الصيغة الإيجابية

في الهندسة المعقدة ، يشير مصطلح الشكل الموجب إلى عدة فئات من الأشكال التفاضلية الحقيقية من نوع هودج (p, p) .

الأشكال الحقيقية من النوع ( p , p ) على مشعب عقدي M هي أشكال من النوع ( p , p ) وحقيقية، أي أنها تقع في التقاطع${\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).}$شكل حقيقي (1,1)${\displaystyle \omega }$يُطلق عليها شبه موجبة ^{[ 1 ]} (وأحيانًا موجبة فقط ^{[ 2 ]} )، على التوالي، موجبة ^{[ 3 ]} (أو موجبة تمامًا ^{[ 4 ]} ) إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

1. ${\displaystyle -\omega }$هو الجزء التخيلي من شكل هيرميتي شبه موجب (على التوالي، موجب موجب) .
2. لبعض الأسس${\displaystyle dz_{1},...dz_{n}}$في الفضاء${\displaystyle \Lambda ^{1,0}M}$من الأشكال (1,0)،${\displaystyle \omega }$يمكن كتابتها بشكل قطري، كما${\displaystyle \omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},}$مع${\displaystyle \alpha _{i}}$حقيقي وغير سالب (على التوالي، موجب).
3. لأي متجه مماس (1,0)${\displaystyle v\in T^{1,0}M}$،${\displaystyle -{\sqrt {-1}}\أوميغا (v,{\bar {v}})\geq 0}$(على التوالى،${\displaystyle >0}$).
4. لأي متجه مماس حقيقي${\displaystyle v\in TM}$،${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0}$(على التوالى،${\displaystyle >0}$)، أين${\displaystyle I:\;TM\mapsto TM}$هو عامل البنية المعقدة .

في الهندسة الجبرية، تنشأ الأشكال (1,1) الموجبة المحددة كأشكال انحناء لحزم الخطوط الوفيرة (المعروفة أيضًا باسم حزم الخطوط الموجبة ). ليكن L حزمة خطوط هيرميتية هولومورفية على مشعب عقدي،

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}$

عامل بنيته المعقدة. ثم يتم تزويد L بوصلة فريدة تحافظ على البنية الهرميتية وتلبي المتطلبات التالية:

${\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}}$.

يُطلق على هذا الاتصال اسم اتصال تشيرن .

الانحناء${\displaystyle \Theta }$يكون شكل اتصال تشيرن دائمًا شكلًا تخيليًا بحتًا من النوع (1,1). تُسمى حزمة الخط L موجبة إذا${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$هي شكل موجب من النوع (1,1). (لاحظ أن فئة التماثل لـ de Rham هي${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$يكون${\displaystyle 2\pi }$(أحادي فئة تشيرن الأولى من L. ) تنص نظرية كودايرا للتضمين على أن حزمة الخط الموجبة تكون وافرة، وعلى العكس من ذلك، فإن أي حزمة خط وافرة تقبل مقياسًا هيرميتيًا مع${\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }$إيجابي.

تُشكّل الأشكال شبه الموجبة (1,1) على M مخروطًا محدبًا . عندما يكون M سطحًا معقدًا مضغوطًا ،${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2}$هذا المخروط مزدوج ذاتيًا ، بالنسبة إلى اقتران بوانكاريه  :${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

بالنسبة للأشكال (p, p) ، حيث${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$هناك مفهومان مختلفان للإيجابية. ^{[ 5 ]} يُطلق على الشكل اسم إيجابي بقوة إذا كان عبارة عن توليفة خطية من نواتج أشكال شبه موجبة، بمعاملات حقيقية موجبة. الشكل الحقيقي (p, p)${\displaystyle \eta }$يُقال عن M على مشعب عقدي ذي n بُعد أن يكون موجبًا بشكل ضعيف إذا كان لكل أشكال (np, np) -الموجبة بقوة ζ ذات الدعم المدمج، لدينا${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$.

تُشكّل الأشكال الموجبة الضعيفة والموجبة القوية مخاريط محدبة. وعلى المشعبات المدمجة، تكون هذه المخاريط ثنائية بالنسبة إلى اقتران بوانكاريه.

• بي. غريفيث وج . هاريس (1978)، مبادئ الهندسة الجبرية ، وايلي. ISBN 0-471-32792-1
• غريفيث، فيليب (3 يناير 2020). "نظريات الإيجابية والتلاشي" . hdl : 20.500.12111/7881 .
• J.-P. Demailly ، L ² نظريات التلاشي لحزم الخطوط الموجبة ونظرية الاقتران، ملاحظات محاضرة لدورة CIME حول "الأساليب المتسامية للهندسة الجبرية" (سيترارو، إيطاليا، يوليو 1994) .
• Huybrechts، Daniel (2005)، الهندسة المعقدة: مقدمة ، سبرينغر ، ISBN 3-540-21290-6، MR 2093043 
• فوازين، كلير (2007) [2002]، نظرية هودج والهندسة الجبرية المعقدة (مجلدان) ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/CBO9780511615344 ، ISBN 978-0-521-71801-1، MR 1967689