ديناميكيات الجزيئات التكاملية المسارية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ ديناميكيات المسار التكاملية الجزيئية ( PIMD ) طريقةً لدمج ميكانيكا الكم في محاكاة ديناميكيات الجزيئات باستخدام تكاملات مسار فاينمان . في PIMD، يُستخدم تقريب بورن-أوبنهايمر لفصل دالة الموجة إلى جزء نووي وجزء إلكتروني. تُعامل النوى كميًا من خلال إسقاط كل نواة كمومية على نظام كلاسيكي من عدة جسيمات افتراضية متصلة بنوابض (جهود توافقية) تخضع لهاملتوني فعال، مُشتق من تكامل مسار فاينمان. على الرغم من تعقيد النظام الكلاسيكي الناتج، إلا أنه يُمكن حله بسرعة نسبية. توجد حاليًا عدة تقنيات شائعة الاستخدام لمحاكاة فيزياء المادة المكثفة باستخدام الحاسوب، والتي تعتمد على صيغة التكامل المساري، بما في ذلك ديناميكيات الجزيئات المركزية ( CMD ) [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]، وديناميكيات جزيئات البوليمر الحلقي ( RPMD ) [ 6 ] [ 7 ] ، وطريقة فينمان-كلاينرت شبه الكلاسيكية ويغنر ( FK-QCW ) (نسبةً إلى ريتشارد فينمان وهاغن كلاينرت ) [ 8 ] [ 9 ] . وتُستخدم هذه التقنيات نفسها أيضًا في طريقة مونت كارلو للتكامل المساري (PIMC) [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ].

توجد طريقتان لحساب ديناميكيات PIMD. الأولى هي نظرية تحليل فضاء الطور غير الهاميلتوني [ 15 ] ، والتي تم تحديثها لإنشاء "نظام موسع" من معادلات الحركة متساوية السرعة، متجاوزةً بذلك خصائص النظام التي أثارت إشكاليات في الأوساط العلمية. أما الطريقة الثانية فهي استخدام سلسلة نوزي-هوفر [ 16 ] ، وهي عبارة عن سلسلة من المتغيرات بدلاً من نظام متغير واحد.

تمثيل دالة التقسيم باستخدام البوليمر الحلقي

لنفترض جسيمًا واحدًا مميزًا كتلتهم{\displaystyle m}يتحرك في بُعد واحد، مع هاميلتوني

ح^=تي^+V^=ص^22م+V(q^).{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {q}}).}

دالة التقسيم الأساسية الخاصة بها هي

سؤال=Tr⁡(هـ-βح^)،β=1كبتي.{\displaystyle Q=\operatorname {Tr} \left(e^{-\beta {\hat {H}}}\right),\qquad \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}

يمكن تقسيم مؤثر بولتزمان إلىن{\displaystyle n}شرائح زمنية خيالية،

هـ-βح^=(هـ-βنح^)ن،βن=βن.{\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}=\left(e^{-\beta _{n}{\hat {H}}}\right)^{n},\qquad \beta _{n}={\frac {\beta }{n}}.}

إدخال مجموعات كاملة من حالات الموضع الذاتية بين العوامل يعطي

سؤال=∫دq1⋯∫دqن∏ج=1ن⟨qج|هـ-βنح^|qج+1⟩،qن+1=q1.{\displaystyle Q=\int \mathrm {d} q_{1}\cdots \int \mathrm {d} q_{n}\prod _{j=1}^{n}\left\langle q_{j}\left|e^{-\beta _{n}{\hat {H}}}\right|q_{j+1}\right\rangle ,\qquad q_{n+1}=q_{1}.}

الحالةqن+1=q1{\displaystyle q_{n+1}=q_{1}}ويتبع ذلك الأثر ويجعل المسار المتقطع دوريًا. بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفايةن{\displaystyle n}، يعطي تحليل سوزوكي-تروتر المتناظر

