كفاءة باريتو الترتيبية

يشير مصطلح كفاءة باريتو الترتيبية إلى عدة تعديلات لمفهوم كفاءة باريتو في سياقات لا يُعبّر فيها الفاعلون إلا عن المنافع الترتيبية للعناصر، وليس للمجموعات. أي أن الفاعلين يُرتبون العناصر من الأفضل إلى الأسوأ، لكنهم لا يُرتبون مجموعات العناصر الفرعية. وعلى وجه الخصوص، لا يُحددون قيمة عددية لكل عنصر. قد يُسبب هذا غموضًا بشأن ما إذا كانت بعض التخصيصات فعّالة وفقًا لباريتو أم لا. على سبيل المثال، لنفترض اقتصادًا بثلاثة عناصر وفاعلين، مع الترتيبات التالية:

أليس: س > ص > ع.
جورج: س > ع > ص.

لنفترض التوزيع التالي: [أليس: س، جورج: ص، ع]. يعتمد ما إذا كان هذا التوزيع فعالاً من حيث مبدأ باريتو على التقييمات العددية للوكلاء. على سبيل المثال:

من الممكن أن تُفضّل أليس الخيار {y,z} على الخيار {x}، وأن يُفضّل جورج الخيار {x} على الخيار {y,z} (على سبيل المثال: تقييمات أليس للخيارات x وy وz هي 8 و7 و6، وتقييمات جورج هي 7 و1 و2، وبالتالي فإن منحنى المنفعة هو 8 و3). في هذه الحالة، لا يكون التوزيع فعالاً وفقًا لمبدأ باريتو، لأن كلاً من أليس وجورج سيستفيدان أكثر من خلال تبادل مجموعتيهما (سيصبح منحنى المنفعة 13 و7).
في المقابل، من الممكن أن تُفضّل أليس الخيار {x} على الخيارين {y,z}، وأن يُفضّل جورج الخيارين {y,z} على الخيار {x} (على سبيل المثال: تقييمات أليس هي 12، 4، 2، وتقييمات جورج هي 6، 3، 4). في هذه الحالة، يكون التوزيع فعالاً وفقًا لمبدأ باريتو: ففي أي توزيع آخر، إذا حصلت أليس على x، فإن منفعة جورج ستكون أقل؛ وإذا لم تحصل أليس على x، فإن منفعة أليس ستكون أقل أيضًا. علاوة على ذلك، يكون التوزيع فعالاً وفقًا لمبدأ باريتو حتى لو كانت العناصر قابلة للقسمة (أي أنه فعال جزئيًا وفقًا لمبدأ باريتو ): إذا أعطت أليس أي كمية r من x لجورج، فسيتعين على جورج أن يُعطيها على الأقل 3 r من y أو 6 r من z للحفاظ على منفعتها عند نفس المستوى. ولكن في هذه الحالة، ستتغير منفعة جورج بمقدار 6 r - 9 r أو 6 r - 24 r ، وهي قيمة سالبة.

بما أن كفاءة باريتو للتخصيص تعتمد على ترتيبات الحزم، فليس من الواضح مسبقًا كيفية تحديد كفاءة التخصيص عندما يتم إعطاء ترتيبات العناصر فقط.

التعريفات

يُعتبر التخصيص X = (X₁ _, ..., Xₙ ₎ مُهيمنًا وفقًا لمبدأ باريتو على تخصيص آخر Y = (Y₁ _, ..., _Yₙ )، إذا كان كل وكيل i يُفضّل بشكل ضعيف الحزمة Xᵢ _على الحزمة Yᵢ _، وكان وكيل واحد على الأقل j يُفضّل بشكل قاطع Xⱼ _على Yⱼ _. ويكون التخصيص X فعالًا وفقًا لمبدأ باريتو إذا لم يكن هناك تخصيص آخر يُهيمن عليه. أحيانًا، يُفرّق بين كفاءة باريتو المنفصلة ، والتي تعني أن التخصيص لا يُهيمن عليه تخصيص منفصل، ومفهوم كفاءة باريتو الجزئية الأقوى ، والذي يعني أن التخصيص لا يُهيمن عليه حتى التخصيص الجزئي.

