نظام بوستنيكوف

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 122 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية التماثل ، وهي فرع من فروع الطوبولوجيا الجبرية ، يُعد نظام بوستنيكوف (أو برج بوستنيكوف ) طريقة لتحليل الفضاء الطوبولوجي عن طريق ترشيح نوع التماثل الخاص به . بالنسبة للفضاءX{\displaystyle X}هذه قائمة بالمساحات{Xن}ن≥0{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}أين

πك(Xن)={πك(X) ل ك≤ن0 ل ك>ن{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ لـ }}k\leq n\\0&{\text{ لـ }}k>n\end{cases}}}

وسلسلة من الخرائطϕن:Xن→Xن-1{\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}وهي عبارة عن تليفات ذات مساحات إيلنبرغ-ماكلينك(πن(X)،ن){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}كألياف. باختصار، نحن نحلل نوع التماثل لـX{\displaystyle X}باستخدام نظام عكسي من الفضاءات الطوبولوجية التي يكون نوع التماثل الخاص بها عند الدرجةك{\displaystyle k}يتوافق مع نوع التماثل المقتطع للفضاء الأصليX{\displaystyle X}تم تقديم أنظمة بوستنيكوف بواسطة ميخائيل بوستنيكوف ، وهي تحمل اسمه .

يوجد بناء مشابه يسمى برج وايتهيد (الموضح أدناه) حيث بدلاً من وجود مساحاتXن{\displaystyle X_{n}}مع نوع التماثل منX{\displaystyle X}للحصول على درجات علمية≤ن{\displaystyle \leq n}، هذه الفضاءات لها مجموعات تماثلية صفريةπك(Xن)=0{\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}ل1<ك<ن{\displaystyle 1<k<n}.

تعريف

نظام بوستنيكوف للفضاء المتصل بالمسارX{\displaystyle X}هو نظام معكوس من الفضاءات

⋯→Xن→صنXن-1→صن-1⋯→ص3X2→ص2X1→ص1*{\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}

مع سلسلة من الخرائطϕن:X→Xن{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}متوافق مع النظام العكسي بحيث

  1. الخريطةϕن:X→Xن{\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}يُحدث تماثلاًπأنا(X)→πأنا(Xن){\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}لكلأنا≤ن{\displaystyle i\leq n}.
  2. πأنا(Xن)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}لأنا>ن{\displaystyle i>n}[ 1 ] : 410​
  3. كل خريطةصن:Xن→Xن-1{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}هو تليف ، وبالتالي فإن الليفFن{\displaystyle F_{n}}هو فضاء إيلينبيرج-ماكلين ،ك(πن(X)،ن){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}.

الشرطان الأولان يعنيان أنX1{\displaystyle X_{1}}وهو أيضًاك(π1(X)،1){\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}-مسافة. وبشكل أعم، إذاX{\displaystyle X}يكون(ن-1){\displaystyle (n-1)}-متصل، ثمXن{\displaystyle X_{n}}هوك(πن(X)،ن){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}-المسافة وكل شيءXأنا{\displaystyle X_{i}}لأنا<ن{\displaystyle i<n}قابلة للانكماش . لاحظ أن الشرط الثالث لا يُدرج إلا بشكل اختياري من قبل بعض المؤلفين.

وجود

توجد أنظمة بوستنيكوف على مجمعات CW المتصلة ، [ 1 ] : 354 ، وهناك تكافؤ تماثلي ضعيف بينX{\displaystyle X}ونهايتها العكسية ، لذلك

X≃ليم←⁡Xن{\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}،

مما يدل على أنX{\displaystyle X}هي تقريب CW لنهايتها العكسية. يمكن بناؤها على مُركّب CW عن طريق حذف مجموعات التماثل بشكل متكرر. إذا كان لدينا تطبيقو:Sن→X{\displaystyle f:S^{n}\to X}يمثل فئة التماثل[و]∈πن(X){\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}يمكننا إجراء عملية الدفع على طول خريطة الحدودSن→هـن+1{\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}القضاء على فئة التماثل. لـXم{\displaystyle X_{m}}يمكن تكرار هذه العملية للجميعن>م{\displaystyle n>m}مما يعطي فضاءً يحتوي على مجموعات تماثلية متلاشيةπن(Xم){\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}باستخدام حقيقة أنXن-1{\displaystyle X_{n-1}}يمكن بناؤها منXن{\displaystyle X_{n}}عن طريق القضاء على جميع خرائط التماثلSن→Xن{\displaystyle S^{n}\to X_{n}}، فنحصل على خريطةXن→Xن-1{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}.