هـ-βن(تي^+V^)=هـ-βنV^/2هـ-βنتي^هـ-βنV^/2+يا(βن3).{\displaystyle e^{-\beta _{n}({\hat {T}}+{\hat {V}})}=e^{-\beta _{n}{\hat {V}}/2}e^{-\beta _{n}{\hat {T}}}e^{-\beta _{n}{\hat {V}}/2}+{\mathcal {O}}(\beta _{n}^{3}).}

يتم الحصول على مُوَصِّل الزمن التخيلي للجسيم الحر عن طريق إدخال حالات الزخم الذاتية:

⟨q|هـ-βنتي^|q′⟩=12πℏ∫-∞∞دصخبرة⁡[-βنص22م+أناص(q-q′)ℏ]=م2πβنℏ2خبرة⁡[-م(q-q′)22βنℏ2].{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle q\left|e^{-\beta _{n}{\hat {T}}}\right|q'\right\rangle &={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,\exp \left[-{\frac {\beta _{n}p^{2}}{2m}}+{\frac {ip(q-q')}{\hbar }}\right]\\[4pt]&={\sqrt {\frac {m}{2\pi \beta _{n}\hbar ^{2}}}}\,\exp \left[-{\frac {m(q-q')^{2}}{2\beta _{n}\hbar ^{2}}}\right].\end{aligned}}}

تحديد تردد البوليمر الحلقي

ωن=1βنℏ=نβℏ،{\displaystyle \omega _{n}={\frac {1}{\beta _{n}\hbar }}={\frac {n}{\beta \hbar }},}

تصبح مصفوفة الكثافة قصيرة المدى

⟨q|هـ-βنح^|q′⟩≃م2πβنℏ2خبرة⁡{-βن[12مωن2(q-q′)2+V(q)+V(q′)2]}.{\displaystyle \left\langle q\left|e^{-\beta _{n}{\hat {H}}}\right|q'\right\rangle \simeq {\sqrt {\frac {m}{2\pi \beta _{n}\hbar ^{2}}}}\,\exp \left\{-\beta _{n}\left[{\frac {1}{2}}m\omega _{n}^{2}(q-q')^{2}+{\frac {V(q)+V(q')}{2}}\right]\right\}.}

يمكن إدخال مجموعة من الزخمات المساعدة باستخدام متطابقة غاوس

م2πβنℏ2هـ-βنمωن2(q-q′)2/2=12πℏ∫-∞∞دصهـ-βن[ص2/(2م)+مωن2(q-q′)2/2].{\displaystyle {\sqrt {\frac {m}{2\pi \beta _{n}\hbar ^{2}}}}\,e^{-\beta _{n}m\omega _{n}^{2}(q-q')^{2}/2}={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,e^{-\beta _{n}[p^{2}/(2m)+m\omega _{n}^{2}(q-q')^{2}/2]}.}

بتطبيق هذه الهوية على كل شريحة زمنية تخيلية، نحصل على

سؤال=ليمن→∞سؤالن،{\displaystyle Q=\lim _{n\to \infty }Q_{n},}

أين

سؤالن=1(2πℏ)ن∫دص∫دqهـ-βنحن(ص،q){\displaystyle Q_{n}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{n}}}\int \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}\,\int \mathrm {d} {\boldsymbol {q}}\,e^{-\beta _{n}H_{n}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}}

و

حن(ص،q)=∑ج=1ن[صج22م+12مωن2(qج-qج+1)2+V(qج)]،qن+1=q1.{\displaystyle H_{n}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {p_{j}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{n}^{2}(q_{j}-q_{j+1})^{2}+V(q_{j})\right],\qquad q_{n+1}=q_{1}.}