تعتمد التعريفات المذكورة أعلاه على ترتيب الوكلاء للحزم (مجموعات العناصر). في سياقنا، يُبلغ الوكلاء عن ترتيباتهم للعناصر فقط . يُقال إن ترتيب الحزمة متسق مع ترتيب العنصر إذا كان يُرتب الحزم الفردية بنفس ترتيب العناصر التي تحتويها. على سبيل المثال، إذا كان ترتيب أليس هو w < x < y < z ، فإن أي ترتيب حزمة متسق يجب أن يكون فيه {w} < {x} < {y} < {z}. غالبًا ما تُوضع افتراضات إضافية على مجموعة ترتيبات الحزم المسموح بها، مما يفرض قيودًا إضافية على الاتساق. من أمثلة هذه الافتراضات:

الرتابة: إضافة عنصر إلى مجموعة ما يُحسّنها دائمًا. وهذا يتوافق مع افتراض أن جميع العناصر جيدة . وبالتالي، يجب أن يكون ترتيب مجموعة أليس، على سبيل المثال، {y} < {y,x}.
الاستجابة : استبدال عنصر بعنصر أفضل يُحسّن المجموعة دائمًا. لذا، يجب أن يكون ترتيب مجموعة أليس، على سبيل المثال، {w,x} < {w,y} < {x,y} < {x,z}. وهذا أقوى من الاتساق.
خاصية الجمع : يُسند العامل قيمةً لكل عنصر، ويُقيّم كل مجموعة بمجموع محتوياتها. هذا الافتراض أقوى من خاصية الاستجابة. على سبيل المثال، إذا رتبت أليس {x,y}<{z}، فلا بد أنها رتبت {w,x,y}<{w,z}.
الترتيب المعجمي : يُرتب العامل دائمًا مجموعة تحتوي على عنصر ما (س) فوق أي مجموعة تحتوي فقط على عناصر مرتبة أدنى من (س). في المثال أعلاه، يجب على أليس أن تُرتب {و، س، ص} < {ع}.

الكفاءة الباريتوية الضرورية

^يُطلق^برامز وإيدلمان وفيشبورن ^{[ 1 ]} على عملية التخصيص اسم "التخصيص المضمون وفقًا لمبدأ باريتو" إذا كانت فعّالة وفقًا لمبدأ باريتو لجميع تصنيفات الحزم المتوافقة مع تصنيفات العناصر لدى الوكلاء (يسمحون بجميع تصنيفات الحزم الرتيبة والمتغيرة ). على سبيل المثال:

إذا افترضنا أن تقييمات الوكلاء إيجابية، فإن كل تخصيص يعطي جميع العناصر لوكيل واحد يضمن مبدأ باريتو.
إذا كان ترتيب أليس هو x>y وترتيب جورج هو y>x، فإن التخصيص [أليس:x، جورج:y] يضمن باريتو.
إذا كان ترتيب أليس هو x>y>z وترتيب جورج هو x>z>y، وكان التوزيع منفصلاً، فإن التوزيع [أليس: x، y؛ جورج: z] يضمن مبدأ باريتو. ^{[ 1 ]}^{: 5}
مع الترتيبات المذكورة أعلاه، فإن التوزيع [أليس: س، جورج: ص، ع] لا يضمن مبدأ باريتو. وكما هو موضح في المقدمة، فهو ليس فعالاً وفقًا لمبدأ باريتو، على سبيل المثال عندما تكون تقييمات أليس لـ س، ص، ع هي 8، 7، 6 وتقييمات جورج هي 7، 1، 2. تجدر الإشارة إلى أن كلا التقييمين يتوافقان مع ترتيبات الفاعلين.

يستخدم بوفيريه وإندريس ولانغ ^{[ 2 ]}^{: 3} تعريفًا مكافئًا. يقولون إن التخصيص X قد يكون متفوقًا على التخصيص Y وفقًا لمبدأ باريتو إذا وُجدت بعض ترتيبات الحزم المتوافقة مع ترتيبات العناصر لدى الوكلاء، والتي يكون فيها X متفوقًا على Y وفقًا لمبدأ باريتو. ويُسمى التخصيص فعالًا بالضرورة وفقًا لمبدأ باريتو (NecPE) إذا لم يكن هناك تخصيص آخر متفوقًا عليه وفقًا لمبدأ باريتو.