العقار الرئيسي

إحدى الخصائص الرئيسية لبرج بوستنيكوف، والتي تجعله قويًا جدًا للدراسة أثناء حساب علم التماثل، هي حقيقة أن الفضاءاتXن{\displaystyle X_{n}}متماثلة مع مركب CWXن{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}وهو ما يختلف عنX{\displaystyle X}فقط بواسطة خلايا ذات أبعاد≥ن+2{\displaystyle \geq n+2}.

تصنيف التليفات وفقًا للتماثل

تسلسل التليفصن:Xن→Xن-1{\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}[ 2 ] لها ثوابت محددة طوبولوجيًا، أي فئات التماثل للخرائطصن{\displaystyle p_{n}}، أعطِ نوع تماثل محدد جيدًا[X]∈ب⁡(حتيoص){\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}فئة التماثل لـصن{\displaystyle p_{n}}ينبع ذلك من النظر إلى فئة التماثل لخريطة التصنيف للأليافك(πن(X)،ن){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}الخريطة التصنيفية المرتبطة بها هي

Xن-1→ب(ك(πن(X)،ن))≃ك(πن(X)،ن+1){\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}،

ومن ثم فئة التماثل[صن]{\displaystyle [p_{n}]}يتم تصنيفها بواسطة فئة التماثل

[صن]∈[Xن-1،ك(πن(X)،ن+1)]≅حن+1(Xن-1،πن(X)){\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}

يُطلق عليه اسم الثابت النوني لبوستنيكوف لـX{\displaystyle X}، لأن فئات التماثل للخرائط إلى فضاءات إيلنبرغ-ماكلين تعطي علم التماثل بمعاملات في المجموعة الأبيلية المرتبطة .

تسلسل الألياف للفضاءات ذات مجموعتين تماثليتين غير تافهتين

تُعد فئة الفضاءات المتماثلة إحدى الحالات الخاصة لتصنيف التماثل.X{\displaystyle X}بحيث يوجد تليف

ك(أ،ن)→X→π1(X){\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}

إعطاء نوع تماثلي مع مجموعتين تماثليتين غير تافهتين،π1(X)=جي{\displaystyle \pi _{1}(X)=G}، وπن(X)=أ{\displaystyle \pi _{n}(X)=A}ثم، انطلاقاً من المناقشة السابقة، خريطة التليفبجي→ك(أ،ن+1){\displaystyle BG\to K(A,n+1)}يُعطي فئة علم التماثل في

حن+1(بجي،أ){\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}،

والتي يمكن تفسيرها أيضًا على أنها فئة تماثل جماعي . هذا الفضاءX{\displaystyle X}يمكن اعتبارها نظامًا محليًا أعلى .

أمثلة على أبراج بوستنيكوف

برج بوستنيكوف لـ K ( G , n )

تُعد فضاءات إيلنبرغ-ماكلين من أبسط الأمثلة المفاهيمية لبرج بوستنيكوف.ك(جي،ن){\displaystyle K(G,n)}وهذا يُعطي برجًا مع

Xأنا≃*ل أنا<نXأنا≃ك(جي،ن)ل أنا≥ن{\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}

برج بوستنيكوف S 2

برج بوستنيكوف للكرةS2{\displaystyle S^{2}}هي حالة خاصة يمكن فهم حدودها القليلة الأولى بشكل صريح. بما أن لدينا مجموعات التماثل القليلة الأولى من الاتصال البسيط لـS2{\displaystyle S^{2}}، ونظرية درجات الكرات، وتليف هوبف ، مما يؤدي إلىπك(S2)≃πك(S3){\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}لك≥3{\displaystyle k\geq 3}، لذلك

π1(S2)=0π2(S2)=Zπ3(S2)=Zπ4(S2)=Z/2.{\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}

ثم،X2=S22=ك(Z،2){\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}، وX3{\displaystyle X_{3}}يأتي من تسلسل التراجع

X3→*↓↓X2→ك(Z،4)،{\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}

وهو عنصر في

[ص3]∈[ك(Z،2)،ك(Z،4)]≅ح4(جP∞)=Z{\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }.