وبالتالي، يتم تحويل دالة التوزيع الكنسي الكمومي إلى دالة التوزيع الكلاسيكية لبوليمر حلقي يحتوي علىن{\displaystyle n} الخرز. يتم توصيل الخرز المتجاور بواسطة نوابض توافقية بتردد ωن{\displaystyle \omega _{n}}وتختبر كل حبة طاقة كامنة فيزيائية V{\displaystyle V}المتغيراتصج{\displaystyle p_{j}}هي زخمات أخذ عينات مساعدة، ولا ينبغي اعتبارها قياسات للزخم الكمومي. تقوم ديناميكيات المسار التكاملي الجزيئي بأخذ عينات من توزيع البوليمر الحلقي هذا باستخدام مسارات ديناميكيات الجزيئات الكلاسيكية. [ 17 ] [ 18 ]

بالنسبة للتحليل المتناظر أعلاه، فإن العامل المحدود الرئيسي-ن{\displaystyle n} يتناسب خطأ التقطيع طرديًا معيا(ن-2){\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{-2})}، مع مراعاة شروط الانتظام المعتادة على الجهد. [ 19 ]

تقديرات التوازن وأخذ عينات الديناميكا الجزيئية

يُرسّخ بناء البوليمر الحلقي تماثلًا كلاسيكيًا للميكانيكا الإحصائية للتوازن: النظام الكمومي عند درجة حرارة معكوسةβ{\displaystyle \beta }يتم تمثيلها بواسطة بوليمر حلقي كلاسيكي يحتوي وزنه في فضاء الطور على βن=β/ن{\displaystyle \beta _{n}=\beta /n}[ 18 ] على الرغم من أن البوليمر الحلقي المساعد يتم أخذ عينات منه باستخدام العامل هـ-βنحن{\displaystyle e^{-\beta _{n}H_{n}}}تبقى درجة الحرارة الفيزيائية 1/(كبβ){\displaystyle 1/(k_{\mathrm {B} }\beta )}; ويكمن اعتمادها في كليهما βن{\displaystyle \beta _{n}}وتردد الزنبرك ωن=ن/(βℏ){\displaystyle \omega _{n}=n/(\beta \hbar )}.

بالنسبة لمتغير قابل للملاحظة ممثل بواسطة مؤثرأ^{\displaystyle {\hat {A}}}، القيمة المتوقعة الكمومية المتعارف عليها هي

⟨أ^⟩=1سؤالTr⁡(هـ-βح^أ^).{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{Q}}\operatorname {Tr} \left(e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {A}}\right).}

إذا كان المتغير القابل للملاحظة يعتمد فقط على الموقع، أ^=أ(q^){\displaystyle {\hat {A}}=A({\hat {q}})}، وتمثيلها في البوليمر الحلقي هو

⟨أ^⟩=ليمن→∞1(2πℏ)نسؤالن∫دص∫دqهـ-βنحن(ص،q)أن(q)،{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{n}Q_{n}}}\int \mathrm {d} {\boldsymbol {p}}\int \mathrm {d} {\boldsymbol {q}}\,e^{-\beta _{n}H_{n}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})}A_{n}({\boldsymbol {q}}),}

أين

أن(q)=1ن∑ج=1نأ(qج){\displaystyle A_{n}({\boldsymbol {q}})={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}A(q_{j})}

هو المُقدِّر المُعتمد على متوسط ​​الخرز. وبالتالي، يتم أولاً حساب متوسط ​​القيمة المرصودة على الخرز، ثم على التوزيع المتعارف عليه لبوليمر الحلقة. [ 17 ]

ديناميكيات الجزيئات التكاملية المسارية

تستخدم ديناميكيات المسار التكاملي الجزيئية ديناميكيات كلاسيكية افتراضية لأخذ عينات من التوزيع الكنسي للبوليمر الحلقي. إذا كانت ديناميكيات أخذ العينات إرجودية وتحافظ على هذا التوزيع، فيمكن تقييم متوسط ​​مجموعة فضاء الطور كمتوسط ​​طويل الأمد على طول مسار. [ 20 ]