التعريفان متكافئان منطقياً:

"X يضمن باريتو" يعادل "لكل ترتيب حزمة متسق، ولكل تخصيص آخر Y، فإن Y لا يهيمن على X وفقًا لمبدأ باريتو".
إن عبارة "X is NecPE" تعادل عبارة "لكل تخصيص آخر Y، ولكل ترتيب حزم متسق، فإن Y لا يهيمن على X وفقًا لمبدأ باريتو". ولا يؤدي تبديل ترتيب مُحدِّدات الكمية "لكل" إلى تغيير المعنى المنطقي.

يبقى شرط NecPE كما هو سواء سمحنا بجميع تصنيفات الحزم الإضافية، أو سمحنا فقط بالتصنيفات القائمة على التقييمات الإضافية ذات الفروق المتناقصة. ^{[ 3 ]}^{: القسم 8}

وجود

يُعدّ شرط كفاءة باريتو (NecPE) شرطًا بالغ الأهمية، وغالبًا ما يتعذر تحقيقه. على سبيل المثال، لنفترض أن شخصين لديهما نفس ترتيب العناصر. إحداهما، ولتكن أليس، ستحصل بالضرورة على العنصر ذي الترتيب الأدنى. توجد ترتيبات تجميعية متسقة للحزم، حيث تُقيّم أليس هذا العنصر بصفر بينما يُقيّمه جورج بواحد. لذا، فإن إعطاءه لأليس ليس خيارًا فعالًا من حيث كفاءة باريتو.

إذا اشترطنا أن تكون قيمة جميع العناصر موجبة تمامًا، فإن إعطاء جميع العناصر لوكيل واحد يُعدّ توزيعًا غير عادل (NecPE) بشكل بديهي، ولكنه غير منصف للغاية. أما إذا سُمح بالتوزيع الجزئي، فقد لا يكون هناك توزيع غير عادل (NecPE) يُعطي كلا الوكيلين قيمة موجبة. على سبيل المثال، لنفترض أن أليس وجورج كلاهما لديهما الترتيب x>y. إذا حصل كلاهما على قيمة موجبة، فإما أن تحصل أليس على بعض x ويحصل جورج على بعض y، أو العكس. في الحالة الأولى، من الممكن أن تكون تقييمات أليس، على سبيل المثال، 4 و2، وتقييمات جورج هي 8 و1، وبالتالي يمكن لأليس استبدال كمية صغيرة r من x بكمية صغيرة 3r من y. تربح أليس 6r - 4r ويربح جورج 8r - 3r ، لذا فإن كلا الربحين موجب. في الحالة الثانية، ينطبق منطق مماثل.

الكفاءة الباريتوية المحتملة

^يُطلق^برامز وإيدلمان وفيشبورن ^{[ 1 ]} على عملية تخصيص اسم "باريتو-ممكن" إذا كانت فعّالة وفقًا لمبدأ باريتو لبعض ترتيبات الحزم المتوافقة مع ترتيبات العناصر لدى الوكلاء. من البديهي أن كل تخصيص يضمن مبدأ باريتو هو تخصيص باريتو-ممكن. إضافةً إلى ذلك:

إذا كان ترتيب أليس هو x>y>z وترتيب جورج هو x>z>y، فإن التوزيع [أليس: x، جورج: y، z] ممكن وفقًا لمبدأ باريتو. وكما هو موضح في المقدمة، فهو فعال وفقًا لمبدأ باريتو، على سبيل المثال عندما تكون تقييمات أليس لـ x وy وz هي 12 و4 و2 وتقييمات جورج هي 6 و3 و4. لاحظ أن كلا التقييمين يتوافقان مع ترتيبات الفاعلين.
إذا كان ترتيب أليس هو x>y وترتيب جورج هو y>x، فإن التخصيص [أليس:y، جورج:x] ليس ممكنًا وفقًا لمبدأ باريتو، لأنه دائمًا ما يكون خاضعًا لمبدأ باريتو من خلال التخصيص [أليس:x، جورج:y].

يستخدم بوفيريه وإندريس ولانغ ^{[ 2 ]}^{: 3} تعريفًا مختلفًا. يقولون إن التخصيص X يهيمن بالضرورة على التخصيص Y وفقًا لمبدأ باريتو إذا كان، بالنسبة لجميع ترتيبات الحزم المتوافقة مع ترتيبات العناصر لدى الوكلاء، يهيمن X على Y وفقًا لمبدأ باريتو. ويُطلق على التخصيص اسم التخصيص الذي يُحتمل أن يكون فعالًا وفقًا لمبدأ باريتو (PosPE) إذا لم يكن هناك تخصيص آخر يهيمن عليه بالضرورة وفقًا لمبدأ باريتو.