لو كان هذا الأمر تافهاً لكان يعني...X3≃ك(Z،2)×ك(Z،3){\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}لكن هذا ليس صحيحًا! في الواقع، هذا هو السبب في أن الزمر اللانهائية الصارمة لا تمثل أنواع التماثل. [ 3 ] يتطلب حساب هذا الثابت جهدًا أكبر، لكن يمكن إيجاده بشكل صريح. [ 4 ] هذه هي الصيغة التربيعية.x↦x2{\displaystyle x\mapsto x^{2}}علىZ→Z{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }ناتج عن تليف هوبفS3→S2{\displaystyle S^{3}\to S^{2}}لاحظ أن كل عنصر فيح4(جP∞){\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}يعطي نوعاً مختلفاً من التماثل الثلاثي.

مجموعات التماثل الكروي

أحد تطبيقات برج بوستنيكوف هو حساب مجموعات التماثل الكروي . [ 5 ] بالنسبة لـن{\displaystyle n}كرة ذات أبعادSن{\displaystyle S^{n}}يمكننا استخدام نظرية هوريفيتش لإثبات كلSأنان{\displaystyle S_{i}^{n}}قابل للتعاقد عليهأنا<ن{\displaystyle i<n}بما أن النظرية تشير إلى أن مجموعات التماثل الأدنى تافهة. تذكر أن هناك متتالية طيفية لأي تليف سير ، مثل التليف

ك(πن+1(X)،ن+1)≃Fن+1→Sن+1ن→Sنن≃ك(Z،ن){\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}.

يمكننا بعد ذلك تكوين متتالية طيفية متماثلة معهـ2{\displaystyle E^{2}}-شروط

هـص،q2=حص(ك(Z،ن)،حq(ك(πن+1(Sن)،ن+1))){\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}.

وأول خريطة غير تافهة لـπن+1(Sن){\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}،

د0،ن+1ن+1:حن+2(ك(Z،ن))→ح0(ك(Z،ن)،حن+1(ك(πن+1(Sن)،ن+1))){\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}،

ويمكن كتابتها بنفس الطريقة على النحو التالي:

د0،ن+1ن+1:حن+2(ك(Z،ن))→πن+1(Sن){\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}.

إذا كان من السهل حسابهحن+1(Sن+1ن){\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}وحن+2(Sن+2ن){\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}ثم يمكننا الحصول على معلومات حول شكل هذه الخريطة. على وجه الخصوص، إذا كانت تماثلًا، فسنحصل على حساب لـπن+1(Sن){\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}في هذه الحالةن=3{\displaystyle n=3}، ويمكن حساب ذلك صراحةً باستخدام تليف المسار لـك(Z،3){\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}، العقار الرئيسي لبرج بوستنيكوف لـX4≃S3∪{خلايا ذات أبعاد≥6}{\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}(أعطِ)ح4(X4)=ح5(X4)=0{\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}، ونظرية المعامل العام التي تعطيπ4(S3)=Z/2{\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}علاوة على ذلك، وبسبب نظرية تعليق فرويدنتال، فإن هذا يعطي في الواقع مجموعة التماثل المستقرةπ1S{\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}منذπن+ك(Sن){\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}مستقر لـن≥ك+2{\displaystyle n\geq k+2}.

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تطبيق تقنيات مماثلة باستخدام برج وايتهيد (أدناه) للحساب.π4(S3){\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}وπ5(S3){\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}، مما يعطي أول مجموعتين من مجموعات التماثل المستقرة غير التافهة للكرات.

أبراج بوستنيكوف للأطياف

بالإضافة إلى برج بوستنيكوف الكلاسيكي، هناك مفهوم لأبراج بوستنيكوف في نظرية التماثل المستقر المبنية على الأطياف [ 6 ] ص 85-86 .

تعريف

للطيفهـ{\displaystyle E}برج بوستنيكوفهـ{\displaystyle E}هو رسم بياني في فئة التماثل الطيفي،هو(الأطياف){\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}، مقدمة من

⋯→هـ(2)→ص2هـ(1)→ص1هـ(0){\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}،

مع الخرائط

τن:هـ→هـ(ن){\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}

التنقل معصن{\displaystyle p_{n}}الخرائط. إذن، يُعتبر هذا البرج برج بوستنيكوف إذا تحققت الشروط التالية:

  1. πأناS(هـ(ن))=0{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}لأنا>ن{\displaystyle i>n}،
  2. (τن)*:πأناS(هـ)→πأناS(هـ(ن)){\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}هو تماثل لـأنا≤ن{\displaystyle i\leq n}،

أينπأناS{\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}هي مجموعات التماثل المستقرة للطيف. اتضح أن لكل طيف برج بوستنيكوف، ويمكن بناء هذا البرج باستخدام إجراء استقرائي مشابه للإجراء المذكور أعلاه.