كتابة هاميلتونيان البوليمر الحلقي على النحو التالي

حن(ص،q)=∑ج=1نصج22م+يون(q)،{\displaystyle H_{n}({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})=\sum _{j=1}^{n}{\frac {p_{j}^{2}}{2m}}+U_{n}({\boldsymbol {q}}),}

أين

يون(q)=∑ج=1ن[12مωن2(qج-qج+1)2+V(qج)]،qن+1=q1،{\displaystyle U_{n}({\boldsymbol {q}})=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}m\omega _{n}^{2}(q_{j}-q_{j+1})^{2}+V(q_{j})\right],\qquad q_{n+1}=q_{1},}

معادلات هاميلتون المقابلة هي

q˙=∂حن∂ص=صم،ص˙=-∂حن∂q=-∂يون∂q.{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}={\frac {\partial H_{n}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}={\frac {\boldsymbol {p}}{m}},\qquad {\dot {\boldsymbol {p}}}=-{\frac {\partial H_{n}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}=-{\frac {\partial U_{n}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}.}

تحافظ ديناميكيات الهاميلتوني غير المستقرة حرارياً علىحن{\displaystyle H_{n}}وبالتالي، فإنه يأخذ عينات من توزيع ميكروكانوني بدلاً من التوزيع الكانوني. إضافةً إلى ذلك، قد يكون تبادل الطاقة بين أنماط البوليمر الحلقي المقترنة بشكل ضعيف غير فعال، وقد يكون PIMD غير المستقر حرارياً غير إرجودي لبعض الأنظمة. [ 21 ]

تمثيل الوضع الطبيعي

غالبًا ما تحوّل خوارزميات PIMD الفعّالة بوليمر الحلقة الحرة إلى أنماطه الطبيعية. بالنسبة لعدد زوجي من الخرز، يُعاد تسميتها بـ ج=0،...،ن-1{\displaystyle j=0,\ldots ,n-1}التحويل المتعامد الحقيقي هو

Pك=∑ج=0ن-1ججكصج،سؤالك=∑ج=0ن-1ججكqج،{\displaystyle P_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}C_{jk}p_{j},\qquad Q_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}C_{jk}q_{j},}

أين

ججك={1/ن،ك=0،2/نكوس⁡(2πجك/ن)،1≤ك≤ن/2-1،1/ن(-1)ج،ك=ن/2،2/نالخطيئة⁡(2πجك/ن)،ن/2+1≤ك≤ن-1.{\displaystyle C_{jk}={\begin{cases}{\sqrt {1/n}},&k=0,\\[4pt]{\sqrt {2/n}}\cos(2\pi jk/n),&1\leq k\leq n/2-1,\\[4pt]{\sqrt {1/n}}(-1)^{j},&k=n/2,\\[4pt]{\sqrt {2/n}}\sin(2\pi jk/n),&n/2+1\leq k\leq n-1.\end{cases}}}

في هذه الإحداثيات، يكون هاميلتونيان البوليمر الحلقي الحر قطريًا:

حن(0)(P،سؤال)=∑ك=0ن-1[Pك22م+12مωك2سؤالك2]،{\displaystyle H_{n}^{(0)}({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}})=\sum _{k=0}^{n-1}\left[{\frac {P_{k}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right],}

بترددات الوضع العادي

ωك=2ωنالخطيئة⁡(كπن).{\displaystyle \omega _{k}=2\omega _{n}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right).}

الوضعك=0{\displaystyle k=0}له تردد زنبركي صفري ويتوافق مع مركز حلقة البوليمر،

سؤال0=1ن∑ج=0ن-1qج.{\displaystyle Q_{0}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{j=0}^{n-1}q_{j}.}

منظم حرارة PILE

يطبق منظم الحرارة معادلة لانجفين التكاملية للمسار (PILE) منظم حرارة لانجفين يعتمد على التردد على الأنماط الطبيعية لحلقة البوليمر. وبإضافة الجهد الفيزيائي، يمكن كتابة معادلات الزمن المستمر على النحو التالي:

سؤال˙ك=Pكم،{\displaystyle {\dot {Q}}_{k}={\frac {P_{k}}{m}},}

P˙ك=-مωك2سؤالك-∂Vن∂سؤالك-γكPك+2مγكβنξك(ت)،{\displaystyle {\dot {P}}_{k}=-m\omega _{k}^{2}Q_{k}-{\frac {\partial V_{n}}{\partial Q_{k}}}-\gamma _{k}P_{k}+{\sqrt {\frac {2m\gamma _{k}}{\beta _{n}}}}\,\xi _{k}(t),}

أين

Vن(سؤال)=∑ج=0ن-1V(qج(سؤال)){\displaystyle V_{n}({\boldsymbol {Q}})=\sum _{j=0}^{n-1}V(q_{j}({\boldsymbol {Q}}))}

وتُحقق الضوضاء البيضاء الغاوسية المستقلة

⟨ξك(ت)⟩=0،⟨ξك(ت)ξك′(ت′)⟩=دلتاكك′دلتا(ت-ت′).{\displaystyle \langle \xi _{k}(t)\rangle =0,\qquad \langle \xi _{k}(t)\xi _{k'}(t')\rangle =\delta _{kk'}\delta (t-t').}

بالنسبة للأوضاع الداخلية، فإن اختيار PILE الذي يقلل من زمن الارتباط الذاتي لطاقة البوليمر الحلقي الحر هو

γك=2ωك،ك>0.{\displaystyle \gamma _{k}=2\omega _{k},\qquad k>0.}

منذω0=0{\displaystyle \omega _{0}=0}لا تُحدد هذه الوصفة درجة حرارة مركز الثقل. في النسخة المحلية، PILE-L، يُخصص لمركز الثقل معامل احتكاك مستقل.

γ0=1τ0،{\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\tau _{0}}},}

أينτ0{\displaystyle \tau _{0}}هو مقياس زمني لمنظم الحرارة يختاره المستخدم. في النسخة العالمية، PILE-G، يرتبط مركز الثقل بمنظم حرارة عالمي لإعادة قياس السرعة العشوائية. [ 22 ] تُولّد طريقة إعادة قياس السرعة العشوائية التوزيع الكنسي عن طريق إعادة قياس جميع الزخمات المختارة بعامل عشوائي مشترك. [ 23 ]

العلاقة بالديناميكيات الآنية

يُعدّ التماثل بين البوليمر الحلقي وجزيئات البوليمر علاقة توازن إحصائي ميكانيكي. ولذلك، فإن المسارات الافتراضية المستخدمة في PIMD هي مسارات معاينة، وليست، بشكل عام، الديناميكيات الكمومية الحقيقية الدقيقة للنظام الأصلي. وتبقى متوسطات التوازن التكويني ثابتةً باختيار متسق للكتل الافتراضية الموجبة لجزيئات البوليمر الحلقي.

تُقدّم ديناميكيات الجزيئات الحلقية البوليمرية (RPMD) تقريبًا ديناميكيًا إضافيًا. فهي تُسند كتل الجسيمات الفيزيائية إلى خرزات البوليمر الحلقي، وتُعمّم ديناميكيات هاميلتونيان البوليمر الحلقي دون استخدام منظم حراري، وذلك لتقريب دوال الارتباط الزمني الكمومي المُحوّلة بواسطة كوبو. [ 24 ]

الجمع مع تقنيات المحاكاة الأخرى

يمكن لعمليات المحاكاة التي أجراها برنامج PIMD أن تصف بشكل عام الأنظمة الجزيئية الحيوية، وتغطي البنية والتنظيم الكامل للغشاء، بما في ذلك النفاذية، وتفاعلات البروتين مع الدهون، إلى جانب "تفاعلات الدهون مع الأدوية، وتفاعلات البروتين مع الروابط، وبنية البروتين وديناميكياته".

