تقريب الطور العشوائي

مكنسة كهربائية تعمل بالهواء المضغوط${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle }$بالنسبة لنظام بوزوني، يمكن التعبير عنه بدلالة فراغ بوزوني غير مترابط${\displaystyle \left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$ وإثارات البوزون الأصلية${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$

حيث Z هي مصفوفة متناظرة${\displaystyle |Z|\leq 1}$و

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}$

يمكن حساب التطبيع بواسطة

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_ {i})^{2}/2}\mathbf {e} ^ {z_ {j} ({\ tilde {\mathbf {q} }}_ {j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}$

أين${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$هو تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle Z_{ij}}$. ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}$

$// {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}$

يتم تحديد العلاقة بين الإثارات الجديدة والقديمة من خلال

$// _ {ي} ^ {\ خنجر }}$.