برج وايتهيد

بالنظر إلى مركب CWX{\displaystyle X}يوجد بناء مزدوج لبرج بوستنيكوف يُسمى برج وايتهيد . فبدلاً من إزالة جميع مجموعات التماثل الأعلى، يقوم برج وايتهيد بإزالة مجموعات التماثل الأدنى بشكل متكرر. ويُعطى هذا البناء ببرج من مُركبات CW.

⋯→X3→X2→X1→X{\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}،

أين

  1. مجموعات التماثل الأدنى تساوي صفرًا، لذاπأنا(Xن)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}لأنا≤ن{\displaystyle i\leq n}.
  2. الخريطة المستحثةπأنا:πأنا(Xن)→πأنا(X){\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}هو تماثل لـأنا>ن{\displaystyle i>n}.
  3. الخرائطXن→Xن-1{\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}هي تليفات مع أليافك(πن(X)،ن-1){\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}.

تداعيات

يلاحظX1→X{\displaystyle X_{1}\to X}هو الغطاء العالمي لـX{\displaystyle X}لأنها مساحة مغطاة بغطاء متصل ببساطة. علاوة على ذلك، كلXن→X{\displaystyle X_{n}\to X}هو الكونين{\displaystyle n}- غلاف متصل بـX{\displaystyle X}.

بناء

المساحاتXن{\displaystyle X_{n}}تم بناء برج وايتهيد باستخدام الاستقراء. إذا قمنا ببناءك(πن+1(X)،ن+1){\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}عن طريق القضاء على مجموعات التماثل الأعلى فيXن{\displaystyle X_{n}}[ 7 ] نحصل على تضمينXن→ك(πن+1(X)،ن+1){\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}إذا سمحنا

Xن+1={و:أنا→ك(πن+1(X)،ن+1):و(0)=ص و و(1)∈Xن}{\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}

لبعض النقاط الأساسية الثابتةص{\displaystyle p}ثم الخريطة المستحثةXن+1→Xن{\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}هي حزمة ألياف ذات ألياف متماثلة الشكل لـ

Ωك(πن+1(X)،ن+1)≃ك(πن+1(X)،ن){\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}،

وهكذا لدينا تليف سير

ك(πن+1(X)،ن)→Xن→Xن-1{\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}.

باستخدام المتتالية التامة الطويلة في نظرية التماثل، لدينا أنπأنا(Xن)=πأنا(Xن-1){\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}لأنا≥ن+1{\displaystyle i\geq n+1}،πأنا(Xن)=πأنا(Xن-1)=0{\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}لأنا<ن-1{\displaystyle i<n-1}وأخيراً، هناك تسلسل دقيق

0→πن+1(Xن+1)→πن+1(Xن)→∂πنك(πن+1(X)،ن)→πن(Xن+1)→0{\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}،

حيث إذا كان التشاكل الأوسط تشاكلاً، فإن المجموعتين الأخريين تساويان صفرًا. ويمكن التحقق من ذلك بالنظر إلى التضمين.Xن→ك(πن+1(X)،ن+1){\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}مع ملاحظة أن فضاء إيلنبرغ-ماكلين له تحلل خلوي

Xن-1∪{خلايا ذات أبعاد≥ن+2}{\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}؛ هكذا،
πن+1(Xن)≅πن+1(ك(πن+1(X)،ن+1))≅πن(ك(πن+1(X)،ن)){\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}،

تحقيق النتيجة المرجوة.

كألياف متماثلة

هناك طريقة أخرى للنظر إلى مكونات برج وايتهيد وهي اعتبارها أليافًا متماثلة . إذا أخذنا

هوفيبر(ϕن:X→Xن){\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}

من برج بوستنيكوف، نحصل على مساحةXن{\displaystyle X^{n}}والذي لديه

πك(Xن)={πك(X)ك>ن0ك≤ن{\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}

برج وايتهيد للأطياف

يمكن تعريف المفهوم المزدوج لبرج وايتهيد بطريقة مماثلة باستخدام ألياف التماثل في فئة الأطياف. إذا افترضنا

هـ⟨ن⟩=هوفيبر⁡(τن:هـ→هـ(ن)){\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}

ثم يمكن تنظيم ذلك في شكل برج يُعطي أغلفة متصلة للطيف. يُعد هذا بناءً شائع الاستخدام [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] في نظرية التماثل الحدودي، لأن أغلفة طيف التماثل الحدودي غير الموجهميا{\displaystyle M{\text{O}}}يقدم نظريات أخرى عن المذهب المتشدد [ 10 ]

مخيط=ميا⟨8⟩ميلف=ميا⟨4⟩ملذا=ميا⟨2⟩{\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}

مثل الضيق الوترية .