التطبيقات

يُستخدم نموذج PIMD على نطاق واسع لوصف التأثيرات الكمومية النووية في الكيمياء والفيزياء. [ 25 ]

يمكن تطبيق ديناميكيات المسار التكاملي الجزيئي على فيزياء البوليمرات ، ونظريات الحقول، الكمومية وغير الكمومية، ونظرية الأوتار ، والديناميكيات العشوائية، وميكانيكا الكم، والجاذبية الكمومية . كما يمكن استخدام ديناميكيات المسار التكاملي الجزيئي لحساب دوال الارتباط الزمني [ 26 ].

مراجع

  1. ↑ كاو، ج.؛ فوث، ج. أ. (1994). "صياغة الميكانيكا الإحصائية الكمية بناءً على كثافة مركز مسار فاينمان. الجزء الأول: خصائص التوازن" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الكيميائية . 100 (7): 5093. رمز Bibcode : 1994JChPh.100.5093C . doi : 10.1063/1.467175 . مؤرشف من الأصل في 24 سبتمبر 2017. تم الاطلاع عليه في 29 أبريل 2018 .
  2. ↑ كاو، ج.؛ فوث، ج. أ. (1994). "صياغة الميكانيكا الإحصائية الكمية بناءً على كثافة مركز مسار فاينمان. الجزء الثاني: الخصائص الديناميكية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 100 (7): 5106. Bibcode : 1994JChPh.100.5106C . doi : 10.1063/1.467176 .
  3. ↑ جانغ، س.؛ فوث، ج. أ. (1999). "اشتقاق ديناميكيات الجزيئات المركزية وطرق التطور الزمني التقريبية الأخرى لمتغيرات التكامل المساري المركزية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 111 (6): 2371. Bibcode : 1999JChPh.111.2371J . doi : 10.1063/1.479515 .
  4. ↑ راميريز، ر.؛ لوبيز-سيوداد، ت. (1999). "صياغة شرودنغر لكثافة مركز مسار فاينمان". مجلة الفيزياء الكيميائية . 111 (8): 3339. arXiv : cond-mat/9906318 . Bibcode : 1999JChPh.111.3339R . doi : 10.1063/1.479666 . S2CID 15452314 . 
  5. ↑ بولياكوف، إي. أ.؛ ليوبارتسيف، أ. ب.؛ فورونتسوف-فيليامينوف، ب. ن. (2010). "ديناميكيات الجزيئات المركزية: مقارنة بالنتائج الدقيقة للأنظمة النموذجية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 133 (19): 194103. Bibcode : 2010JChPh.133s4103P . doi : 10.1063/1.3484490 . PMID 21090850 . 
  6. ↑ كريغ، آي آر؛ مانولوبولوس، دي إي (2004). "الإحصاء الكمي والميكانيكا الكلاسيكية: دوال الارتباط في الزمن الحقيقي من ديناميكيات الجزيئات البوليمرية الحلقية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 121 (8): 3368-3373 . Bibcode : 2004JChPh.121.3368C . doi : 10.1063/1.1777575 . PMID 15303899 . 
  7. ↑ برامز، بي جيه؛ مانولوبولوس، دي إي (2006). "حول الحد الزمني القصير لديناميكيات جزيئات البوليمر الحلقي". مجلة الفيزياء الكيميائية . 125 (12): 124105. Bibcode : 2006JChPh.125l4105B . doi : 10.1063/1.2357599 . PMID 17014164 . 
  8. ↑ سميث، كايل كيه جي؛ بولسن، ينس آجي؛ نيمان، غونار؛ روسكي، بيتر جيه. (28 يونيو 2015). "فئة جديدة من الخوارزميات الحافظة للمجموعة لديناميكيات الكم التقريبية: الصياغة النظرية ومسائل النموذج". مجلة الفيزياء الكيميائية . 142 (24): 244112. Bibcode : 2015JChPh.142x4112S . doi : 10.1063/1.4922887 . hdl : 1911/94772 . ISSN 0021-9606 . PMID 26133415 .  
  9. ↑ سميث، كايل كيه جي؛ بولسن، ينس آجي؛ نيمان، غونار؛ كونسولو، أليساندرو؛ روسكي، بيتر جيه. (28 يونيو 2015). "تطبيق خوارزمية محاكاة ديناميكيات الكم الجديدة التي تحافظ على المجموعة على الهيدروجين السائل البارا-هيدروجين والأورثو-ديوتيريوم". مجلة الفيزياء الكيميائية . 142 (24): 244113. Bibcode : 2015JChPh.142x4113S . doi : 10.1063/1.4922888 . hdl : 1911/94773 . ISSN 0021-9606 . OSTI 1237171. PMID 26133416 .   
  10. ↑ بيرن، بي جيه؛ ثيرومالاي، دي. (1986). "حول محاكاة الأنظمة الكمومية: طرق التكامل المساري". المراجعة السنوية للكيمياء الفيزيائية . 37 : 401-424 . Bibcode : 1986ARPC...37..401B . doi : 10.1146/annurev.pc.37.100186.002153 .
