التطبيع الكمي

في الإحصاء، يُعدّ التطبيع الكمّي أسلوبًا لجعل توزيعين متطابقين في خصائصهما الإحصائية. ولتطبيع توزيع اختباري إلى توزيع مرجعي بنفس الطول، يُرتب التوزيع الاختباري ثم يُرتب التوزيع المرجعي. بعد ذلك، تأخذ أعلى قيمة في التوزيع الاختباري قيمة أعلى قيمة في التوزيع المرجعي، ثم القيمة التي تليها في التوزيع المرجعي، وهكذا، حتى يصبح التوزيع الاختباري مجرد تعديل للتوزيع المرجعي.

لتطبيع توزيعين أو أكثر باستخدام طريقة التوزيع الكمي ، دون الحاجة إلى توزيع مرجعي، يتم فرز البيانات كما سبق، ثم يتم تعيين المتوسط ​​(عادةً المتوسط ​​الحسابي ) للتوزيعات. وبذلك، تصبح أعلى قيمة في جميع الحالات متوسط ​​أعلى القيم، وتصبح ثاني أعلى قيمة متوسط ​​ثاني أعلى القيم، وهكذا.

عادةً ما يكون التوزيع المرجعي أحد التوزيعات الإحصائية القياسية، مثل التوزيع الغاوسي أو توزيع بواسون . ويمكن توليد التوزيع المرجعي عشوائيًا أو من خلال أخذ عينات منتظمة من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع. ومع ذلك، يمكن استخدام أي توزيع مرجعي.

يُستخدم التوحيد الكمي بشكل متكرر في تحليل بيانات المصفوفات الدقيقة . وقد تم تقديمه في البداية باسم التوحيد الكمي ^{[ 1 ]} ثم أعيد تسميته إلى التوحيد الكمي . ^{[ 2 ]}

توضيح سريع لهذا النوع من التطبيع على مجموعة بيانات صغيرة جدًا، منظمة في أعمدة (1-3) وصفوف (AD):

$${\displaystyle {\begin{matrix}&{}\\[6pt]&A:\\&B:\\&C:\\&D:\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5&4&3\\2&1&4\\3&4&6\\4&2&8\end{matrix}}}$$

لكل عمود، رتب المدخلات من الأدنى إلى الأعلى (من الأول إلى الرابع):

$$\displaystyle \begin{matrix}&{}\\[6pt]&A:\\&B:\\&C:\\&D:\end{matrix}}\quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5&4&3\\2&1&4\\3&4&6\\4&2&8\end{matrix}}\quad \longrightarrow \quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]{\rm {iv}}&{\rm {iii}}&{\rm {i}}\\{\rm {i}}&{\rm {iii}}&{\rm {iii}}\\{\rm {iii}}\\{\rm {iv}}&{\rm {iii}}\\{\rm {iii ... {iii}}&{\rm {ii}}&{\rm {iv}}\end{matrix}}}$$

احتفظ بقيم الترتيب هذه لاستخدامها لاحقًا. ارجع إلى مجموعة البيانات الأولى. أعد ترتيب قيم كل عمود بحيث يكون كل عمود مرتبًا من الأدنى إلى الأعلى. والنتيجة هي:

$$\displaystyle {\begin{matrix}&{}\\[6pt]&A:\\&B:\\&C:\\&D:\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5&4&3\\2&1&4\\3&4&6\\4&2&8\end{matrix}}\quad \longrightarrow \quad {\begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]2&1&3\\3&2&4\\4&4&6\\5&4&8\end{matrix}}}$$

الآن، أوجد المتوسط ​​لكل صف، ورتبها من الأدنى إلى الأعلى (من الأول إلى الرابع):

$${\displaystyle {\begin{aligned}(2+1+3)/3&=2.00{\text{ (الرتبة i)}}\\(3+2+4)/3&=3.00{\text{ (الرتبة ii)}}\\(4+4+6)/3&=4.67{\text{ (الرتبة iii)}}\\(5+4+8)/3&=5.67{\text{ (الرتبة iv)}}\end{aligned}}}$$

والآن، خذ ترتيب التصنيف من السابق واستبدل المتوسطات وفقًا لرتبها المقابلة:

$$\displaystyle \begin{matrix}&{}\\[6pt]&A:\\&B:\\&C:\\&D:\end{matrix}}\quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]{\rm {iv}}&{\rm {iii}}&{\rm {i}}\\{\rm {i}}&{\rm {i}}&{\rm {ii}}\\{\rm {iii}}&{\rm {ii}}&{\rm {iv}}\end{matrix}}\quad \longrightarrow \quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5.67&4.67&2.00\\2.00&2.00&3.00\\3.00&4.67&4.67\\4.67&3.00&5.67\end{matrix}}}$$

هذه هي القيم المعيارية الجديدة.

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه عندما تتساوى القيم في الترتيب، كما هو الحال في العمود الثاني، يجب بدلاً من ذلك إسناد متوسط ​​القيم المقابلة للرتب التي تمثلها عادةً لو كانت مختلفة. في حالة العمود الثاني، تمثل هذه القيم الرتبتين الثالثة والرابعة. لذا، نُسند للقيمتين المتساويتين في الرتبة الثالثة متوسط ​​الرتبتين الثالثة والرابعة ((4.67 + 5.67)/2 = 5.17). وبذلك نصل إلى مجموعة القيم المعيارية التالية:

$$\begin{matrix}\\[6pt]&A:\\&B:\\&C:\\&D:\end{matrix}\quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5.67&{\mathbf {4.67}}&2.00\\2.00&2.00&3.00\\3.00&{\mathbf {4.67}}&4.67\\4.67&3.00&5.67\end{matrix}\quad \longrightarrow \quad \begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]5.67&{\mathbf {5.17}}&2.00\\2.00&2.00&3.00\\3.00&{\mathbf {5.17}}&4.67\\4.67&3.00&5.67\end{matrix}}}$$

تتمتع القيم الجديدة بنفس التوزيع، ويمكن الآن مقارنتها بسهولة. فيما يلي ملخص الإحصائيات لكل عمود من الأعمدة الثلاثة:

$${\displaystyle {\begin{array}{r}&{}\\[6pt]&{\text{Min}}:\\&{\text{1st Qrt}}:\\&{\text{Median}}:\\&{\text{Mean}}:\\&{\text{3rd Qrt}}:\\&{\text{Max}}:\end{array}}\quad {\begin{matrix}{\underline {1}}&{\underline {2}}&{\underline {3}}\\[6pt]2.00&2.00&2.00\\2.75&2.75&2.75\\3.83&4.08&3.83\\3.83&3.83&3.83\\4.92&5.17&4.92\\5.67&5.17&5.67\end{matrix}}}$$

• تطبيع رقائق أفيمتريكس ( مؤرشف بتاريخ 23 أبريل 2016 في أرشيف الإنترنت )