برج وايتهيد ونظرية الأوتار

في هندسة الدورانيلف⁡(ن){\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}يتم إنشاء المجموعة كغطاء شامل للمجموعة المتعامدة الخاصةلذا⁡(ن){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}، لذاZ/2→يلف⁡(ن)→Sيا(ن){\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}هو تليف، يُعطي الحد الأول في برج وايتهيد. توجد تفسيرات ذات صلة فيزيائية للأجزاء العليا في هذا البرج، والتي يمكن قراءتها على النحو التالي:

⋯→فايفبرين⁡(ن)→خيط⁡(ن)→يلف⁡(ن)→لذا⁡(ن){\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}

أينخيط⁡(ن){\displaystyle \operatorname {String} (n)}هو3{\displaystyle 3}- غلاف متصل بـلذا⁡(ن){\displaystyle \operatorname {SO} (n)}تُسمى مجموعة السلاسل ، وفايفبرين⁡(ن){\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}هو7{\displaystyle 7}الغطاء المتصل يسمى مجموعة الأغشية الخمسة . [ 11 ] [ 12 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 هاتشر، ألين . الطوبولوجيا الجبرية (PDF) .
  2. ↑ كان، دونالد و. (1963-03-01). "الخرائط المستحثة لأنظمة بوستنيكوف" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 107 (3): 432-450 . doi : 10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN 0002-9947 . 
  3. ↑ سيمبسون، كارلوس (998-10-09). "أنواع التماثل للمجموعات الثلاثية الصارمة". arXiv : math/9810059 .
  4. ↑ إيلنبرغ، صموئيل ؛ ماكلين، سوندرز (1954). "حول المجموعاتح(Π،ن){\displaystyle H(\Pi ,n)}"العمليات والعوائق، الجزء الثالث". حوليات الرياضيات . 60 (3): 513-557 . doi : 10.2307/1969849 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969849 .  
  5. ↑ لورينتيو-جورج، ماكسيم. "المتتاليات الطيفية ومجموعات التماثل الكروي" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 19 مايو 2017.
  6. ↑ حول أطياف ثوم، والتوجيه، والتماثل . سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر . 1998. doi : 10.1007/978-3-540-77751-9 . ISBN 978-3-540-62043-3.
  7. ↑ ماكسيم، لورينتيو. "ملاحظات محاضرات حول نظرية التماثل وتطبيقاتها" (ملف PDF) . ص 66. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 16 فبراير 2020. 
  8. ↑ هيل، مايكل أ. (2009). "الحدية الوترية لـ BE 8 و BE 8 × BE 8 حتى البعد 14" . مجلة إلينوي للرياضيات . 53 (1): 183-196 . doi : 10.1215/ijm/1264170845 . ISSN 0019-2082 . 
  9. ↑ بونكه، أولريش؛ ناومان، نيكو (2014-12-01). "الثوابت الثانوية لحدود الأوتار والأشكال النمطية الطوبولوجية" . نشرة العلوم الرياضية . 138 (8): 912-970 . doi : 10.1016/j.bulsci.2014.05.002 . ISSN 0007-4497 . 
  10. 1 2 شيميك، ماركوس (2019). "الحدية الوترية والخصائص اللونية". في: دانيال ج. ديفيس؛ هانز-فيرنر هين؛ جيه إف جاردين؛ مارك دبليو جونسون؛ تشارلز ريزك (محررون). نظرية التماثل: الأدوات والتطبيقات . الرياضيات المعاصرة. المجلد 729. الصفحات 239-254 . arXiv : 1312.4658 . doi : 10.1090/conm/729/14698 . ISBN   9781470442446. S2CID 56461325 . 
  11. ↑ "الفيزياء الرياضية - التطبيق الفيزيائي لبرج بوستنيكوف، وString( n ) وFivebrane( n )" . موقع Physics Stack Exchange . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2020 .
  12. ↑ "الطوبولوجيا الجبرية - ما علاقة أبراج وايتهيد بالفيزياء؟" . MathOverflow . تم الاسترجاع في 16 فبراير 2020 .