  11. ↑ جيلان، إم جيه (1990). "محاكاة التكامل المساري للأنظمة الكمومية، القسم 2.4". في: سي آر إيه كاتلو؛ إس سي باركر؛ إم بي ألين (محررون). النمذجة الحاسوبية للسوائل والبوليمرات والمواد الصلبة . سلسلة ناتو ASI C. المجلد 293. الصفحات 155-188 . ISBN   978-0-7923-0549-1.
  12. ↑ تروتر، إتش إف (1959). "حول حاصل ضرب أنصاف زمر المؤثرات" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 10 (4): 545-551 . doi : 10.1090/S0002-9939-1959-0108732-6 . JSTOR 2033649 . 
  13. ↑ تشاندلر، د. (1981). "استغلال التماثل بين نظرية الكم والميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية للسوائل متعددة الذرات". مجلة الفيزياء الكيميائية . 74 (7): 4078-4095 . Bibcode : 1981JChPh..74.4078C . doi : 10.1063/1.441588 .
  14. ↑ ماركس، د.؛ موسر، م.هـ. (1999). "محاكاة التكامل المساري للدوارات: النظرية والتطبيقات". مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 11 (11): R117. رمز Bibcode : 1999JPCM...11R.117M . doi : 10.1088/0953-8984/11/11/003 . S2CID 250913547 . 
  15. ↑ "نظرية غير هاميلتون" .
  16. ↑ "سلاسل الأنف والمكنسة الكهربائية" (ملف PDF) . 1992.
  17. 1 2 بيرن، بي جيه؛ ثيرومالاي، دي. (1986). "حول محاكاة الأنظمة الكمومية: طرق التكامل المساري". المراجعة السنوية للكيمياء الفيزيائية . 37 : 401-424 . doi : 10.1146/annurev.pc.37.100186.002153 .
  18. 1 2 تشاندلر، ديفيد؛ وولينز، بيتر ج. (1981). "استغلال التماثل بين نظرية الكم والميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية للسوائل متعددة الذرات". مجلة الفيزياء الكيميائية . 74 (7): 4078-4095 . doi : 10.1063/1.441588 .
  19. ↑ تروتر، إتش إف (1959). "حول حاصل ضرب أنصاف مجموعات المؤثرات". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 10 (4): 545-551 . doi : 10.1090/S0002-9939-1959-0108732-6 .
  20. ↑ بارينيلو، ميشيل؛ رحمن، أنيسور (1984). "دراسة مركز F في كلوريد البوتاسيوم المنصهر". مجلة الفيزياء الكيميائية . 80 (2): 860-867 . doi : 10.1063/1.446740 .
  21. ↑ هول، راندال دبليو؛ بيرن، بي جيه (1984). "عدم التكافؤ في ديناميكيات الجزيئات التكاملية المسارية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 81 (8): 3641-3643 . doi : 10.1063/1.448112 .
  22. ↑ سيروتي، ميشيل؛ بارينيلو، ميشيل؛ ماركلاند، توماس إي؛ مانولوبولوس، ديفيد إي (2010). "الضبط الحراري العشوائي الفعال لديناميكيات الجزيئات التكاملية المسارية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 133 (12): 124104. doi : 10.1063/1.3489925 .
  23. ↑ بوسي، جيوفاني؛ دوناديو، دافيد؛ بارينيلو، ميشيل (2007). "أخذ العينات الكنسي من خلال إعادة قياس السرعة". مجلة الفيزياء الكيميائية . 126 (1): 014101. doi : 10.1063/1.2408420 .
  24. ↑ كريغ، إيان ر.؛ مانولوبولوس، ديفيد إي. (2004). "الإحصاء الكمي والميكانيكا الكلاسيكية: دوال الارتباط في الزمن الحقيقي من ديناميكيات الجزيئات البوليمرية الحلقية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 121 (8): 3368-3373 . doi : 10.1063/1.1777575 .
  25. ↑ هيرشبرغ، باراك (2019). " PIMD للثدي - PNAS" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 116 (43): 21445-21449 . doi : 10.1073/pnas.1913365116 . PMC 6815177. PMID 31591226 .  
  26. ↑ كاو، ج.؛ فوث، ج. أ. (1996). "تقريبات شبه كلاسيكية لدوال الارتباط الزمني الديناميكي الكمومي". مجلة الفيزياء الكيميائية . 104 (1): 273-285 . Bibcode : 1996JChPh.104..273C . doi : 10.1063/1.470898 .