التعريفان ليسا متكافئين منطقياً:

إن عبارة "X ممكن وفقًا لمبدأ باريتو" تعادل عبارة "يوجد ترتيب حزم متسق بحيث لا يهيمن Y على X في أي تخصيص آخر Y". يجب أن يكون ترتيب الحزم هو نفسه لجميع التخصيصات الأخرى Y.
"X هو PosPE" يكافئ "لكل تخصيص آخر Y، يوجد ترتيب حزم متسق، لا يهيمن فيه Y على X". قد يكون هناك ترتيب حزم مختلف لكل تخصيص آخر Y.

إذا كان X ممكنًا وفقًا لمبدأ باريتو، فإنه PosPE، لكن الاستلزام الآخر ليس صحيحًا (منطقيًا).

يبقى شرط إمكانية باريتو كما هو سواء سمحنا بجميع تصنيفات الحزم الإضافية، أو سمحنا فقط بالتصنيفات القائمة على التقييمات الإضافية ذات الفروق المتناقصة . ^{[ 3 ]}^{: القسم 8}

كفاءة باريتو في ظل الهيمنة العشوائية

يقدم بوغومولنايا ومولان ^{[ 4 ]}^{: 302-303} مفهومًا للكفاءة في إطار التوزيع العشوائي العادل (حيث تكون ترتيبات الحزم جمعية ، وتكون التخصيصات كسرية ، ويجب ألا يتجاوز مجموع الكسور المعطاة لكل وكيل 1 ). وهو يستند إلى مفهوم الهيمنة العشوائية .

لكل عنصر i ، تُهيمن الحزمة Xᵢ بشكل ضعيف-عشوائي (wsd) على الحزمة Yᵢ إذا _كان_، لكل عنصر z، إجمالي نسبة العناصر الأفضل من _z في Xᵢ أكبر من أو يساوي نسبتها في Yᵢ (إذا كانت التخصيصات منفصلة، فإن Xᵢ _sd Yᵢ _تعني_أنه لكل عنصر z، عدد العناصر الأفضل من z في Xᵢ أكبر من أو يساوي عددها في Yᵢ ₎ . للعلاقة sd عدة تعريفات مكافئة؛ انظر امتداد المجموعة المستجيبة . على وجه الخصوص، تُهيمن Xᵢ _sd Yᵢ _إذا وفقط إذا، لكل ترتيب حزمة متوافق مع ترتيب العنصر، كانت Xᵢ _جيدة_على الأقل مثل Yᵢ _. [ ⁵^]^تُهيمن_الحزمة Xᵢ بشكل صارم-عشوائي (ssd) على الحزمة Yᵢ إذا كانت Xᵢ _wsd Yᵢ _و Xᵢ _≠ Yᵢ _. بمعنى آخر، بالنسبة لعنصر واحد على الأقل z، تصبح عبارة "أكبر من أو يساوي على الأقل من Yᵢ _" هي "أكبر من أو يساوي في _Yᵢ_" . في ^[¹^] تم كتابة علاقة ssd على النحو التالي "X _i >> Y _i ".

تُهيمن التوزيعة X = (X₁ _, ..., Xₙ ₎ عشوائيًا على التوزيعة Y = (Y₁ _, ..., Yₙ ₎ إذا كان لكل عامل i : Xᵢ _≤ Yᵢ _، و Y ≠ Xᵢ (أو بعبارة أخرى: بالنسبة لعامل واحد على الأقل i، Xᵢ _≤ Yᵢ ₎ . في المرجع ^{[ 1 ]} ، تُكتب علاقة الهيمنة العشوائية بين التوزيعات أيضًا على النحو التالي: "X >> Y". وهذا يُكافئ هيمنة باريتو الضرورية.

يُطلق على التخصيص اسم "التخصيص الفعال من حيث التوزيع العشوائي " ^{[ 6 ]} (ويُسمى أيضًا: "التخصيص الفعال من حيث الترتيب" أو "التخصيص الفعال من حيث التوزيع العشوائي ") ^{[ 4 ]} إذا لم يكن هناك تخصيص يهيمن عليه عشوائيًا. وهذا مشابه لنظرية "التخصيص الفعال من حيث التوزيع العشوائي"، ولكنه يؤكد على ضرورة أن تستند تصنيفات الحزم إلى دوال منفعة جمعية، وأن التخصيصات قد تكون جزئية .

