.24\times 10^{7}\ {\text{s}}\approx 259\ {\text{days}}}$$