التقدير البايزي المتكرر

في نظرية الاحتمالات والإحصاء والتعلم الآلي ، يُعد التقدير البايزي التكراري ، المعروف أيضًا باسم مرشح بايز ، منهجًا احتماليًا عامًا لتقدير دالة كثافة احتمالية غير معروفة بشكل تكراري عبر الزمن باستخدام القياسات الواردة ونموذج رياضي للعملية. تعتمد هذه العملية بشكل كبير على المفاهيم والنماذج الرياضية التي تُنظَّر ضمن دراسة الاحتمالات القبلية والبعدية المعروفة باسم الإحصاء البايزي .

مرشح بايز هو خوارزمية تُستخدم في علوم الحاسوب لحساب احتمالات عدة معتقدات، مما يسمح للروبوت باستنتاج موقعه واتجاهه. بشكل أساسي، تُمكّن مرشحات بايز الروبوتات من تحديث موقعها الأكثر ترجيحًا باستمرار ضمن نظام إحداثيات، استنادًا إلى أحدث بيانات المستشعرات المُكتسبة. هذه خوارزمية تكرارية، تتكون من جزأين: التنبؤ والابتكار. إذا كانت المتغيرات موزعة توزيعًا طبيعيًا وكانت الانتقالات خطية، فإن مرشح بايز يُصبح مساويًا لمرشح كالمان .

في مثال بسيط، قد يمتلك روبوت يتحرك عبر شبكة عدة مستشعرات مختلفة تزوده بمعلومات عن محيطه. قد يبدأ الروبوت وهو على يقين من وجوده في الموضع (0,0). ولكن، كلما ابتعد عن موضعه الأصلي، قلّ يقينه بموقعه. باستخدام مرشح بايز، يمكن تحديد احتمالية لتوقع الروبوت لموقعه الحالي، ويمكن تحديث هذه الاحتمالية باستمرار بناءً على معلومات إضافية من المستشعرات.

القياسات${\displaystyle z}$هي مظاهر نموذج ماركوف المخفي (HMM)، مما يعني الحالة الحقيقية${\displaystyle x}$يُفترض أن تكون عملية ماركوف غير مُلاحظة . يوضح الشكل التالي شبكة بايزية لنموذج ماركوف المخفي.

بسبب افتراض ماركوف، فإن احتمال الحالة الحقيقية الحالية بالنظر إلى الحالة السابقة مباشرة يكون مستقلاً شرطياً عن الحالات السابقة الأخرى.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {x}}_{k-2},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})}$

وبالمثل، فإن القياس في الخطوة الزمنية k يعتمد فقط على الحالة الحالية، وبالتالي فهو مستقل شرطيًا عن جميع الحالات الأخرى بالنظر إلى الحالة الحالية.

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k},{\textbf {x}}_{k-1},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})}$

باستخدام هذه الافتراضات، يمكن كتابة توزيع الاحتمالات على جميع حالات نموذج ماركوف المخفي ببساطة على النحو التالي:

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf) {z}}_ {i}|{\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}|{\textbf {x}}_{i-1}).}$

مع ذلك، عند استخدام مرشح كالمان لتقدير الحالة x ، يرتبط توزيع الاحتمال المطلوب بالحالات الحالية بناءً على القياسات حتى الخطوة الزمنية الحالية. (يتحقق ذلك باستبعاد الحالات السابقة وقسمة الناتج على احتمال مجموعة القياسات).

يؤدي هذا إلى كتابة خطوتي التنبؤ والتحديث لمرشح كالمان احتماليًا. إن التوزيع الاحتمالي المرتبط بالحالة المتوقعة هو مجموع (تكامل) حاصل ضرب التوزيع الاحتمالي المرتبط بالانتقال من الخطوة الزمنية ( k - 1) إلى الخطوة الزمنية k ، والتوزيع الاحتمالي المرتبط بالحالة السابقة، وذلك على جميع الاحتمالات الممكنة.${\displaystyle x_{k-1}}$.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}|{\textbf {ض}}_{1:ك-1})\,د{\textbf {x}}_{ك-1}}$

إن التوزيع الاحتمالي للتحديث يتناسب مع حاصل ضرب احتمالية القياس والحالة المتوقعة.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}{p({\textbf) {z}}_ {ك}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}$

المقام

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})d{\textbf {س}} _ {ك}}$

ثابت بالنسبة إلى${\displaystyle x}$لذلك يمكننا دائمًا استبداله بمعامل${\displaystyle \alpha }$وهو ما يمكن تجاهله عادةً في الممارسة العملية. يمكن حساب البسط ثم تطبيعه ببساطة، لأن تكامله يجب أن يكون واحدًا.

• مرشح كالمان ، مرشح بايزي متكرر للتوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات
• مرشح الجسيمات ، وهو تقنية تعتمد على مونت كارلو التسلسلي (SMC)، والتي تقوم بنمذجة دالة كثافة الاحتمال باستخدام مجموعة من النقاط المنفصلة
• المقدرات القائمة على الشبكة ، والتي تقسم دالة كثافة الاحتمال إلى شبكة منفصلة حتمية

الترشيح البايزي المتسلسل هو امتداد للتقدير البايزي في حالة تغير القيمة المرصودة بمرور الوقت. وهو أسلوب لتقدير القيمة الحقيقية لمتغير مرصود يتطور مع مرور الوقت.

توجد عدة اختلافات:

تصفية

عند تقدير القيمة الحالية بناءً على الملاحظات السابقة والحالية،

التنعيم

عند تقدير القيم السابقة بناءً على الملاحظات السابقة والحالية، و

تنبؤ

عند تقدير قيمة مستقبلية محتملة بالنظر إلى الملاحظات السابقة والحالية.

يُستخدم مفهوم الترشيح البايزي المتسلسل على نطاق واسع في مجال التحكم والروبوتات .

• أرولامبالام، م. سانجيف؛ ماسكيل، سيمون؛ جوردون، نيل (2002). "دليل تعليمي حول مرشحات الجسيمات للتتبع البايزي غير الخطي/غير الغاوسي عبر الإنترنت" . معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 50 (2): 174-188 . رمز Bibcode : 2002ITSP...50..174A . CiteSeerX 10.1.1.117.1144 . doi : 10.1109/78.978374 . مؤرشف من الأصل في 17 مايو 2013. تم الاسترجاع في 28 فبراير 2015 . 
• بوركهارت، مايكل سي. (2019). "الفصل الأول: نظرة عامة على الترشيح البايزي". منهج تمييزي للترشيح البايزي مع تطبيقات على فك التشفير العصبي البشري . بروفيدنس، رود آيلاند، الولايات المتحدة الأمريكية: جامعة براون. doi : 10.26300/nhfp-xv22 .
• تشين، تشي سيج (2003). "الترشيح البايزي: من مرشحات كالمان إلى مرشحات الجسيمات، وما بعدها". الإحصاء: مجلة الإحصاء النظري والتطبيقي . 182 (1): 1-69 .
• ديارد، جوليان؛ بيسيير، بيير؛ مازر، إيمانويل (2003). "دراسة استقصائية للنماذج الاحتمالية، باستخدام منهجية البرمجة البايزية كإطار موحد" (ملف PDF) . cogprints.org.
• ساركا، سيمو (2013). التصفية والتجانس البايزي (PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج.
• فولكوف، ألكسندر (2015). "حدود دقة التتبع البايزي غير الغاوسي في بيئة غير خط رؤية مباشر". معالجة الإشارات . 108 : 498-508 . Bibcode : 2015SigPr.108..498V . doi : 10.1016/j.sigpro.2014.10.025 .