المكافئات

كما ذُكر سابقًا، فإنّ احتمالية باريتو تستلزم احتمالية باريتو، لكن العكس غير صحيح منطقيًا. يُثبت ماكلينان ^{[ 7 ]} تكافؤهما في مسألة التوزيع العشوائي العادل (مع ترتيبات صارمة أو ضعيفة للعناصر). وعلى وجه الخصوص، يُثبت تكافؤ ما يلي:

(أ) X فعال من حيث الانحراف المعياري (أي أن X هو PosPE)؛
(ب) توجد تصنيفات حزمية إضافية تتوافق مع تصنيفات العناصر الخاصة بالوكلاء والتي يكون فيها X فعالًا جزئيًا وفقًا لمبدأ باريتو (أي أن X ممكن وفقًا لمبدأ باريتو)؛
(ج) توجد تصنيفات حزمية إضافية تتوافق مع تصنيفات العناصر الخاصة بالوكلاء والتي من أجلها X تعظم مجموع منافع الوكلاء.

الاستلزام (ج) → (ب) → (أ) سهل؛ أما الجزء الصعب فهو إثبات أن (أ) → (ج). وقد أثبت ماكلينان ذلك باستخدام نظرية المستوى الفائق الفاصل متعدد السطوح . ^{[ 7 ]}

أثبت بوغومولنايا ومولان ^{[ 4 ]}^{في المبرهنة 3} توصيفًا مفيدًا آخر لكفاءة التوزيع العشوائي العادل، وذلك لنفس إطار التوزيع العشوائي العادل ولكن مع ترتيبات صارمة للعناصر. يُعرَّف مخطط التبادل لتوزيع كسري مُعطى بأنه مخطط مُوجَّه تكون فيه العُقد هي العناصر، ويوجد قوس x→y إذا وفقط إذا وُجد وكيل i يُفضِّل x ويحصل على جزء موجب من y. يُعرَّف التوزيع بأنه غير دوري إذا لم يكن لمخطط التبادل الخاص به أي دورات مُوجَّهة. عندئذٍ، يكون التوزيع فعالًا من حيث التوزيع العشوائي العادل إذا وفقط إذا كان غير دوري.

أثبت فيشبورن التكافؤ التالي بشأن علاقات الهيمنة للحزم المنفصلة ، مع تصنيفات الحزم المستجيبة : ^{[ 8 ]}^{[ 1 ]}^{: اللمة 2.1}

إذا كان X _i >> Y _i (أي: X _i ≠ Y _i ، ولكل عنصر z، فإن X _i يحتوي على عدد من العناصر التي لا تقل جودة عن z)، فإنه لكل ترتيب حزمة استجابة متسق مع ترتيب العناصر، X _i >Y _i .
إذا لم يكن X _i >> Y _i ، فإنه يوجد على الأقل ترتيب حزمة استجابة واحد متسق مع ترتيب العناصر ، والذي يكون فيه X _i <Y _i .

لذلك، ينطبق ما يلي على علاقات الهيمنة للتخصيصات المنفصلة: X >> Y إذا وفقط إذا كان X يهيمن بالضرورة على Y وفقًا لمبدأ باريتو . ^{[ 1 ]}^{: 8}

ملكيات

إذا كان _Xᵢ أقل من Yᵢ _، فإن |Xᵢ _| ≥ |Yᵢ _| ، أي أن العدد الإجمالي للعناصر (المنفصلة أو الكسرية) في Xᵢ _يجب أن يكون على الأقل مساويًا للعدد الإجمالي للعناصر في Yᵢ . وذلك لأنه إذا كان |Xᵢ _| < |Yᵢ _|_، فإن التقييم الذي يُعطي قيمة متقاربة لجميع العناصر، v( Xᵢ ₎ < v( Yᵢ ₎ .

هذا يعني أنه إذا كان X wsd Y وكان كل من X و Y تخصيصين كاملين (تم تخصيص جميع العناصر)، فإن |X _i | = |Y _i | بالضرورة لجميع الوكلاء i . ^{[ 1 ]}^{: اللمة 2.2} بعبارة أخرى، لا يمكن أن يكون التخصيص الكامل X مهيمناً بالضرورة إلا من قبل تخصيص Y الذي يخصص لكل وكيل نفس الكمية التي يخصصها X.

وهذا يعني أنه على وجه الخصوص، إذا كان X فعالاً من حيث الانحراف المعياري في مجموعة جميع التخصيصات التي تعطي وحدة واحدة بالضبط لكل وكيل، فإن X يكون فعالاً من حيث الانحراف المعياري بشكل عام.

الهيمنة المعجمية، كفاءة باريتو

يقدم تشو مفهومين آخرين للكفاءة في إطار التوزيع العشوائي العادل ، استنادًا إلى الهيمنة المعجمية .

يُقال إن التوزيع X = (X1 _, ..., Xn ₎ يُهيمن تنازليًا معجميًا (dl) على توزيع آخر Y = ( _Y1 , ..., Yn ₎ ، إذا كان التوزيع Xi _يُهيمن تنازليًا معجميًا ضعيفًا على Yi لكل عامل i، وإذا كان التوزيع Xj يُهيمن تنازليًا معجميًا صارمًا على Yj _لعامل_واحد على الأقل _j . ويُسمى التوزيع فعالًا معجميًا إذا لم يكن هناك توزيع آخر يُهيمن عليه معجميًا معجميًا.

وبالمثل، استنادًا إلى مفهوم الهيمنة المعجمية التصاعدية (ul) ، يُطلق على التخصيص اسم الكفاءة المعجمية التصاعدية إذا لم يكن هناك تخصيص آخر يهيمن عليه معجميًا تصاعديًا.

بشكل عام، تعني هيمنة sd هيمنة dl وهيمنة ul. لذلك، فإن كفاءة dl وكفاءة ul تعنيان كفاءة sd.

المكافئات

لنفترض حالة التوزيع العشوائي العادل (حيث تكون ترتيبات الحزم جمعية ، وقد تكون التخصيصات كسرية ، ويجب أن يكون إجمالي الكسر الممنوح لكل وكيل مساويًا لـ 1)، مع ترتيبات صارمة للعناصر، حيث يمكن أن يكون عدد العناصر أكبر من عدد الوكلاء (لذا قد تبقى بعض العناصر غير مخصصة). يثبت تشو ودوجان ^{[ 6 ]} أنه في هذه الحالة تحديدًا، تتكافئ كفاءة التوزيع المنخفض (dl) وكفاءة التوزيع الأعلى (ul) مع كفاءة التوزيع المنخفض (sd). وعلى وجه الخصوص، يثبتان أنه إذا كان التخصيص X فعالًا وفقًا لمعايير sd/ld/ul، فإن:

مخطط تبادل X غير دوري، و-
X غير مهدر ("المهدر" يعني أن أحد الوكلاء i ، الذي يحصل على جزء موجب من العنصر x ، يفضل عنصرًا آخر y لم يتم تخصيصه بالكامل).

لا يصح هذا التكافؤ في حال وجود قيود توزيعية: فهناك تخصيصات تتسم بالكفاءة على مستوى التوزيع القياسي (sd) ولكنها لا تتسم بالكفاءة على مستوى التوزيع الطويل (dl). ^{[ 9 ]}^{: مثال 4}

للمزيد من القراءة

قام كل من عزيز، وجاسبرز، وماكنزي، ووالش ^{[ 10 ]} بدراسة القضايا الحسابية المتعلقة بمفاهيم العدالة الترتيبية. وفي القسم 7، قاموا بدراسة كفاءة باريتو-sd بإيجاز.
يدرس دوجان ودوجان ويلديز ^{[ 11 ]} علاقة هيمنة مختلفة بين التخصيصات: يهيمن التخصيص X على التخصيص Y إذا كان فعالاً من حيث باريتو لمجموعة أكبر من تصنيفات الحزم المتوافقة مع تصنيفات العناصر.
قام عبد القادر أوغلو وسونميز ^{[ 12 ]} بدراسة العلاقة بين كفاءة التوزيع العشوائي وكفاءة باريتو اللاحقة (في سياق التوزيع العشوائي). وقد قدّما مفهومًا جديدًا للهيمنة لمجموعات التوزيعات، وأظهرا أن القرعة تكون فعالة من حيث التوزيع العشوائي إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة فرعية من نطاق القرعة غير مهيمنة.

مراجع

1 2 3 4 5 6 7 8 برامز، ستيفن جيه؛ إيدلمان، بول إتش؛ فيشبورن، بيتر سي. (2003-09-01). "التقسيم العادل للعناصر غير القابلة للتجزئة" . النظرية والقرار . 55 (2): 147-180 . doi : 10.1023/B:THEO.0000024421.85722.0a . ISSN 1573-7187 . S2CID 153943630 .
1 2 بوفيريه، سيلفان؛ إندريس، أولي؛ لانغ، جيروم (2010-08-04). "التقسيم العادل في ظل التفضيلات الترتيبية: حساب تخصيصات خالية من الحسد للسلع غير القابلة للتجزئة" . وقائع مؤتمر ECAI 2010: المؤتمر الأوروبي التاسع عشر للذكاء الاصطناعي . هولندا: دار نشر IOS: 387-392 . ISBN 978-1-60750-605-8.
1 2 سيغال-هاليفي، إيريل؛ حسيديم، أفيناتان؛ عزيز، حارث (10 مارس 2020). "التخصيص العادل مع تناقص الفروق" . مجلة أبحاث الذكاء الاصطناعي . 67 : 471-507. arXiv : 1705.07993 . doi : 10.1613/jair.1.11994 . ISSN 1076-9757 . S2CID 108290839 .
1 2 3 بوغومولنايا، آنا؛ مولان، هيرفيه (1 أكتوبر 2001). "حل جديد لمشكلة التخصيص العشوائي" . مجلة النظرية الاقتصادية . 100 (2): 295-328 . doi : 10.1006/jeth.2000.2710 . ISSN 0022-0531 .
↑ كاتا، أكشاي كومار؛ سيثورامان، جاي (2006). "حل لمشكلة التخصيص العشوائي على مجال التفضيل الكامل". مجلة النظرية الاقتصادية . 131 (1): 231. doi : 10.1016/j.jet.2005.05.001 .
1 2 تشو، وونكي جو؛ دوغان، باتال (2016-09-01). "تكافؤ مفاهيم الكفاءة لمسائل التخصيص الترتيبي" . رسائل اقتصادية . 146 : 8-12 . doi : 10.1016/j.econlet.2016.07.007 . ISSN 0165-1765 .
1 2 ماكلينان، أندرو (2002-08-01). "الكفاءة الترتيبية ونظرية المستوى الفائق الفاصل متعدد السطوح" . مجلة النظرية الاقتصادية . 105 (2): 435-449 . doi : 10.1006/jeth.2001.2864 . ISSN 0022-0531 .
↑ فيشبورن، بيتر سي. (1996-03-01). "الاحتمال النوعي الخطي المحدود" . مجلة علم النفس الرياضي . 40 (1): 64-77 . doi : 10.1006/jmps.1996.0004 . ISSN 0022-2496 .
↑ عزيز، حارث؛ براندل، فلوريان (2022-09-01). "قاعدة الأكل اليقظ: منهج عام للتصميم الاقتصادي الاحتمالي مع القيود" . الألعاب والسلوك الاقتصادي . 135 : 168-187 . arXiv : 2008.08991 . doi : 10.1016/j.geb.2022.06.002 . ISSN 0899-8256 . S2CID 221186811 .
↑ عزيز، هاريس؛ جاسبرز، سيرج؛ ماكنزي، سيمون؛ والش، توبي (2015-10-01). "التوزيع العادل للأشياء غير القابلة للتجزئة في ظل التفضيلات الترتيبية" . الذكاء الاصطناعي . 227 : 71-92 . arXiv : 1312.6546 . doi : 10.1016/j.artint.2015.06.002 . ISSN 0004-3702 . S2CID 1408197 .
↑ دوغان، باتال؛ دوغان، سرحات؛ يلدز، كمال (2018-05-01). "معيار جديد للكفاءة المسبقة وآثاره على الآلية التسلسلية الاحتمالية" . مجلة النظرية الاقتصادية . 175 : 178-200 . doi : 10.1016/j.jet.2018.01.011 . hdl : 11693/48988 . ISSN 0022-0531 .
↑ عبد القادر أوغلو، أتيلا؛ سونميز، تايفون (1 سبتمبر 2003). "الكفاءة الترتيبية ومجموعات التخصيصات المهيمنة" . مجلة النظرية الاقتصادية . 112 (1): 157-172 . doi : 10.1016/S0022-0531(03)00091-7 . hdl : 10161/1940 . ISSN 0022-0531 .

[:0-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 برامز، ستيفن جيه؛ إيدلمان، بول إتش؛ فيشبورن، بيتر سي. (2003-09-01). "التقسيم العادل للعناصر غير القابلة للتجزئة" . النظرية والقرار . 55 (2): 147-180 . doi : 10.1023/B:THEO.0000024421.85722.0a . ISSN 1573-7187 . S2CID 153943630 .

[:1-2] 1 2 بوفيريه، سيلفان؛ إندريس، أولي؛ لانغ، جيروم (2010-08-04). "التقسيم العادل في ظل التفضيلات الترتيبية: حساب تخصيصات خالية من الحسد للسلع غير القابلة للتجزئة" . وقائع مؤتمر ECAI 2010: المؤتمر الأوروبي التاسع عشر للذكاء الاصطناعي . هولندا: دار نشر IOS: 387-392 . ISBN 978-1-60750-605-8.

[:3-3] 1 2 سيغال-هاليفي، إيريل؛ حسيديم، أفيناتان؛ عزيز، حارث (10 مارس 2020). "التخصيص العادل مع تناقص الفروق" . مجلة أبحاث الذكاء الاصطناعي . 67 : 471-507. arXiv : 1705.07993 . doi : 10.1613/jair.1.11994 . ISSN 1076-9757 . S2CID 108290839 .

[:2-4] 1 2 3 بوغومولنايا، آنا؛ مولان، هيرفيه (1 أكتوبر 2001). "حل جديد لمشكلة التخصيص العشوائي" . مجلة النظرية الاقتصادية . 100 (2): 295-328 . doi : 10.1006/jeth.2000.2710 . ISSN 0022-0531 .

[5] كاتا، أكشاي كومار؛ سيثورامان، جاي (2006). "حل لمشكلة التخصيص العشوائي على مجال التفضيل الكامل". مجلة النظرية الاقتصادية . 131 (1): 231. doi : 10.1016/j.jet.2005.05.001 .

[:4-6] 1 2 تشو، وونكي جو؛ دوغان، باتال (2016-09-01). "تكافؤ مفاهيم الكفاءة لمسائل التخصيص الترتيبي" . رسائل اقتصادية . 146 : 8-12 . doi : 10.1016/j.econlet.2016.07.007 . ISSN 0165-1765 .

[:5-7] 1 2 ماكلينان، أندرو (2002-08-01). "الكفاءة الترتيبية ونظرية المستوى الفائق الفاصل متعدد السطوح" . مجلة النظرية الاقتصادية . 105 (2): 435-449 . doi : 10.1006/jeth.2001.2864 . ISSN 0022-0531 .

[8] فيشبورن، بيتر سي. (1996-03-01). "الاحتمال النوعي الخطي المحدود" . مجلة علم النفس الرياضي . 40 (1): 64-77 . doi : 10.1006/jmps.1996.0004 . ISSN 0022-2496 .

[9] عزيز، حارث؛ براندل، فلوريان (2022-09-01). "قاعدة الأكل اليقظ: منهج عام للتصميم الاقتصادي الاحتمالي مع القيود" . الألعاب والسلوك الاقتصادي . 135 : 168-187 . arXiv : 2008.08991 . doi : 10.1016/j.geb.2022.06.002 . ISSN 0899-8256 . S2CID 221186811 .

[10] عزيز، هاريس؛ جاسبرز، سيرج؛ ماكنزي، سيمون؛ والش، توبي (2015-10-01). "التوزيع العادل للأشياء غير القابلة للتجزئة في ظل التفضيلات الترتيبية" . الذكاء الاصطناعي . 227 : 71-92 . arXiv : 1312.6546 . doi : 10.1016/j.artint.2015.06.002 . ISSN 0004-3702 . S2CID 1408197 .

[11] دوغان، باتال؛ دوغان، سرحات؛ يلدز، كمال (2018-05-01). "معيار جديد للكفاءة المسبقة وآثاره على الآلية التسلسلية الاحتمالية" . مجلة النظرية الاقتصادية . 175 : 178-200 . doi : 10.1016/j.jet.2018.01.011 . hdl : 11693/48988 . ISSN 0022-0531 .

[12] عبد القادر أوغلو، أتيلا؛ سونميز، تايفون (1 سبتمبر 2003). "الكفاءة الترتيبية ومجموعات التخصيصات المهيمنة" . مجلة النظرية الاقتصادية . 112 (1): 157-172 . doi : 10.1016/S0022-0531(03)00091-7 . hdl : 10161/1940 . ISSN 0022-0531 .

5

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]