توسيع كثير الحدود

في الرياضيات ، يُعبّر عن حاصل ضرب المجاميع كمجموع حاصل ضرب، وذلك بالاستفادة من حقيقة أن الضرب يتوزع على الجمع. ويمكن الحصول على توسيع تعبير متعدد الحدود باستبدال التعبيرات الفرعية التي تضرب تعبيرين فرعيين آخرين، أحدهما على الأقل جمع، بمجموع حاصل الضرب المكافئ، حتى يصبح التعبير مجموع حاصل ضرب (مكرر). وخلال عملية التوسيع، يمكن تطبيق تبسيطات مثل تجميع الحدود المتشابهة أو حذف الحدود. وبدلاً من الضرب، يمكن أن تتضمن خطوات التوسيع استبدال قوى مجموع الحدود بالتعبير المكافئ المُستمد من صيغة ذات الحدين ؛ وهذا شكل مختصر لما يحدث عند التعامل مع القوة كضرب متكرر، وتوسيعها بشكل متكرر. واصطلاحاً، تُعاد الأسس في التعبير النهائي كلما احتوت الحدود على حاصل ضرب الرموز نفسها.

من الأمثلة البسيطة على متسلسلات كثيرات الحدود القواعد المعروفة

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)(xy)=x^{2}-y^{2}}$

عند استخدامها من اليسار إلى اليمين. سيؤدي توسيع أحادي الخطوة أكثر عمومية إلى إدخال جميع نواتج ضرب حد من أحد المجموعتين في حد من المجموعة الأخرى:

${\displaystyle (a+b+c+d)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz}$

من الأمثلة على التوسعات التي تتضمن خطوات إعادة كتابة متداخلة متعددة، عملية حساب مخطط هورنر لكثير الحدود (الموسع) الذي يحدده، على سبيل المثال

${\displaystyle 1+x(-3+x(4+x(0+x(-12+x\cdot 2))))=1-3x+4x^{2}-12x^{4}+2x^{5}}$.

وتسمى العملية المعاكسة لمحاولة كتابة كثير الحدود الموسع كحاصل ضرب بتحليل كثير الحدود .

لضرب عاملين، يجب ضرب كل حد من حدود العامل الأول بكل حد من حدود العامل الآخر. إذا كان كلا العاملين ثنائيي حد ، فيمكن استخدام قاعدة FOIL ، وهي اختصار لعبارة " الأول ، الخارجي، الداخلي ، الأخير "، في إشارة إلى الحدود التي تُضرب معًا. على سبيل المثال، بفك الأقواس .

${\displaystyle (x+2)(2x-5)\,}$

العائد

${\displaystyle 2x^{2}-5x+4x-10=2x^{2}-x-10.}$

عند التوسع${\displaystyle (x+y)^{n}}$توجد علاقة خاصة بين معاملات الحدود عند كتابتها بترتيب تنازلي لقوى x وتصاعدي لقوى y . ستكون هذه المعاملات هي الأرقام الموجودة في الصف ( n + 1) من مثلث باسكال (لأن مثلث باسكال يبدأ بالصف والعمود رقم 0).

على سبيل المثال، عند التوسع${\displaystyle (x+y)^{6}}$، ويتم الحصول على ما يلي:

${\displaystyle {\color {red}1}x^{6}+{\color {red}6}x^{5}y+{\color {red}{15}}x^{4}y^{2}+{\color {red}{20}}x^{3}y^{3}+{\color {red}{15}}x^{2}y^{4}+{\color {red}{6}}xy^{5}+{\color {red}1}y^{6}\,}$

• تحليل كثير الحدود
• التحليل إلى عوامل
• نظرية متعددة الحدود

مناقشة

• مراجعة كتاب الجبر: التوسع، مؤرشف بتاريخ 10 ديسمبر 2014 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine )، جامعة أكرون

أدوات عبر الإنترنت

• قم بتوسيع الصفحة ، quickmath.com
• آلة حاسبة إلكترونية مع حسابات رمزية ، livephysics.com