للمزيد من القراءة

  • فاينمان، آر بي (1972). "الفصل 3". الميكانيكا الإحصائية . ريدينغ، ماساتشوستس: بنجامين. ISBN 0-201-36076-4.
  • موريتا، ت. (1973). "حل معادلة بلوخ لأنظمة الجسيمات المتعددة بدلالة التكامل المساري". مجلة الجمعية الفيزيائية اليابانية . 35 (4): 980-984 . Bibcode : 1973JPSJ...35..980M . doi : 10.1143/JPSJ.35.980 .
  • ويجل، ف. و. (1975). "طرق التكامل المساري في الميكانيكا الإحصائية". تقارير الفيزياء . 16 (2): 57-114 . Bibcode : 1975PhR....16...57W . doi : 10.1016/0370-1573(75)90030-7 .
  • باركر، جيه إيه (1979). "طريقة مونت كارلو الإحصائية الكمية؛ تكاملات المسار مع الشروط الحدية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 70 (6): 2914-2918 . Bibcode : 1979JChPh..70.2914B . doi : 10.1063/1.437829 .
  • سيبرلي، د.م. (1995). "تكاملات المسار في نظرية الهيليوم المكثف". مراجعات الفيزياء الحديثة . 67 (2): 279-355 . رمز Bibcode : 1995RvMP...67..279C . doi : 10.1103/RevModPhys.67.279 .
  • تشاكرافارتي، سي. (1997). "محاكاة التكامل المساري للأنظمة الذرية والجزيئية". المراجعات الدولية في الكيمياء الفيزيائية . 16 (4): 421-444 . Bibcode : 1997IRPC...16..421C . doi : 10.1080/014423597230190 .
  • "مصفوفات الكثافة وتكاملات المسار" . موسوعة SMAC . مؤرشفة من الأصل (شفرة الحاسوب) في 1 مايو 2016. تم الاطلاع عليها في 12 مايو 2012 .
  • جون شومواي؛ ماثيو جيلبرت (2008). "محاكاة مونت كارلو للتكامل المساري" . doi : 10.4231/D3T43J39D .{{cite journal}}يتطلب Cite journal |journal=( مساعدة ) صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )